误差理论第四章测量不确定度

1、第第4 4章章 测量不确定度测量不确定度 Chapter4 Chapter4 Measuring Uncertainty 误差理论第四章测量不确定度 主要内容主要内容 1.1.测量不确定度的基本概念：产生背景、测量不确测量不确定度的基本概念：产生背景、测量不确 定度的定义及分类、测量误差与测量不确定度、产定度的定义及分类、测量误差与测量不确定度、产 生测量不确定度的原因。生测量不确定度的原因。 2.2.标准不确定度的标准不确定度的A A类评定。类评定。 3.3.标准不确定度的标准不确定度的B B类评定。类评定。 4.4.合成标准不确定度的评定。合成标准不确定度的评定。 5.5.扩展不确定度的评

2、定。扩展不确定度的评定。 6. 测量不确定度的报告与表示测量不确定度的报告与表示 误差理论第四章测量不确定度 【绪论】 研究不确定度的意义 一、研究不确定度的必要性一、研究不确定度的必要性 误差概念和误差分析在用于评定测量结果时,有 时显得既不完备，也难于操作。 一种更为完备合理、可操作性强的评定测量结果 的方法。 寻求寻求诞生诞生 测量不确定度 误差理论第四章测量不确定度 二、不确定度的由来二、不确定度的由来 v1927年德国物理学家海森堡提出不确定度关系，也称为测不 准关系。 v1953年Y.Beers在误差理论导引一书中给出实验不确定度。 v1970年C.F.Dietrich出版了不确定

3、度、校准和概率。 v1973年英国国家物理实验室的J.E.Burns等指出，当讨论测 量准确度时，宜用不确定度。 v1978年国际计量局(BIPM)发出不确定度征求意见书，征求各 国和国际组织的意见。 v1980年，国际计量局提出了实验不确定度建议书INC-1(1980) v1981年10月国际计量委员会提出了建议书（CI-1981），同 意INC-1。 误差理论第四章测量不确定度 不确定度的由来不确定度的由来( (续续) ) v1986年组成国际不确定度工作组，负责制定用于计量、生产、 科学研究中的不确定度指南。 国际标准化组织ISO；国际电工委员会IEC；国际计量局BIPM；国 际临床化学

4、联合会IFCC；国际理论化学与应用化学联合会IUPAC； 国际理论物理与应用物理联合会IUPAP；国际法制计量组织OIML。 v1993年出版了测量不确定度表示指南（Guide to the Expression of Uncertainty in Measurement，简称GUM）。 v1999年中国人民解放军总装备部批准发布了GJB 3756-99 测量不确定度的表示及评定。 v1999年国家质量技术监督局批准发布了JJF 1059-1999 测量不确定度评定与表示（Evaluation and Expression of Uncertainty in Measurement）,这规范原

5、则上等同采用了GUM 的基本内容。 误差理论第四章测量不确定度 三、不确定度的应用领域三、不确定度的应用领域 （1）一些产品生产过程中的质量检测、质量保证与控制， 以及商品流通领域中的商品检验等有关质量监督、质量控 制和建立质量保证体系的质量认证活动； （2）国家标准的各级标准、仪器和测量系统的校准、检定、 和标记等计量确认活动； （3）基础科学和应用科学领域中的研究、开发和试验，以 及实验室认可活动； （4）科学研究与工程领域内的测量，以及与贸易结算、医 疗卫生、安全防护、环境与资源监测等有关的其他测量活动； （5）用于对可以用单值和非单值表征被测量的测量结果的 评定，以及对测量和测量器具的

6、设计和合格评定。 误差理论第四章测量不确定度 4.1 4.1 测量不确定度的基本概念测量不确定度的基本概念 一、一、测量测量不确定度定义不确定度定义 指测量结果变化的不肯定，是表征被测量的真值所处 范围的一个估计，用于表征被测量值的分散性，是测量 结果含有的一个参数 。 该参数是一个表征分散性的参数。它可以是标准差或其 倍数，或说明了置信水平的区间半宽。 该参数一般由若干个分量组成，统称为不确定度分量 该参数是用于完整地表征测量结果的 yU 被测量值 的估计 测量不 确定度 误差理论第四章测量不确定度 二、不确定度的来源二、不确定度的来源 （1）对被测量的定义不完整或不完善 （2）复现被测量定

7、义的方法不理想 （3）测量所取样本的代表性不够 （4）对测量过程受环境影响的认识不周全，或对环境 条件的测量与控制不完善 （5）对模拟式仪器的读数存在人为偏差 （6）仪器计量性能上的局限性 误差理论第四章测量不确定度 （7）赋予测量标准和标准物质的标准值的不准确 （8）引用常数或其它参量的不准确 （9）与测量原理、测量方法和测量程序有关的的近似 性或假定性 （10）在相同的测量条件下，被测量重复观测值的随 机变化 不确定度的来源（续）不确定度的来源（续） （11）对一定系统误差的修正不完善 （12）测量列中的粗大误差因不明显而未剔除 误差理论第四章测量不确定度 三、不确定度评定方法的分类三、不

8、确定度评定方法的分类 A A类评定类评定（type A evaluation of uncertainty） 指用对样本观测值的统计分析进行不确定度评 定的方法。 B B类评定类评定（type B evaluation of uncertainty） 指用不同于统计分析的其他方法进行不确定度 评定的方法。 误差理论第四章测量不确定度 四、测量不确定度与测量误差四、测量不确定度与测量误差 误差理论第四章测量不确定度 四、测量不确定度与测量误差四、测量不确定度与测量误差 误差理论第四章测量不确定度 四、测量不确定度与测量误差四、测量不确定度与测量误差 误差理论第四章测量不确定度 4.2 标准不确定

9、度的评定 4.2.1 4.2.1 标准不确定度标准不确定度的的A A类评定类评定 一、单次测量结果的标准差与平均值的标准差 对被测量X，在重复性条件下进行n次独立重复观测， 观测值为xi，算术平均值为 为单次测量的标准差，由贝塞尔公式 计算得到 为平均值的标准差，其值为 n i i x n x 1 1 n i i xx n 1 2 )( 1 1 x n x 误差理论第四章测量不确定度 当测量结果取观测到的任一次xi时所对应的A类不确定度 为 当测量结果取n次的算术平均值时，所对应的A类不确定 度为 xi u nu xxi / 误差理论第四章测量不确定度 例 对一等标准活塞压力计的活塞有效面积进

10、行检 定。在各种压力下测得10次活塞有效面积li如下： 0.250 670 0.250 673 0.250 670 0.250 671 0.250 675 0.250 671 0.250 675 0.250 670 0.250 673 0.250 670 则其最佳估计值为 误差理论第四章测量不确定度 0.250 672 由贝塞尔公式求得单次测量标准差为 2.05106 l由测量重复性导致的标准不确定度u1为 0.65106 10 ii l n l l 110 1038 1 )( 12 2 n lli n u l 1 误差理论第四章测量不确定度 二、A类不确定度评定流程 误差理论第四章测量不确定

11、度 4.2.2 4.2.2 标准不确定度的标准不确定度的B B类评定类评定 B类评定方法获得不确定度，不是依赖于对样本数据的 统计 而是设法利用与被测量有关的其他来进行估计。 因此，十分重要，而且 也很重要 基于统计方法之外的方法来估计概率分布或分布假 设来确定标准差并得到标准不确定度。 误差理论第四章测量不确定度 过去的测量数据过去的测量数据 测量仪器的特性和其他相关资料等；测量仪器的特性和其他相关资料等； 测量者的经验与知识；测量者的经验与知识； 假设的概率分布及其数字特征。假设的概率分布及其数字特征。 一、一、B B类评定的信息来源类评定的信息来源 校准证书、检定证书、测试报告及其他证书

12、文件校准证书、检定证书、测试报告及其他证书文件 生产厂家的技术说明书生产厂家的技术说明书 引用的手册、技术文件、研究论文和实验报告中给引用的手册、技术文件、研究论文和实验报告中给 出的参考数据及不确定度值等出的参考数据及不确定度值等 误差理论第四章测量不确定度 二、二、B B类评定方法类评定方法 （1）若由先验信息给出测量结果的概率分布，及其“置 信区间”和“置信水平” ( ) p a u x k 置信区间的半宽 置信水平p的包含因子 （2）若由先验信息给出的测量不确定度U为标准差的k倍时 ( ) U u x k （3）若由先验信息给出测量结果的“置信区间”及其概 率分布 ( ) U u x

13、k 置信区间的半宽 置信水平接近1的包含因子 误差理论第四章测量不确定度 设校准证书给出名义值10的标准电阻器的电 阻，测量结果服从正态分 布，置信水平为99。求其标准不确定度。 例例 解解 根据题意，该标准电阻器的置信区间半宽 129a 查表得 99 2.576k 计算 129 ()50.078 2.576 S u R 10.00074129 s R 误差理论第四章测量不确定度 （4）界限不对称的考虑 在输入量Xi可能值的下界a-和上界a相对于其最 佳估计值xi不对称的情况下，即下界a-xi-b，上 界axi+b，其中bb。这时由于xi不处于a- 至a区间的中心，Xi的概率分布在此区间内不会

14、是 对称的，在缺乏用于准确判定其分布状态的信息 时，按矩形分布处理 12 )( 12 )( )( 22 2 aabb xu i 误差理论第四章测量不确定度 例如设手册中给出的铜膨胀系数a 2 0 （C u ） 16.521061，但指明最小可能值为16.40106 1，最大可能值为16.921061。这时， b（16.5216.40）10610.121061 b（16.9216.52）10610.401061 由上式得u0.151061 误差理论第四章测量不确定度 （5）由重复性限或复现性限求不确定度由重复性限或复现性限求不确定度 在规定实验方法的国家标准或类似技术文件中，按 规定的测量条件，

15、当明确指出两次测量结果之差的 重复性限r或复现性限R时，如无特殊说明，则测量 结果标准不确定度为 u（xi）r2.83或u（xi）R2.83 这里，重复性限r或复现性限R的置信水平为95， 并作为正态分布处理。 误差理论第四章测量不确定度 （6）以“等”使用的仪器的不确定度计算 以“等”使用仪器的不确定度计算一般采用正态分布 或t分布。 （7）以“级”使用仪器的不确定度计算 当测量仪器检定证书上给出准确度级别时，可按检定 系统或检定规程所规定的该级别的最大允许误差进行 评定。假定最大允许误差为A，一般采用均匀分布， 得到示值允差引起的标准不确定度分量 3 )( A xu 误差理论第四章测量不确

16、定度 （8）三角分布 当估计值x受到两个独立且皆是具有均匀分布的因 素影响，则x服从在区间（x-a,x+a）内的三角分 布，其标准不确定度为 6 a u x （9）反正弦分布 当估计值x服从在区间（x-a,x+a）内的反正弦分 布，其标准不确定度为 2 a u x 误差理论第四章测量不确定度 几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计 （1 1）舍入误差）舍入误差 舍入误差的最大误差界限为0.5（末），按均匀分 布考虑，故标准不确定度为 0.5() ( )0.3() 3 u x 末 末 （2 2）引用误差）引用误差 测量上限为的级电表，其最大引用误差限 （即最大允许不确定度）为 m xs (

17、)% m U xxs 按均匀分布考虑，故标准不确定度为 % ( ) 3 m xs u x 误差理论第四章测量不确定度 （3 3）示值误差）示值误差 某些测量仪器是按符合“最大允许误差”要求而制造的， 经检验合格，其最大允许误差为 a 按均匀分布考虑，故标准不确定度为 ( )0.6 3 a u xa （4 4）仪器基本误差）仪器基本误差 设某仪器在指定条件下对某一被测量进行测量时，可能 达到的最大误差限为 a 按均匀分布考虑，故标准不确定度为 ( )0.6 3 a u xa 几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计 误差理论第四章测量不确定度 （5 5）仪器分辨力）仪器分辨力( (率率) )

18、设仪器的分辨力为，则其区间半宽度为 按均匀分布考虑，故标准不确定度为 （6 6）仪器的滞后）仪器的滞后 滞后引起的标准不确定度为 x ( )0.3 2 3 x x u x 几种常见误差的分布情形及其标准不确定度估计 33 x x a u x 误差理论第四章测量不确定度 四、B类标准不确定度评定的流程 误差理论第四章测量不确定度 4.2.3 4.2.3 自由度及其确定自由度及其确定 研究自由度的意义 由于不确定度是用标准差来表征，因此，不确定度的 评定质量就取决于标准差的可信赖程度。而标准差的信 赖程度与自由度密切相关，自由度愈大，标准差愈可信 赖。所以，自由度的大小就直接反映了不确定度的评定

19、质量 不确定度的评 定质量 标准差的可 信赖程度 自由度 误差理论第四章测量不确定度 自由度的概念自由度的概念 自由度自由度（degrees of freedom） 可靠程度 不确定度计算表达式中总和包含的项数减去其中各项 之间存在的约束条件数。 误差理论第四章测量不确定度 对于A类评定，各种情况下的自由度为： 1用贝塞尔公式计算标准差时，若测量次数为n，则自由度 n1 2当同时测量t个被测量时，自由度 nt 3对于合并样本标准差sp，其自由度为各组的自由度之和。 例如，对于每组测量n次，共测量m组的情况，其自由度为 m（n1） 一、一、 标准不确定度标准不确定度A类评定的自由度类评定的自由度

20、 自由度的确定自由度的确定 误差理论第四章测量不确定度 3456789101520 1234567891419 Bessel 公式 最大误差法 最大残差法 1.92.63.33.94.65.25.86.46.98.39.5 0.91.82.73.64.45.05.66.26.89.311.5 表表4-1 4-1 几种几种A A类评定不确定度的自由度类评定不确定度的自由度 1 0.90.9 一、一、 标准不确定度标准不确定度A类评定的自由度类评定的自由度 自由度的确定自由度的确定 用贝塞尔公式计算标准差时，若测量次数为n，则自由度 n1 误差理论第四章测量不确定度 二、标准不确定度二、标准不确定

21、度B类评定的自由度类评定的自由度 B类不确定度分量的自由度与所得到的标准不确定 度以u（xi）的相对标准不确定度(u)u有关 式中，(u)是u的标准差，即(u)是标准差的标 准差，不确定度的不确定度。 2 11 2 ( )u u 误差理论第四章测量不确定度 当不确定度的评定有严格的数字关系，如数显仪 器量化误差和数据修约引起的不确定度计算，自 由度为。 当计算不确定度的数据来源于校准证书、检定证 书或手册等比较可靠资料时，可取较高自由度。 当不确定度的计算带有一定主观判断因素，如指 示类仪器的读数误差引起的不确定度，可取较低 的自由度。 当不确定度的信息来源难以用有效的实验方法验 证，如量块检

22、定时标准量块和被检量块的温度差 的不确定度，自由度可以非常低。 误差理论第四章测量不确定度 对于B类评定的不确定度，其自由度一般通过相 对标准不确定度来折算。 00.10 0.20 0.25 0.30 0.40 0.50 50 128632自由度 表表4-24-2相对标准不确定度与自由度的关系相对标准不确定度与自由度的关系 相对标准不确定度 误差理论第四章测量不确定度 某激光管发出的激光之波长，经检定为 后来又 用更精确的方法，测得该激光管的波长为 ，试估计原检定波长的标准不确定度及其自由度。 【例例】 0.63299130m 0.63299144m 【解解】 查表4-1其自由度 0.9 用了

23、更精确的方法测量激光管的波长，故可认 为约定真值为 0.63299144m 则原检定波长的真误差为 8 0.632991300.6329914414 10 m 可用最大误差法进行类评定，因n=1，查表得 1 11.25k 则标准差即原检定波长的标准不确定度 87 1 1.25 14 101.75 10 n us k m 误差理论第四章测量不确定度 4.3 测量不确定度的合成 4.3.1 4.3.1 合成标准不确定度合成标准不确定度 一、合成公式 输出量估计值 的标准不确定度 y 输入量估计值 和 的标准不确定度 i x j x 称为传递系数传递系数； i i F a x 相关系数 ( ) c

24、uy ( ) i u x() j u x 22 11 22 11 ( )( )2( ) () ( )2( ) () mm ciijij iij iij mm iiijijij iij FFF uyuxu x u x xxx a uxa a u x u x （）标准不确定 度传播公式 ij ),( 21n xxxFy 误差理论第四章测量不确定度 简单的合成公式 2 2 1 ( )( ) m ci i i F uyux x 当 和 相互独立时, i x j x 0 ij 标准不确定度合成公式 误差理论第四章测量不确定度 若引起不确定度分量的各种因素与测量结果之间为： 没有确定的函数关系时，则传递系

25、数等于1 2 11 2 mm ciijij ii j uuuu 第个标准不确定度分量 第和第j个标准不确定度分量之间的相关系数 不确定度分量的个数 合成标准不确定度 c u ij m 1 u 误差理论第四章测量不确定度 二、有效自由度 合成标准不确定度的自由度称为有效自由度有效自由度， 一般用 来表示。 eff 当各分量均服从正态分布，且相互独立时，可根据韦 尔-萨特思韦特（Welch- Satterthwaite）公式来计算 其合成标准不确定度的有效自由度。 N i i i c eff u u 1 4 4 误差理论第四章测量不确定度 三、应用举例 某测量结果含5个不确定度分量，每个分量的大小

26、及自 由度见下表，它们之间的协方差均为零，求其合成标准 不确定度和有效自由度。 来源 序号 1 2 3 4 5 合成结果 基准尺 读数 电压表 电阻表 温度 1.0 1.0 1.4 2.0 2.0 5 10 4 16 1 不确定度 符号数值符号数值 自由度 3.57.8 误差理论第四章测量不确定度 【解解】 22222 12345 22222 1.01.01.42.02.03.5 c uuuuuu 合成标准不确定度 有效自由度 4 44444 3.5 7.8 1.01.01.42.02.0 5104161 eff v 误差理论第四章测量不确定度 【解】 由合成标准不确定度的计算公式得 22 (

27、 )( )() 128.715 c VV u Vu VuV VV （）V 被测电压的已修正结果为，其中重复测 量6次的算术平均值=0.928571V，A类标准不确定 度为 。修正值，修正值的标准不 确定度由B类评定方法得到， ，估计的 相对误差为25%。试求V的合成标准不确定度、相对 标准不确定度及其自由度。 VVV V ( )12u V V0.01VV ()8.7uVV 例例 误差理论第四章测量不确定度 A类评定自由度( )6 15V 查B类评定自由度表得 ()8V 44 4444 ( )15 ( )10.4 ( )()128.7 ( )()58 c uV V u VuV VV 有效自由度

28、V的相对标准不确定度为 6 6 ( )15 10 16 10 0.928571 0.01 c u V V 误差理论第四章测量不确定度 4.3.2 4.3.2 扩展不确定度扩展不确定度 一、概述 在传统场合多用合成标准不确定度 来表示测量结果的 分散性，但在许多领域，常要求用扩展不确定度来表示 c u 扩展不确定度的两种方法表示扩展不确定度的两种方法表示 c Uku ppc Uk u 合成标准不确定度乘以包含因子 给定的置信概率或置信水平 p 误差理论第四章测量不确定度 二、包含因子的确定方法 自由度法 简易法 扩展不确定度表示方法中，关键是确定包含因子 常用方法 误差理论第四章测量不确定度 自

29、由度法 () ppeff ktv 有效自由度 置信水平，常取95%或99% 查t分布表 包含因子可取为 eff v p 误差理论第四章测量不确定度 简易法 不知道 自由度和有关合成分布的信息，被测量值 的估计区间及其置信水平。 怎么办？ 取包含因子k=2或3 简易法 误差理论第四章测量不确定度 三、扩展不确定度评定的流程 误差理论第四章测量不确定度 例例 用卡尺对某工件直径重复测量了三次，结果为15.125， 15.124和15.127mm。 试写出其测量的最佳估计值和测量重 复性。已知该卡尺的产品合格证书上标明其最大允许误差 为0.025mm，假设测量服从三角分布（置信因子取），估 计其不可

30、信赖程度为25%。试表示其测量结果。 6 【解】 （1）计算算术平均值和测量重复性 3 1 11 15.125 15.12415.12715.1253 3 i i dd n （） ，用极差法估计s，有 3n 15.127 15.124 0.0018 1.693 s 误差理论第四章测量不确定度 （2）用A类评定方法估计测量不确定度分量之一 计算算术平均值的标准差，即多次测量的重复性 1 0.0018 0.001 3 u （3）用B类评定方法估计测量不确定度分量之二 2 0.025 0.015 6 u （4）求合成标准不确定度 22 0.0010.0150.015 c u 合成不确定度的计算 误差

31、理论第四章测量不确定度 求扩展不确定度 自由度法自由度法 其不可信赖程度为25%，卡尺允许误差极限 分量的自由度为 1 8 重复测量分量的自由度为 2 3 12 则有效自由度 4 44 0.015 8 0.0010.015 28 v 扩展不确定度 9999 83.355 0.0150.049 c Utu（ ） 误差理论第四章测量不确定度 4.3.3 4.3.3 不确定度的报告与表示不确定度的报告与表示 一个完 整的测 量结果 被测量的最佳估计值，一般由 算术平均值给出 有关测量不确定度的信息 误差理论第四章测量不确定度 一、报告的基本内容 1 测量不确定度用合成标准不确定度表示 合成标准不确定

32、度 c u自由度 2 测量不确定度用展伸不确定度表示 展伸不确定度U 合成标准不确定度 c u自由度 包含因子 k 置信水平 p 3 尽可能提供更详细的信息 误差理论第四章测量不确定度 2、展伸不确定度表示方式 某标准砝码的质量某标准砝码的质量M M，其测量的估计值，其测量的估计值 扩展扩展 不确定度不确定度 U=0.00079gU=0.00079g 100.02147gm 其中，其中，U=kuc=0.00079g，是由合成标准不确定度，是由合成标准不确定度 uc=0.00035g和包含因子和包含因子k=2.26确定的，确定的，k是由置信概是由置信概 率率P=0.95和自由度和自由度9，并由，并由t分布表查的。分布表查的。 M=mU=(100.021470.00079)g 误差理论第四章测量不确定度 三、数字位数与数据修约规则 在表示测量结果时，究竟取几位数字为好呢？总结以 下几条原则 (1) 最后报告的不确定度有效位数一般不超过两位 当保留一位有效数字时，按“三分之一原则”进行修 约。 多余部分推荐多余部分推荐 当保留两位有效数字时，按“不为零即进位”； 0.001 101 0.001 2 0.001 001 0.001 (2) 测量结果估计值的有效位数按“四舍六入逢五取偶”舍 取 误差理论第四章测量不确定度 在最终表示测量结果的场合，规范和完整的表示方式有以下 两种： （