高考数学二轮复习核心考点特色突破专题20数列综合问题的探究含解析

1、专题 20数列综合问题的探究【自主热身，归纳提炼】1、数列 an 为等比数列，且a1 1， a3 4， a5 7 成等差数列，则公差d _.【答案】： 3【解析】：设数列 an 的公比为q，则 ( a11) ( a1q47) 2( a1q2 4) ，即 a1a1q4 2a1q2. 因为 a10，所以q2 1， a1 a3a5，故公差 d 3.2、 设等比数列 a 的前 n 项和为S，若 S3， S9， S6 成等差数列，且a2 a5 4，则 a8 的值为 _nn【答案】：. 21n【解析】：当 q 1 时，显然不符合题意当a q，因为 S3，S9， S6成等差数列，所q1时，设 Sn1 q96

2、363313舍去 )32以 2q q q0，即 2q q 1 0，解得 q 或 q 1(又 a 2 a5 a2(1 q ) a 4，故 a2228，即 a8 a2q62.3、已知数列 an 为等差数列，其前12 项和为354，在前 12项中，偶数项之和与奇数项之和的比为32 ，27则这个数列的公差为 _【答案】：5【解析】由题意偶数项和为192，奇数项和为162，又，所以这个数列的公差为54、已知数列 an 是递增的等比数列，则数列 an 的前 n 项和等于n1【答案】： 25、已知数列 na7项和n有最小值，则n取到最小正数时的a 是等差数列， 且 1，它的前nSSa6n【答案】：12【解析

3、】 由题意可知 d 0 ，又a7 1，所以从而，a6所以 Sn 取到最小正数时的n 的值为 1216、设等比数列 an 的前 n 项和为 Sn ，若 a4 ，a3 ，a5 成等差数列， 且 Sk33 ， Sk 163 ，其中 k N ，则 Sk 2的值为【答案】：129【解析】：设等比数列 an 的公比为 q ，则由题意得，也就是，即，解之得 q 1 或 q2 ；由于 Sk33, Sk163 , 所以 q1 不符合题意，舍；当 q2 时，从而，所以7、 设等比数列 a 的前 n 项和为S . 若 S ，S ， S 成等差数列，且 a 3，则 a的值为 _nn396858、设 Sn 是数列an的

4、前 n 项和，且 a11， an 1Sn Sn 1 ，则 Sn_【答案】： Sn1n【解析】由已知得，两边同时除以 Sn 1Sn ，得1是，故数列Sn以 1为首项，1为公差的等差数列，则，所以 Sn1 n9、设数列 an 是首项为 1，公差不为零的等差数列，Sn 为其前 n 项和，若 S1， S2， S4成等比数列，则数列 an的公差为 _【答案】：. 2思路分析先用公差d分别表示2， 4，列方程求出d.S S设公差为d，其中d0，则1， 2， 4 分别为 1,2 d,4 6 . 由 1， 2， 4 成等比数列，得 (2 )246 ，S S Sd S S Sdd2即 d2 2d. 因为 d0，

5、所以 d2.10、设公差为d(d 为奇数，且d1) 的等差数列 an 的前 n 项和为 Sn， 若 Sm1 9， Sm 0，其中 m3，且 m N* ，则 an_.【答案】： 3 n 12m1 m【解析】：a a因为 Sm 1 9， Sm 0，所以 am 9. 又 Sm 0，所以 a1 am0，即 a1 9. 又 am2 9 ( m 1) d 9，即 ( m 1) d 18，因为 m 1 为正整数， d 为比 1 大的奇数，故d3， m 7 或 d9， m 3( 舍 ) ，故 an a1 ( n 1) d 3n 12.11、 . 若公比不为 1 的等比数列 a 满足 log 2(1 2 a13

6、) 13，等差数列b 满足b77，则1 2nn b13 的值为 _【答案】：. 26【解析】：因为等比数列 n 满足 log 2(1 2 a13) 13，所以1 2 a13 213， (a7) 13 213，7aaaaaa2，所以等差数列 b 中， b a 2， b b b 13b 132 26.n7712137解后反思 记住一些常用的结论可以提高解题速度在等比数列 an 中，若 m， n， p，q N* ，且 mn pq，则 aman apaq；在等差数列 an 中，若 m， n，p， qN* ，且 m n p q，则 am an ap aq.4112、已知等比数列 an 的首项为 3，公比

7、为 3，其前 n 项和为 Sn，若对 n N* 恒成立，则 B A 的最小值为59【答案】： 72 t ( 1) n1 t 18S4【解析】由题意可求得，令3 ，则39，从而 9n，所以359，所以 BA 的最小值为72 【问题探究，变式训练】例 1、已知实数 a ，b ，c 成等比数列，成等差数列，则b的最大值为【答案】34【解析】解法1（基本不等式）由题意知，所以33由基本不等式的变形式bb 的最大值为, 则有：，解得4 ，所以4 .3解法 2（判别式法）由题意知，则, 代入得，即，上述关于 a 的方程有解，所以3b 的最大值为3，解得 b4 .4 ，所以【变式 1】、在正项等比数列 an

8、 中，若 a4a3 2a2 2a16，则 a5 a6 的最小值为 _ 【答案】：. 48思路分析首先根据基本量思想，可用首项a 和公比 q 来表示 a a ，即建立 a a的目标函数但是它含15656有两个变量a1 和 q，可由 a4 a3 2a2 2a1 6 再建立一个关于a1 和 q 的等式，然后消去一个变量，那么消谁呢？原则：一是易于消去谁，二是对谁了解得更为详细，就保留谁由这两点可知，应消去a1，保留q，这就得到关于q 的函数接下来用函数或不等式即可求出最值这里运用换元或整体思想结合基本不等式即可求出最值，但运用基本不等式求最值，一定要检验等号成立的条件解法 143211212 6n2

9、由 a a 2a 2a 6，得 a ( q1)( q 2)6，所以 a( q1) q 2. 因为 a 0，所以 q 20，a5a6a1 )46q46q4 4246q24(1 226( 2) 22 2q qq 2q 2qq 2q 2462224468 48，当且仅当22 24，即q 2，11 时，等号成立，所以qq 2qq 2aa a6最小值为 48.5解法243212122126n2由 a a 2a 2a 6，得 ( a a )( q 2) 6，所以 a a q 2.因为 a 0，所以 q 2 0，即q2 a( a46q46. 令111 221 211 2， aa ) q q21 2t q2

10、，则 qq t2t 2 t4 8，当 t45612220，24q2 q41121a5a66取得最小值68 48.0，时，式子24取得最大值，从而12qq82q2 q4【变式2】、 .设 Sn 是等比数列 an 的前 n 项和， an0，若 S6 2S3 5，则 S9 S6 的最小值为 _【答案】： 20思路分析 1从研究等比数列的基本方法基本量入手，将条件用a1， q 表示出来，为此消去一个变量a1，从而将 S9 S6 用 q 的表达式表示出来，由此转化为用基本不等式来求函数的最小值这当中要注意对公比 q 是否等于 1 进行讨论思路分析2 注意到所研究的是等比数列的前3 项、前 6 项、前 9

11、 项和的关系，因此，考虑将S3 作为一个整体来加以考虑，从而将S6， S9 转化为 S3 的形式，进而来研究问题4解法2因为6 3(1 3) ，所以由62 35 得3 350，从而1，故9 6 3(q6q31) 3(q3S SqS SSq 1qS S SS6 5q6 1) S3q q3 1，以下同解法 1.课本探源 ( 本题改编自必修5p62 题 10) 设S是等比数列 a 的前n项和，3， 9， 6 成等差数列，求证：nna2， a8， a5 成等差数列解后反思整体法是研究问题的一种常用的方法，它可以起到化繁为简、化难为易的作用，对于一些复杂的且有一个特征的代数式，经常采用整体法来研究【变式

12、3】、.已知等比数列 a 的公比 q 1，其前 n 项和为 S . 若 S 2S 1，则 S 的最小值为 _nn426【答案】：. 23 3思路分析 首先根据基本量思想，可用首项a1 和公比 q 来表示 S6，即建立 S6 的目标函数，但是它含有两个变量 a 和 q，可由 S 2S 1 再建立一个关于a和 q 的等式，然后消去一个变量，那么消谁呢？原则如下：1421一是谁易于消去就消去谁；二是对谁了解的更为详细，就保留谁由这两点可知，应消去a ，保留 q，这1就得到 S6 是关于 q 的一元函数，接下来用函数或不等式即可求出最值，这里运用换元或整体思想结合基本不等式即可求出最值，但运用基本不等

13、式求最值，一定要检验等号成立的条件因为等比数列nna1 qna1 q4a11 q2 a 的公比 q1，所以S 1 q，由 S4 2S2 1，得1 q21 q1，解得 a1 1 q2，所以 S6a1 q61q1 q61 q2 q4q21 q q22 1 q q2q22q2323223q2 1 ( q 1) q2 1 3，因为 q1，所以 q 10，因此 ( q 1) q2 132 323，即 q162 33. 3，当且仅当 q 1 23时， S 取得最小值q 1【关联1】、已知等比数列 a 满足 a a 2a ，且 a ， ， 2a7成等差数列，则a a a 的最大值为n2534512n4_ 【

14、答案】 . 1 024解法 1设等比数列 a 的公比为 q，根据等比数列的性质可得a a a a 2a ，由于 a 0，可得 a 2. 因为n2534334457成等差数列，所以547717431413116，a ， ， 2a2 a 2a，可得 a ，由 a a q可得 q ，由 a a q可得 a44425n 1161 n 1an a4qn 4得出 ) ，令 bn a1 a2 an，则bn 11 n从而 ana1q2( 也可直接由nan 1162，b1n令16 2 1，可得 n4，故 b1b2 b6 bn，所以当 n 4 或 5 时， a1a2 an 的值最大，为 1 024.1 n 1解法

15、 2同解法 1 得 an16 2，令 an 1 可得 n 5，故当 1n5 时， an1，当 n6时， 0an0， a2 b20，a1Ob1 中作出可行域，如下图，即得目标函数z a3由题意 得1 2 10，解法 2由题意得1 2 1 2，所以 a3b3 a1 4 4b1 2( a1 b1) 3( a1 2b1) 4 64 2.ab【关联3】、已知数列 a 的首项 a1 1，前*，则满足1 001 S2n 11n 项和为 S ，且满足 2a 1 S 2( nN )1 000 Sn 10的nnnn6n 的最大值为 _解法 2因为 2an 1Sn 2，所以 2( Sn 1 Sn) Sn 2，即 2

16、Sn1 Sn 2，所以 2( Sn1 2) Sn 2. 又因为 S1 2S 211 a1 2 10，所以 Sn20，所以n1 ，所以 Sn 2 是首项为 1，公比为的等比数列，则 SnSn 2221 n 1，所以n1 n 1，以下同解法 1.21 2S22【关联4】、 .nnn1 n 1，若对任意*n设数列 a 的前 n 项和为 S ，且 a 42n N ，都有1 p( S 4n) 3，则实数 p 的取值范围是 _【答案】：2,3思路分析 求 参数的常用方法是分离参数，所以首先将参数p 进行分离，从而将问题转化为求函数 f ( n) Sn 4n 的最大值与最小值，再注意到题中含有1 n 1，涉

17、及负数的乘方，所以需对n 进行分类讨论21 1 n4 21 1 n .令f(n) n 4 4 2Snn1n321 221 n单调递减，则当n 1时， f ( n) 1；当 n 为奇数时， f ( n) 31 2max21 n1当 n 为偶数时， f( n) 31 2单调递增，由当n 2时， f ( n) min 2.13又 Sn 4n p Sn 4n，所以 2 p3.解后反思本题的本质是研究数列的最值问题，因此，研究数列的单调性就是一个必要的过程，需要注意21n的是，由于本题是离散型的函数问题，所以，要注意解题的规范性，“当n 为奇数时， f ( n) 31 2，221n1单调递减，此时 f

18、( n) ， 1；当 n 为偶数时， f ( n) 312，单调递增，此时 f ( n) ，1”的写法327f ( n) 并不能取到121是不正确的，因为， 1，1， 1内的所有值232112*例 2、在数列 an 中，已知 a1 3， an 13an 3n 1， n N，设 Sn 为 an 的前 n 项和(1) 求证：数列 3 nan 是等差数列；(2) 求 Sn；(3) 是否存在正整数p， ，( ) ，使p， q， r成等差数列？若存在，求出， ，的值；若不存q rp qrS S Sp q r在，说明理由思路分析 第 (1) 问，由条件中的递推关系，构造出数列3nn(2) 问，注意a ，从

19、而来证明它是等差数列；第到数列 an 为等差数列与等比数列对应项的乘积构成的，因此，利用错位相减的方法来求它的和即可；第(3) 问的本质 是不定方程求解，对于此类问题，通常是研究最小变量的取值范围来进行求解，在求解的过程中，经常要利用数列的单调性来缩小范围、减少变量【解析】： (1)因为 a132n1an分 )n13a ，所以3 3 a 2.(2nn 1n1n又因为 a11，所以31 a1 1，3所以 3 nan 是首项为1，公差为 2 的等差数列 . (4分 )(2) 由 (1)知3n1(1) ( 2) 32，所以(3 2 )1 n，(6 分)ana3nnnn1 11 21 31 n所以 S

20、n 13(1) 3(3) 3 (3 2n) 3，1121 31 n1 n 1所以n 1( 1)3 (52 )(32 )3，3S3n3n1 n 12n11 21 31 n1 n 1111 3 (2 n3) 1 n 1两式相减得 3S32 33 3 (3 2n) 3 3 2913131 n12n 3，n分 )nn所以 S3 .(102rq p(3) 假设存在正整数p， q， r ( p qr ) ，使 Sp，Sq， Sr成等差数列，则2Sq Sp Sr ，即 3q 3p 3r .由于当 n2n1 nn时， a (3 2n) 3 0，所以数列 S 单调递减p q 1又 p q，所以 p q 1 且

21、q 至少为 2，所以 3p 3q 1 .(12 分 )q 12qq 3q 1 q q.3338当 q3时，pq 12qrp3q 1 q ，又r 0，333pr2q所以3p 3r 3q ，等式不成立 (14分 )当q2时， 1，p41rr1Sn 单调递减，解唯一确定) 所以 r ，所以r ，所以 r 3(93339综上可知，p， ，r的值为1,2,3.(16 分 )q【变式1】、已知等差数列 an 的公差为2，其前 n 项和 Sn pn2 2n， n N* .(1)求实数 p 的值及数列 an 的通项公式；(2)在等比数列 b 中，baba4 b 的前n项和为T .求证：数列 T1为等比数列n3 1，42，若nnn6【解析】： (1) Snna1d na1 n(n 1) n2 (a 1 1)n ，又 Sn pn2 2n， n N* ， (2 分 )2所以 p 1， a1 1 2，即 a1 3， (4 分 )所以 a 3 2( n 1) 2n 1.(6分 )n(2) 因为 b3 a1 3， b4a2 4 9，所以 q3.(8 分)n3 n3n 3n 211所以 b b q33 3，所以 b3.(10 分 )1 3nn1n所以