11.等边三角形提高知识讲解

1、等边三角形(提高) 【学习目标】 1. 掌握等边三角形的性质和判定 2. 掌握含30角的直角三角形的一个主要性质. 3. 熟练运用等边三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算. 【要点梳理】 【等边三角形，知识要点】 要点一、等边三角形 等边三角形定义： 三边都相等的三角形叫等边三角形. 要点诠释：由定义可知，等边三角形是一种特殊的等腰三角形.也就是说等腰三角形包 括等边三角形. 要点二、等边三角形的性质 等边三角形的性质： 等边三角形三个内角都相等，并且每一个内角都等于60 . 要点三、等边三角形的判定 等边三角形的判定： (1) 三条边都相等的三角形是等边三角形； (2) 三个角都相等的三

2、角形是等边三角形； (3) 有一个角是60 的等腰三角形是等边三角形. 要点四、含30的直角三角形 含30的直角三角形的性质定理： 在直角三角形中，如果有一个锐角是30,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 要点诠释：这个定理的前提条件是“在直角三角形中”，是证明直角三角形中一边等于 另一边(斜边)的一半的重要方法之一，通常用于证明边的倍数关系 【典型例题】 类型一、等边三角形 1、已知：如图，B C E三点共线，- ABC , DCE都是等边三角形，连结 AE BD 分别交CD AC于N M,连结 MN. 求证：AE= BD, MIN/ BE. 【答案与解析】 证明： ABC , DCE都是等

3、边三角形 BC= AC, CE= CD / 1 = Z 3 = 60 / 1 + Z 2+Z 3= 180 在BCD和ACE中 / 2= 60. BCD = . ECA /BCD =/ACE （已证） CD =CE BC 二 AC BCDA ACE （ SAS .4/5 （全等三角形对应角相等） BD= AE （全等三角形对应边相等） 在BMC和.ANC中 4=5 BC = AC （已证） 4 =N2 BMC2A ANC（ ASA MC= NC （全等三角形对应边相等） / 2= 60 MCN是等边三角形（有一个角为 60的等腰三角形是等边三角形） -Z 6= 60,./ 6=/ 1 MN/

4、BE （内错角相等，两直线平行） 【总结升华】 本题应从等边三角形的性质出发，利用三角形全等证明AE= BD为证明MN/ BE可先证明厶MNC为等边三角形，再利用角去转化证明. 【等边三角形：例 8】 C2、如图， ABC为等边三角形，延长 BC到 D,延长BA到E,使AE= BD连接CE DE. 求证：CE= DE. BC D 【思路点拨】 此题如果直接找含有 CE和DE的三角形找不到，也不方便证/ ECD=/ EDC联 想的全等三角形的性质，把原等边ABC扩展成大等边 BEF后，易证 EBC EFD. 【答案与解析】 证明：延长 BD至F,使DF= AB,连结EF ABC为等边三角形 AB

5、= BC, / B= 60o / AE= BD, DF= AB AE+ AB= BD+ DF 即 BP BF BEF为等边三角形 BE= EF, / F= 60o 在厶 EBC EFD中 EB =EF *NB =NF -BC = DF EBCA EFD EC=ED 【总结升华】本题主要考查了等边三角形的性质, 能解决问题时， 能力要求较高 举一反三： 【变式】如图所示， 全等三角形的判定， 关键是在现有图形不 将原图补全成为有对称美感的等边三角形，对学生综合运用知识解答问题的 顶点作一个60角，角的两边分别交 CN BM MN之间的关系，并加以证明. ABC是正三角形， BDC是顶角/ BDC

6、= 120的等腰三角形，以 D为 AB AC边于M N两点，连接MN试探究线段 【答案】对于此类题，三条线段之间的关系一般是它们的和差关系， 补短法. 证明：如图所示，延长 AC至Mi,使CMi= BM，连接DM 1. / ABC 是正三角形，/ABC =Z ACB = 60, / BDC = 120 且 BD = CD , / DBC =Z DCB = 30 /ABD =Z ACD = 90 又 BD = CD , BM = CMi, RtA BDM 也 Rt CDM 1 (SAS). DM = DM1,/ BDM =Z CDM 1, / MDM 1 = / MDC + / CDM 1 =

7、/ MDC + / BDM / BDC =120 又/ MDN = 60 / M1DN = / MDN = 60 又 DM = DM 1, DN = DN , MDN M1 DN(SAS) 证明方法通常采用截长 MN = M1N = NC + M1C = CN + BM . 类型二、含30的直角三角形 仇、如图所示，/ A= 60 , CE! AB于E, BD丄AC于D, BD与CE相交于点 H, HD= 1 , HE= 2,试求BD和CE的长. A 【答案与解析】 解： BD丄AC于 D,/ A= 60, / ABD= 90 60= 30, 在 Rt BEH中，/ HEB= 90,/ EBH

8、= 30. BH= 2EH= 4. 同理可得，CH= 2HD= 2, BD= BH+ HD= 4+ 1 = 5. CE= C出 HE= 2+ 2 = 4. 【总结升华】 已知条件中出现 60角与直角三角形并存时，应考虑到“在直角三角形中， 如果一个锐角等于 30,那么它所对的直角边等于斜边的一半”，进而把三角形中角与角的 关系转化为边与边之间的关系，充分应用转化思想来解决问题. 举一反三： 【变式】如图所示，在 ABC中，AB= AC D是BC边上的点，DEI AB, DF丄AC垂足分别为 点 E、F,/ BAC= 120. 求证：DE DF BC . 2 【答案】 证明： 在厶 ABC中,

9、AB= AC, / BAC= 120 , 1 -/ B=/ C=(180 - BAC)=30 . 2 / DE 丄 AB, DF丄 AC, 11 DE BD , DF CD . 22 1 DE DF BC . 2 【高清课堂：389303等边三角形：例 2】 4、如图所示，在等边厶 ABC中，AE= CD AD BE相交于点P, BQL AD于 Q, 求证：BP= 2PQ 【思路点拨】 从结论入手，从要证 BN2PQ联想到要求/ PBQ= 30. (2)不能盲目地用 截长补短法寻找要证的“倍半”关系本题适合用“两头凑”的方法，从结论入手找已知条 件，即BP= 2Pfc / PBQ= 30,另一方面从已知条件找结论，即由条件二. ACDA BAH / BPQ= 60 = / PBQ= 30,分析时要注意联想与题目有关的性质定理. 【答案与解析】 证明： ABC为等边三角形， AC = BC= AB / C=Z BAC= 60. 在厶 ACD BAE中, AC =AB f/C =/BAE, CD =AE ACDA BAE(SAS). / CAD=Z ABE / CADZ BAP=Z BAC= 60,