二次函数与圆的综合

1、。二次函数与圆的综合5（ 2012?济南）如图1，抛物线y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点A（ 3， 0）， B（ 1，0），与y 轴相交于点C， O1 为 ABC的外接圆，交抛物线于另一点D（ 1）求抛物线的解析式；（ 2）求 cos CAB的值和 O1 的半径；（ 3）如图 2，抛物线的顶点为 P，连接 BP，CP，BD，M为弦 BD中点，若点 N 在坐标平面内，满足 BMN BPC，请直接写出所有符合条件的点N 的坐标考点：二次函数综合题分析：（ 1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（ 2）如答图1 所示，由 AOC为等腰直角三角形，确定 CAB=45，从而求出其三角函数值；由圆

2、周角定理，确定 BO1C 为等腰直角三角形，从而求出半径的长度；（ 3）如答图2 所示，首先利用圆及抛物线的对称性求出点D 坐标，进而求出点M的坐标和线段BM的长度；点B、P、C 的坐标已知，求出线段BP、BC、PC的长度；然后利用 BMN BPC相似三角形比例线段关系，求出线段BN和 MN的长度；最后利用两点间的距离公式，列出方程组，求出点N 的坐标解答：解：（ 1） 抛物线 y=ax 2+bx+3 与 x 轴相交于点A（ 3， 0）， B（ 1， 0），解得 a=1， b=4，2 抛物线的解析式为：y=x +4x+3（ 2）由（ 1）知，抛物线解析式为： y=x 2+4x+3， 令 x=0

3、，得 y=3， C（ 0，3）， OC=OA=3，则 AOC为等腰直角三角形， CAB=45，精选资料，欢迎下载。 cos CAB=在 Rt BOC中，由勾股定理得：BC=如答图 1 所示，连接O1B、 O1C，由圆周角定理得： BO1C=2 BAC=90， BO1C 为等腰直角三角形， O1 的半径 O1B=BC=22（ 3）抛物线y=x +4x+3=（ x+2） 1， 顶点 P 坐标为（ 2， 1），对称轴为x= 2又 A（ 3， 0），B（ 1，0），可知点A、 B 关于对称轴x= 2 对称如答图 2 所示，由圆及抛物线的对称性可知：点D、点 C（ 0， 3）关于对称轴对称， D（ 4，

4、 3）又 点 M为 BD中点， B（ 1， 0），M（，），BM=；在 BPC中， B（ 1， 0）， P（ 2， 1）， C（0， 3），由两点间的距离公式得：BP=， BC=， PC= BMN BPC，即，解得： BN=， MN=设 N（ x，y），由两点间的距离公式可得：，解之得，点 N的坐标为（，）或（，）精选资料，欢迎下载。点评：本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾股定理、两点间的距离公式等重要知识点，涉及的考点较多，试题难度较大难点在于第（ 3）问，需要认真分析题意，确定符合条件的点N有两个，并画出草图；然后寻找线段之间的数量关系，最终正确求得点

5、N 的坐标6（ 2011?遵义）已知抛物线 y=ax2 +bx+3（ a0）经过 A（ 3， 0）， B（4， 1）两点，且与 y 轴交于点 C2（1）求抛物线y=ax +bx+3（ a0）的函数关系式及点C 的坐标；（2）如图（ 1），连接 AB，在题（ 1）中的抛物线上是否存在点P，使 PAB是以 AB 为直角边的直角三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）如图（ 2），连接 AC， E 为线段 AC上任意一点（不与 A、 C 重合）经过 A、 E、 O三点的圆交直线 AB于点 F，当 OEF的面积取得最小值时，求点 E 的坐标精选资料，欢迎下载。考点：二次函数综合题

6、分析：（ 1）根据 A（ 3， 0）， B（4， 1）两点利用待定系数法求二次函数解析式；（ 2）从当 PAB是以 AB 为直角边的直角三角形，且 PAB=90与当 PAB是以 AB为直角边的直角三角形，且 PBA=90，分别求出符合要求的答案；（ 3）根据当 OE AB时， FEO面积最小，得出 OM=ME，求出即可解答：解：（ 1） 抛物线 y=ax 2+bx+3（ a0）经过 A（ 3， 0）， B（ 4， 1）两点，解得：， y= x2 x+3； 点 C 的坐标为：（0， 3）；（ 2）假设存在，分两种情况： 当 PAB是以 AB为直角边的直角三角形，且 PAB=90，如图 1，过点

7、B 作 BM x 轴于点 M， A（ 3，0）， B（ 4， 1）， AM=BM=1， BAM=45， DAO=45， AO=DO， A 点坐标为（ 3，0）， D点的坐标为： （0， 3）， 直线 AD解析式为： y=kx+b ，将 A，D 分别代入得： 0=3k+b， b=3， k= 1， y= x+3， y= x2 x+3=x+3， x 2 3x=0 ，精选资料，欢迎下载。解得： x=0 或 3， y=3， y=0（不合题意舍去） ， P 点坐标为（ 0，3）， 点 P、C、 D重合， 当 PAB是以 AB为直角边的直角三角形，且 PBA=90，如图 2，过点 B 作 BF y 轴于点

8、F，由（ 1）得， FB=4， FBA=45， DBF=45， DF=4， D点坐标为：（ 0， 5）， B 点坐标为：（ 4， 1）， 直线 BD解析式为： y=kx+b ，将 B，D 分别代入得： 1=4k+b， b=5， k= 1， y= x+5， y= x2 x+3=x+5， x2 3x 4=0，解得： x1= 1，x2=4（舍）， y=6， P 点坐标为（ 1， 6）， 点 P 的坐标为：（ 1， 6），（ 0， 3）；（ 3）如图 3：作 EM AO于 M， 直线 AB的解析式为： y=x 3， tan OAC=1， OAC=45， OAC= OAF=45， AC AF， SFEO

9、= OEOF，OE最小时 SFEO最小， OE AC时 OE最小， AC AF OE AF EOM=45， MO=EM， E 在直线 CA上， E 点坐标为（ x， x+3）， x= x+3，解得： x=， E 点坐标为（，）精选资料，欢迎下载。点评：此题主要考查了二次函数的综合应用以及待定系数法求函数解析式，二次函数的综合应用是初中阶段的重点题型特别注意利用数形结合是这部分考查的重点也是难点同学们应重点掌握7（ 2011?襄阳）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，AB在 x 轴上， AB=10，以 AB为直径的 O 与 y 轴正半轴交于点 C，连接 BC， AC CD是 O的切线， AD丄

10、CD于点 D， tan CAD= ，抛物线 y=ax2 +bx+c 过 A，B， C 三点（1）求证： CAD= CAB；（2） 求抛物线的解析式； 判断抛物线的顶点E 是否在直线CD上，并说明理由；（3）在抛物线上是否存在一点P，使四边形PBCA是直角梯形？若存在，直接写出点P的坐标（不写求解过程） ；若不存在，请说明理由精选资料，欢迎下载。考点：二次函数综合题分析：（ 1）连接 OC，由 CD是 O的切线，可得OC CD，则可证得OC AD，又由 OA=OC，则可证得 CAD=CAB；2（ 2） 首先证得 CAO BCO，根据相似三角形的对应边成比例，可得 OC=OA?OB，又由 tan

11、CAO=tan CAD= ，则可求得 CO， AO， BO的长，然后利用待定系数法即可求得二次函数的解析式； 首先证得 FOC FAD，由相似三角形的对应边成比例，即可得到 F 的坐标，求得直线 DC的解析式，然后将抛物线的顶点坐标代入检验即可求得答案；（ 3）根据题意分别从PA BC与 PBAC去分析求解即可求得答案，小心不要漏解解答：（ 1）证明：连接OC， CD是 O的切线， OC CD， AD CD， OC AD， OCA= CAD， OA=OC， CAB= OCA， CAD= CAB；（ 2）解： AB 是 O的直径， ACB=90， OC AB， CAB= OCB， CAO BCO

12、，2即 OC=OA?OB， tan CAO=tanCAD= ， AO=2CO，又 AB=10，2 OC=2CO（ 10 2CO）， CO 0，精选资料，欢迎下载。 CO=4，AO=8， BO=2， A（ 8， 0）， B（2， 0），C（ 0， 4）， 抛物线 y=ax 2+bx+c 过点 A， B，C 三点， c=4，由题意得：，解得：， 抛物线的解析式为：y=x2x+4； 设直线 DC交 x 轴于点 F， AOC ADC， AD=AO=8， OC AD， FOC FAD， 8（ BF+5） =5（ BF+10）， BF= ，F（， 0）；设直线 DC的解析式为y=kx+m，则，解得：， 直

13、线 DC的解析式为 y= x+4，由 y= x2x+4= （ x+3）2+得顶点 E 的坐标为（3，），将 E（ 3，）代入直线 DC的解析式 y= x+4 中，右边 = （ 3） +4=左边， 抛物线顶点 E 在直线 CD上；（ 3）存在， P1（ 10， 6）， P2（ 10， 36） A（ 8， 0）， C（ 0， 4）， 过 A、C 两点的直线解析式为 y= x+4，精选资料，欢迎下载。设过点 B 且与直线AC平行的直线解析式为：y=x+b，把 B（2， 0）代入得b=1， 直线 PB的解析式为y=x 1，解得，（舍去）， P1（ 10， 6） 求 P2 的方法应为过点A 作与 BC平

14、行的直线，可求出 BC解析式，进而求出与之平行的直线的解析式，与求 P1 同法，可求出x1= 8， y1=0（舍去）； x2=10，y2 =36 P2 的坐标（ 10， 36）点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式， 相似三角形的判定与性质， 点与函数的关系，直角梯形等知识此题综合性很强，难度较大，解题的关键是注意数形结合与方程思想的应用8（ 2011?潍坊）如图，y 关于 x 的二次函数y=（ x+m）（ x 3m）图象的顶点为M，图象交 x 轴于 A、B 两点，交 y 轴正半轴于 D点以 AB 为直径作圆，圆心为 C定点 E 的坐标为（ 3， 0），连接 ED（ m0）（ 1）写出 A、

15、 B、 D三点的坐标；（ 2）当 m为何值时 M点在直线 ED上？判定此时直线与圆的位置关系；（3）当 m变化时， 用 m表示 AED的面积 S，并在给出的直角坐标系中画出S 关于 m的函数图象的示意图考点：二次函数综合题精选资料，欢迎下载。专题：压轴题；分类讨论分析：（ 1）根据 x 轴， y 轴上点的坐标特征代入即可求出A、B、 D 三点的坐标；（ 2）待定系数法先求出直线 ED的解析式， 再根据切线的判定得出直线与圆的位置关系；（ 3）分当 0 m 3 时，当 m 3 时两种情况讨论求得关于m的函数解答：（ x+m）（ x 3m） =0，解得 x1= m，x2=3m；解：（ 1）令 y=

16、0，则令 x=0，则 y=（ 0+m）（0 3m）=m故 A（ m， 0）， B（ 3m， 0）， D（ 0，m）（ 2）设直线 ED的解析式为 y=kx+b ，将 E（ 3， 0）， D（0，m）代入得：解得， k=， b= m 直线 ED的解析式为 y=mx+ m将 y=（ x+m）（ x 3m）化为顶点式： y= （ x m） 2+m 顶点 M的坐标为（ m，m）代入 y=mx+2m得： m=m m 0， m=1所以，当 m=1时， M点在直线 DE上连接 CD，C 为 AB中点， C点坐标为 C（ m， 0） OD= ， OC=1， CD=2，D 点在圆上222又 OE=3， DE=O

17、D+OE=12，22EC =16， CD=4，222 CD+DE=EC EDC=90 直线 ED与C相切（ 3）当 0 m 3 时， S=AE?OD=m（ 3 m）AED2S=m+m当 m 3 时， SAED= AE ?OD=m（ m 3）2_m即 S= mS 关于 m的函数图象的示意图如右：精选资料，欢迎下载。点评：本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有x 轴， y 轴上点的坐标特征，抛物线解析式的确定，抛物线的顶点公式和三角形的面积求法注意分析题意分情况讨论结果9（ 2011?邵阳）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，已知点A（，0），点 C（ 0，3），点 B 是 x 轴上一点（

18、位于点A 的右侧），以 AB为直径的圆恰好经过点C（ 1）求 ACB的度数；（ 2）已知抛物线 y=ax2 +bx+3 经过 A、 B 两点，求抛物线的解析式；（ 3）线段 BC上是否存在点 D，使 BOD为等腰三角形？若存在，则求出所有符合条件的点D的坐标；若不存在，请说明理由考点：二次函数综合题专题：综合题分析：（ 1）根据直径所对的圆周角是直角可以得到ACB的度数（ 2）利用三角形相似求出点 B 的坐标，然后把 A，B 两点的坐标代入抛物线求出抛物线的解析式（ 3）分别以 OB为底边和腰求出等腰三角形中点D 的坐标解答：解：（ 1） 以 AB为直径的圆恰好经过点 C， ACB=90（ 2） AOC COB，2 OC=AO?OB， A（， 0），点 C（ 0，3），精选资料，欢迎下载。， OC=3，2又 CO=AO?OB， OB=4， B（ 4，0）把