黑体辐射公式及基尔霍夫公式重新推导论证

1、 实际原子的热辐射公式及爱因斯坦吸收系数确定彭国良福建省武夷山市环保局 ( )E-mail ( )摘要：本文通过假定绝对黑体同一般物质一样由分子组成，称为黑体分子。黑体分子满足在截面内所有频率的光子都被吸收，在截面外全部不吸收，也称为绝对黑体分子的吸收截面。对所有频率的光子都相同，所有真实的物质原子的吸收截面都不大于黑体分子的吸收截面，黑体分子的吸收截面也是黑体分子的辐射截面，所有实际原子的辐射截面都相同，都与黑体分子的吸收截面相等。在此基础上，根据基尔霍夫公式和普朗克公式可以推导出一个实际原子在各种温度下辐射热能谱的公式；根据原子中电子跃迁的几率与

2、原子吸收相应光子的速率存在对应关系，可确定爱因斯坦吸收系数A，吸收系数B的函数关系。本文还推导了在两个不同温度原子之间辐射与吸收光子的相应关系。关键词：黑体辐射；活化光子吸收截面；辐射截面；爱因斯坦吸收系数。1引言所有物体都能发射热辐射，而热辐射与光辐射一样，都是一定频率范围内的电磁波。1859年【1】，基尔霍夫（G.R.Kirchhoff）证明，黑体与热辐射达到平衡时，辐射能量密度随频率变化曲线的形状与位置只与黑体的绝对温度有关，而与空腔的形状及组成的物质无关。1893年，维恩（W.Wien）发现黑体辐射的位移律实验测得黑体辐射本领在不同温度下，随波长的变化规律。根据维恩位移公式，可以确定黑

3、体的辐射本领极大值所对应的频率fm与黑体绝对温度成正比。1900年10月19日，基尔霍夫的学生普朗克，在德国物理学会会议上提出了一个黑体辐射能量密度的分布公式。但普朗克黑体辐射公式只能应用于黑体辐射情况，而不能对实际原子的热辐射情况进行预测，实际上，现代就没有各种物质原子的热能谱辐射公式。原子能级之间的跳跃一般伴随着辐射的吸收和发射，这是原子体系与辐射场相互作用的结果。爱因斯坦在1917年提出的辐射的发射和吸收理论，他用清晰的物理概念简洁地给出了受激发射与自发发射，吸收系数三者之关系，即著名的A、B系数；并推导出A、B系数之间的关系,但爱因斯坦没能给出A、B系数单独存在的物理函数关系;本文将推

4、导和阐明A、B系数单独存在的物理公式及其物理意义。2. 黑体原子或黑体分子的热辐射场原子之间的碰撞也可以改变原子内部运动状态，引起原子激发，从而发出电磁辐射。原子动能越大，通过碰撞引起的原子激发就越高，从而发出的辐射量子的频率也就越高。而这种辐射量子的频率，则与辐射原子的内部能级结构有关12345。 考虑由大量原子组成的宏观系统。一定温度下，原子的动能有一个分布，则发出的辐射量子的频率也有一个分布。这时的辐射场，是由大量具有不同频率的辐射量子组成的宏观体系。其中具有哪些频率，一般地与辐射原子的内部能级结构有关。而这些辐射量子在各个不同频率上的分布，则与整个辐射场的统计性质有关。 在一个封闭容器

5、中，宏观物质既发出电磁辐射，也吸收电磁辐射。经过长时间后，宏观原子体系与辐射场达到热平衡。达到热平衡的辐射场称为热辐射场，简称热辐射。热辐射是由大量光子（辐射量子）组成的处于统计平衡的宏观热力学体系，所以又称为光子气体。 热辐射是均匀、稳定和各向同性的，与位置、时间和方向无关，在某一频率f附近单位频率范围内的热辐射能量密度，只与频率f和温度T有关，用来表示。 （f，T）=在频率f附近单位频率范围内的热辐射能量密度。这个函数（f，T）称为热辐射的谱密度，简称热辐射能谱或热辐射谱。对所有的辐射频率求和，就可以得到热辐射的能量密度（T），（T）=（f，T）df （1）知道了热辐射能谱（f，T），就可

6、以算出照射在物体单位表面积上的辐射通量谱: e（f，T）= =c（，T） （2）一个物体如果在任何温度下都能把照射到它上面的任何频率的辐射能完全吸收，则它看起来就是完全黑的，我们把这种吸收本领与频率f和温度无关而恒等于1的物体称为绝对黑体，简称黑体。根据普朗克黑体辐射定律，就得到单位频率范围内的热辐射能量的谱密度（f，T）， ， （3）这就是普朗克公式，代入并乘以，就得到用波长来表示的热辐射能谱（，T）， 。 （4）辐射场能谱除以一个光子的能量，就是在频率附近单位频率范围内的光子数密度： （5）3.黑体分子与一般原子的吸收及辐射截面。照射在物体的参考通量谱与参考截面，绝对黑体满足在截面内所有频

7、率的光子都被吸收，在截面Sb外全部不吸收，也称为绝对黑体的最大吸收截面。Sb是一常数，对所有频率的光子都相同，所有真实的物质原子的吸收截面都不大于Sb，所有分子都有一个相同的辐射截面，包括实际分子或黑体分子，这个辐射截面与绝对黑体的最大吸收截面Sb完全相等故所有物质单个分子的辐射截面均用Sb表示，所有物质分子的摩尔辐射截面均用表示。Sb（相当于）可以看做所有分子的辐射截面。温度所对应的能谱环境是黑体辐射能谱环境，而非实际原子辐射环境。 n为原子表面附近所处环境中的对应光子的密度数。黑体分子的单位体密度。为实际物质原子的吸收本领，即该物质的最大光吸收本领。为实际原子对环境中相应频率光子的吸收截面

8、，为实际原子的摩尔吸光系数，为黑体分子的摩尔吸光系数。根据基尔霍夫热辐射定律，在相同温度和热平衡下，一般原子与黑体分子相比较，对环境中的对应光子吸收少，发射（辐射）也少，一个黑体分子的最大光子吸收截面。实际原子的单位表面积发出的辐射通量谱，黑体分子的热辐射能谱密度，则有实际原子的发射（辐射）本领： （6）那么一个实际原子发射相应频率的光子的功率（光谱通量）为： （7）为物质分子的摩尔辐射截面，一摩尔的原子发射相应频率的光子的功率（光谱通量）为：3.2介质分子的吸光系数介质在吸收形式上也可以引入一个复折射率来描述。若令吸收介质的折射率 则在介质内沿Z轴的方向传播的平面波的电场可以写为： （8）平

9、面波的强度为： （9）式中， 是Z=0处的光强，称为物质的吸收系数。该式表明光波的强度（能量）随着光波进入介质的距离Z的增大按指数定律衰减，衰减的快慢取决于物质的吸收系数的大小。上式通常称为布格尔定律或朗伯定律。比尔朗伯（Beer-lambert)定律，平行的单色光通过一均匀吸收介质时，未被吸收的透射光强度与入射光强度的关系为: （10） 式中d是介质厚度，为吸收质的吸收系数；C0是吸收质的物质的量浓度，为摩尔消光系数，其值与入射光的波长、温度、溶剂等性质有关。可得： （11）式中L为阿伏伽德罗常数；，N 为分子的密度数，即单位体积中吸收物质分子的个数；为电子对光子的吸收截面；C为光速。3.3

10、介质色散的经典模型现在我们应用经典的模型来具体地说明色散的物理内容。为简单起见，设电介质由同一种分子组成，分子中的离子可看成静止不动，电子运动采用经典的谐振子模型45678【9】。电子在入射电磁波的作用下受到一有效电场的作用。在有效场的作用下，电子受迫振动，其运动方程为 (12)式中是量度电子所受阻尼力的量。显然，上述方程的解为 (13)由此立即得到电介质的电极化强度为 (14)式中N为电介质单位体积中的电偶极子数。 对于液体和固体，()是比较复杂的。但对于气体，尤其是稀薄气体（）可以简化。此时，可以忽略分子之间的作用，即，利用，（14）式可以简化为 (15)并利用（15）式得 (16)这就是

11、气体的色散关系。由（16）式得： (17)这里，实部n为介质的折射率，虚部代表介质对电磁波的吸收，所以把叫做相关吸收系数。容易得到： (18)可以令一个原子对相关吸收系数的贡献为，可称为单原子相关吸收系数，根据（18）式则有： (19)由（19）式可得： （20）上式中，。将（11）式代入（20）式得： (21) 则一个电子对相应频率光子的吸收截面为： (22)在共振区，（21）式简化为： （23）3.4实际原子的热辐射能谱将（22）代入（6）式的实际原子的发射本领： （24）当时，（24）式可化为： (25)把（21）式代入（7）式得到一个实际原子发射（辐射）相应频率的光子的谱功率（光谱通量

12、）为： = (26)由（26）式可以发现，实际原子发射相应频率的光子的谱功率与该原子的摩尔吸光系数成正比关系。在共振区，（26）式简化为： (26b)从上式可见，在共振区，实际原子的发射谱线具有和吸收谱线相似的线型-洛伦茨线型。电子的辐射功率与吸收系数有相应的线性关系（正比例关系）。根据（5）式得到一个实际原子单位时间发射（辐射）相应频率的光子的个数为： （27）当时，（26）式与（27）式分别可化为： (28) (29)3.5实际原子的辐射能谱宽度实际观测到的原子光谱的谱线都有一定的宽度，如果强度分布的峰在处，则可用强度下降到一半的两点间隔来描述这条谱线的宽度。根据（26）式和（28）式可得

13、实际原子的谱线的峰宽度满足： 即： = （30）由于，故（31）式可化为： （31）由（31）式解得： （32）由（32）式可知，实际原子的谱线的峰宽度等于光色散方程中电子吸收该频率光子对应的阻尼系数。不同原子中的电子具有吸收不同频率光子的峰值，有相应的不同的阻尼系数；原子中不同的电子具有吸收不同频率光子的峰值，也有相应的不同的阻尼系数；同一原子中电子处于不同能级同样也有不同频率的光子辐射峰，从而有对应的不同的阻尼系数。4.爱因斯坦吸收系数A、B与吸光系数的关系爱因斯坦理论概要 .设有一对能级，其能量分别为E1和E2(E2 E1 )，简并度（又称统计权重）分别为g1和g2，粒子数密度分别为N1

14、和N2，在这一对能级之间，可以发生三种跃迁过程12345：（1）自发发射，在无外光场作用的条件下，一个处于上能级的原子受外场的作用，能跃迁到下能级，并释放出一个频率为的光子，.（2）当有频率为的外加辐射场照射此原子时，处在上能级的原子受外场的作用，能跃迁到下能级，并释放出一个光子，这叫受激发射。（3）在同前情况下，一个处于下能级的原子能吸收一个外场光子而跃迁到上能级，这叫受激吸收。受激发射与受激吸收合称受激跃迁。下面分别讨论其规律性。自发发射跃迁，每一个处于E2的原子，在单位时间内自发跃迁到下能级的概率记为A，对特定的一对能级，A是个恒量。因此，在dt时间内，单位体积中自发跃迁的总次数由下式给

15、出：A叫爱因斯坦A系数。至于究竟是哪些原子会跃迁，这是随机的。假设实际原子处于一个黑体辐射的能谱环境中，即环境中的能谱密度符合普朗克黑体辐射定律，而且反应物原子所在空间环境中能谱密度处处均匀、相同。现假设每个原子在某一平面方向吸收相应频率光子的吸收截面为，吸收截面为半径为r的圆面积，截面的单位方向矢量为，把原子或电子对光子的吸收截面以内的部分（近似）看做绝对黑体，能够吸收经过该截面内的所有相应光子，并在持续一段时间后能将其（部分）辐射出来，而在热平衡时全部辐射出来，在吸收截面之外的光子则完全不吸收，则： （33）上式仅仅指原子一个平面方向对光子的吸收；事实上原子对来自各个方向上的光子都有吸收，

16、也就是说原子对光子的吸收实际上是一个球面，现令每个原子吸收相应频率光子的吸收球面为，则： （34）假设进入原子（或电子）的光子吸收球面内的相应频率的光子都将被完全吸收，原子中电子在单位时间内吸收相应频率的光子能量辐射通量谱为： （35）其中： ,L为阿伏伽德罗常数；，N为分子的密度数，即单位体积中分子的个数；为电子对光子的吸收截面；C为光速，为辐射场的单位体积光子能量谱密度，称为辐射场的单位体积光子数量谱密度；并假设进入原子（或电子）的光子吸收球面内的相应频率的光子都将被完全吸收；根据(36)式，原子中电子在单位时间内吸收相应频率的光子数为：对于原子中电子处于某一单一频率的光子谱密度（光谱频宽

17、为）环境中，电子在单位时间吸收相应的光子数 （36）受激跃迁。处于低能级电子一旦吸收一个光子，就处于不稳定的激发状态，立即向高能级跃迁；处于高能级的电子一旦吸收一个光子，也处于不稳定的激发状态，立即辐射出两个相应光子，并向低能级跃迁。一定时间内一个电子受激跃迁的概率与该电子所吸收的对应频率光子的数量相同，即正比于外场的能量谱密度，也即与光子数量谱密度成正比，把这概率记作，有 （受激发射）， （受激吸收） （37）所以在dt时间内，单位体积中两种跃迁的次数分别为，和统称为爱因斯坦B系数。对每一个能级，和均是恒量。从热力学理论出发，可以证明A,B系数之间存在下列关系：, （38）式 中是能级的简并

18、度。当时，以上关系可简化为, (39)由一定时间内一个电子受激跃迁的概率与该电子所吸收的对应频率光子的数量相同，即受激辐射的速率等于高能级电子对光子的吸收速率，受激吸收的速率等于低能级电子对光子的吸收，故可得： （40）将上式代入（36）、（37）和（39）式可得： (41) （42）由可知，原子中同一电子处于高能级与处于低能级一样，对相应光子的吸收能力是相同的，也就是说同一种原子中的电子对光子的吸收截面是相同的，不变的。将（21）式代入（41）式和（42）式可得： （43） （44）由（43）式可知，不仅仅是特定频率的光子（如），包括各种频率的光子都能导致受激跃迁与受激辐射.一般情况下，则上

19、两式可化为： （45） （46）由（45）式可以发现受激跃迁的B系数只与成反比；为跃迁光子频率，称为光合电子的固有频率或基态频率（固结不脱光子），这种光子可能存在于超导体的电子中（电阻-热光子，电导光子-导电光子）。（为光合电子的固有或特征（特有）吸附时间）。为电子吸收或辐射相应光子的频宽5.结论实际物质原子的电子对不同频率的光子(电磁波)的吸收或辐射能力同(环境)温度是密切相关的.参考文献1杨福家.原子物理学(第三版).北京:高等教育出版社,2000.7.3236,p135138,139140.2王正行.近代物理学.北京:北京大学出版社,1995.1.p280291.296298.3褚圣麟.

20、原子物理学. 北京:高等教育出版社,1979.1.6271.4郑乐民.原子物理.北京:北京大学出版社,2000.2023, 2729.146150.5姚启均(原著) 华东师大光学教材编写组(改编). 光学教程. 北京:高等教育出版社,1981.6. 362364.386389.392401.431436.6梁铨廷.物理光学(第三版).北京:电子工业出版社,2008.4. 4045.7马西奎.电磁场理论及应用.西安:西安交通大学出版社,2000.6.p166168.8俎栋林.电动力学.北京:清华大学出版社,2006.9.364368.9郭硕鸿.电动力学（第二版）.北京:高等教育出版社,1997.

21、7.334335.Actual heat radiation of the Atomic formula and derivation of Kirchhoffs formula PENG Guo-liangEnvironmental protection bureau,Wuyishan city ,Fujian,chinaE-mail ( )Abstract: Actual heat radiation of the Atomic formulas and the Kirchhoff equation abstract: by assuming that absolute black body, like the material in this article is made up of molecules, known as a black body. Bold meets all frequencies in the cross section of photons are absorbed, and does not absorb all outside of the section, als