中考复习3弦图专题

1、弦图专题【类型一】勾股定理的证法及应用例 1、(1) 图(a) 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若 AC=6，BC=5，将四个直角三角形 中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍， 得到图 (b) 所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是 _(2) 如图 (c) 所示，直线 L 上有三个正方形 a,b,c, 若 a,c 的面积是 5 和 11，则 b 的面积为 _例 2、如图 , 正方形 ABCD的边长为 10,AG=CH=8,BG=DH=6,连接 GH,则线段 GH的长为 ( )A.8 3B. 22 C.14D. 5255检测 1、勾股定理被誉为“几何

2、明珠”, 在数学的发展历程中占有举足轻重的地位. 如图 1 是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的, 可以用其面积关系验证勾股定理. 图 2 是由图 1 放入长方形内得到的 ,BAC90 , AB3 , AC4 , 点 D、E、F、G、H、I都在长方形 KLMJ的边上 ,则长方形 KLMJ的面积为 ()A.90B.100C.110D.121检测 2、如图，正方形ABCD的边长为 2，其面积标记为 S1 ，以 CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为S2 ， ，按照此规律继续下去，则 S9 的值为（）。A. (1)6B. ( 1)7C. ( 2)

3、6D. ( 2)72222【类型二】外线弦图例 3、如图 , 在矩形 ABCD中 , AB4，AD 10 , 一把三角尺的直角顶点P在 AD上滑动时 ( 点 P与A、D不重合 ), 一直角边始终经过点 C,另一直角边与 AB交于点 E.(1) 证明 DPC AEP ;(2)当 CPD 30 时, 求 AE的长;(3) 是否存在这样的点 P, 使 DPC 的周长等于 AEP周长的 2 倍?若存在 , 求出 DP的长 ; 若不存在 ,请说明理由 .变式 1、如图， G是边长为 8 的正方形 ABCD的边 BC上的一点，矩形 DEFG的边 EF 过点 A， GD= 10 （ 1）求 FG的长； （2

4、）直接写出图中与 BHG相似的所有三角形变式 2、如图 1，在矩形纸片 ABCD中， AB8 3 ， AD10 ，点 E 是 CD中点。将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点 A 与点 E 重合，如图 2，折痕为 MN，连接 ME、NE；第二次折叠纸片使点 N 与点 E 重合，如图 3，点 B 落到 B 处，折痕为 HG，连接 HE，则 tan EHG =_ 。例 4、情境观察：将矩形 ABCD纸片沿对角线 AC剪开，得到 ABC 和 AC D AC D 的顶点 A 与点 A 重合，并绕点 A 按逆时针方向旋转，使点 D、 A(A)，如图 1 所示。将、B 在同一条直线上，如图 2 所示。

5、观察图 2 可知： BC相等的线段是 _；CAC =_。问题探究：如图3，ABC 中， AGBC 于点 G，以 A 为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向 ABC 外作等腰 Rt ABE 和等腰 Rt ACF ，过点 E、F 作射线 GA的垂线，垂足分别为 P、Q。试探究 EP与 FQ之间的数量关系，并证明你的结论。拓展延伸：如图4，ABC 中， AGBC和矩形 ACNF，射线 GA交 EF于点 H。若系，并说明理由。于点 ABG，分别以kAE ， ACAB、AC为一边向ABC 外作矩形 ABMEkAF ，试探究 HE与 HF之间的数量关变式 1、已知如图 , 梯形 ABCD中, AD /

6、BC , 以两腰 AB,CD为一边分别向两边作正方形CHF,设线段 AD的垂直平分线 l 交线段 EF于点 M, EPl 于 P, FQl 于 Q.ABGE和D求证 :EPFQ .变式 2、如图 , 分别以 ABC 的边 AC、 BC为一边 , 在 ABC 外作正方形 ACDE和 CBFG,点 P 是 EF 的中点 , 求证 : 点 P 到 AB的距离是 AB的一半 .检测 1、如图，在 Rt ABC 中， ABBC ，ABC90 ，点 D是 AB的中点，连接 CD，过点 B作 BG CD ，分别交 CD，CA于点 E， F，与过点 A 且垂直于 AB的直线相交于点 G，连接 DF，给出以下五

7、个结论：AGABFGFB；ADFCDB；点F 是GE的中点；AF23AB ；SABC5SBDF，其中正确结论的序号 _。检测 2、如图，已知 AD / BC ，AB BC ，AB 3 。点 F 为射线 BC上一个动点，连接 AE，将 ABE 沿 AE折叠，点 B 落在点 B 处，过点 B 作AD的垂线，分别交 AD，BC于点 M，N。当点 B 为线段MN的三等分点时， BE的长为 _ 。【类型三】内线弦图例 5、已知 : 在直角梯形ABCD中,AD/BC,ABBC,AD2 ,BC3 , 设BCD, 以D为旋转中心, 将腰DC逆时针旋转90至 DE,连接AE、CE.(1) 当45 时,求EAD

8、的面积 ;(2)当30 时,求EAD 的面积 ;(3) 当090 时, 猜想EAD 的面积与大小有何关系?若有关 , 写出EAD 的面积S 与的关系式 ; 若无关 , 请证明结论 .变式 1、如图所示 , 小路是由黑色的正方形理石和白色的三角形理石铺成 , 已知中间所有正方形的面积之和是 m平方米 , 小路的左侧的所有三角形面积之和为 n 平方米 , 则这条小路一共占地的面积是 _平方米 .变式 2、如图，直角梯形 ABCD中，AD BC，ADC=90， l 是 AD的垂直平分线，交AD于点 M，以腰 AB为边作正方形 ABEF，EP l 于 P求证： 2EP+AD=2CD例 6、如图 , 在

9、正方形 ABCD中,E 为 AB中点 BFCE , 于 F, 求 S BFC : S正方形 ABCD .变式、已知 : 如图 , 正方形 ABCD中, DEAG 于 E, BF / DE , 求证 : AFBFEF 。检测 1、如图是我国汉代数学家赵爽在注解周髀算经时给出的“赵爽弦图”，图中的四个直角三角形是全等的， 如果大正方形 ABCD的面积是小正方形EFGH面积的 13 倍，那么 tan ADE的值为 _。检测 2、如图，在直角三角形ABC中， BAC=90， AD BC于点 D，可知： BAD=C（不需要证明）；（ 1）如图， MAN=90，射线 AE在这个角的内部，点 B，C 分别在

10、 MAN的边 AM， AN上，且 AB=AC， CFAE于点 F， BDAE于点 D证明： ABD CAF；（ 2）如图，点 B，C分别在 MAN的边 AM，AN上，点 E，F 在 MAN内部的射线 AD上， 1， 2 分别是 ABE， CAF的外角 . 已知 AB=AC， 1=2=BAC求证： ABE CAF.【综合提高】1、如图 , 已知ABC 与BDE 都是等边三角形 , 点 D在边 AC上 ( 不与 A、C重合 ),DE 与 AB相交于点 F, 则图中有() 对相似三角形.A.2B.3C.4D.52、阅读下面材料：小明遇到这样一个问题：如图（1），在边长为a(a2) 的正方形各边上分别

11、截取AE=BF=CG=DH=1，当AFQBGMCHNDEP45 时，求正方形MNPQ的面积。小明发现，分别延长 QE，MF，NG，PH交 FA，GB，HC，ED的延长线于点 R，S，T，W，可得RQF ，SMG ， TNH ， WPE 是四个全等的等腰直角三角形（如图（2）。请回答：（ 1）若将上述四个等腰直角三角形拼成一个新的正方形（无缝隙不重叠），则这个新正方形的边长为 _。（ 2）求正方形 MNPQ 的面积。（ 3）参考小明思考问题的方法，解决问题：如图（ 3），在等边ABC 各边上分别截取AD=BE=CF，再分别过点 D，E， F 作 BC，AC，AB的垂线，得到等边RPQ ，若 S

12、RPQ3 ，则 AD 的长为 _ 。3【家庭作业】1、勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜地发现，当两个全等的直角三角形如图1 或图2 摆放时，都可以用“面积法”来证明，下面是小聪利用图1 证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1 所示摆放，其中DAB90，求证： a2b 2c2 。证明：连结 DB，过点 D作 BC边上的高 DF，则 DFECba 。因为 S四边形 ADCBS ACDS ABC1b21S四边形 ADCBS ADBS DCB1c212ab ；又因为2a(b a)22所以 121121 ()，所以 a2b2c2babca

13、 ba2222请参照上述证法，利用图 2 完成下面的证明。将两个全等的直角三角形按图2 所示摆放，其中DAB90，求证： a2b 2c2 。2、如图 , 正方形 ABCD和正方形 CEFG中, 点 D在 CG上 , BC 1 , CE3 ,C 到直线 AF的距离是 ()A.32B.5C.35D.2253、如图，已知AB=10， P 是线段AB上的任意一点，在AB的同侧分别以AP、PB为边作等边三角形APC和等边三角形PBD，则CD的最小值是（）A.4B.5C.6D.74、如图，正方形 ABCD的边长为 25，内部有 6 个全等的正方形，小正方形的顶点分别落在边 AD、AB、BC、CD上，则每个

14、小正方形的边长为（ ）.E、F、G、HA.6B.5C.2 7D.345、如图 1，将正方形纸片 ABCD对折，使 AB与 CD重合，折痕为 EF。如图 2，展开后再折叠一次，使点 C 与点 E 重合，折痕为 GH，点 B 的对应点为点 M，EM交 AB于 N。若 AD=2，则 MN=_ _。6、为解决都匀市停车难的问题，计划在一段长为 56 米的路段规划如图所示的停车位，已知每个车位是长为 5 米，宽为 2 米的矩形，且矩形的宽与路的边缘成 45 角，则该路段最多可以划出 _个这样的停车位。（取 2 1.4 ，结果保留整数）7、如图，以 Rt ABC的斜边 BC为一边在 ABC的同侧作正方形B

15、CEF，设正方形的中心为O，连接 AO，如果 AB=4， AO62 ，那么 AC的长等于（）A. 12 B. 16 C.4 3D. 828、如图，正方形ABCD的边长为 3 cm ，P，Q分别从 B，A 出发沿 BC，AD方向运动， P 点运动速度是1cm /秒， Q点的运动速度是2cm/秒。连接A，P并过Q作 QEAP 垂足为E。（ 1）求证：ABP QEA 。（ 2）当运动时间 t 为何值时，ABPQEA 。（ 3）设QEA 的面积为 y ，用运动时间 t 表示QEA 的面积 y 。（不要求考虑 t 的取值范围）9、（ 1）如图（ 1），已知：在ABC 中，BAC90 ， ABAC ，直线 m 经过点 A， BDl m ，CElm ，垂足分别为点D、E。证明： DE=BD+CE。（ 2）如图（ 2），将（ 1）