不该被淡忘的性质

1、不该被淡忘的性质角平分线的对称性对于角平分线，教材中仅仅指出了 “角平分线上的点到两边的距离相等” 这 个性质，而角平分线的对称性却被淡忘了。 不过，与角平分线对称性相关的中考 试题却屡见不鲜。所以，我们有必要对角平分线的对称性实行再理解。1结识角平分线的对称性：我们能够让角形纸片的两边重合在一起如图 2实行对折，这样折痕就是该角 的角平分线。以上的操作足已说明角的两边关于角平分线所在直线对称。 下面我 们就来体会这个性质的应用。2、角平分线对称性的应用：例1、 如图3,在四边形ABCD中，BD平分/ ABC/ A与/C互补，求证：AD= CD.解析：因为BD平分/ ABC，我们能够如图沿BD

2、对称到BC边上。证明：在BC上取一点A，使AB= AB连接AD,证明：在AB上取一点C，使CA= CA连接CD,则由AD为/ BAC的角平分线得：/ CAD=Z CAD又AD= AD, CAD CAD 二/ ACDZ C, CD= CDvZ C= 2Z B,：Z ACD= 2Z B,又Z ACdZ B+Z BDCZ B=Z BDC,二 BC= DC,： A吐 AC+ BC= AC+ CD例3、图6,在厶ABC中,ABAC, AD平分Z BAC CDL AD于点D, E为1BC的中点,求证：DE (AB AC)。2解析：因为AD平分Z BAC ,我们能够将 AC边沿AD对称到AB边上。证明：在A

3、B上取一点C,使CA= CA连接CD,则由 AD为Z BAC的角平分线得：Z CAD=Z CAD 又 AD= AD CAD CAD ：Z CDA=Z CDAf 90 , CD= CDvZ CDA+Z CDAf 180, C、D C三点共线,vCD= CD BE= CE - DE CBC的中位线,111- DE-BC(ABAC)(ABAC)222例4、如图7 ,四边形ABCD的对角线AC BD分别平分Z BCD Z ABC O为AC与BD的交点,若BCF AB+ CD求Z BOC的度数解析：注意到AC、BD分别平分Z BCD、Z ABC , 而公共点为点O,公共边为BC ,所以，为了同时利 用两

4、条角平分线，我们能够将 AB边沿BD对称到 BC边上。证明：在BC上取一点A ,使BA= Ba连 接 OA,则由 AC 平分Z BCD 得：Z AB6Z CBO 又 BAfBA , BO= BQ BAOA BAO, / AOFZ AOBv BCf AB+ CD BCF BA+ CA , BAf BA , CA= CD又由 BD 平分Z ABC 得：Z OCA = Z OCD , CA= CD OC= OC BAOA BAO, / COAF Z CODvZ AOFZ COD Z AO+Z BOA+Z AOCF 180 Z BOAFZ COAF60, / BOC=Z BOA + Z COA = 1

5、20 的平分线BD, AE垂直于/ ACB的平分线CE请判断线段。丘与厶ABC的三边AB BC CA有何关系？并给出证明。例5、如图8,在厶ABC中,AD垂直于Z ABCA解析：因为BD平分/ ABC，我们能够如图9将AB边沿BD对称到BC边上；因 为CE平分/ ACB，我们能够如图9将AC边沿BD对称到BC边上;证明：在BC上取一点A ,使AB=AB,连接AD, 贝U 由 BD平分/ ABC得：/ ABD-Z ABD 又 BD= BD ABDA ABD/ ADB=Z ADB= 90, AD= AD,/ ADB+Z ADB= 180,A A D A三点共线,在BC上取一点A，使AC = AC连

6、接AE，则由CE平分/ ACB得：/ ACE=/ACE 又 CE= CE, ACEACEAEC=Z AEC= 90 , AE = AE,/ AEC+Z AEC 180,.A E、A三点共线， DE%AAAA 的中位线，111二 DE AA (BA CA BC) (AB AC BC)222请你在读完以上内容后，把你的思维稍微停一下，再整理一下。并尽量的去AA体会我们是如何利用角平分线的对称性的，在利用其对 称性时，需要注意那些细节，以上的哪些问题你还有别 的解法吗？然后，你再动手试一试，看看以下两个题目 能否完成？3、动手试一试1) 、如图 10,在厶 ABC中, AB= AC, / A= 90,BD平分/ ABC CE1 BD于点 E,求证：BD= 2CE2) 、如图11,在厶ABC中，若/ A= 60, BD和CE分别平分/ ABC