2020_2021学年高中数学第三章空间向量与立体几何3.1.3空间向量的数量积运算学案含解析新人教A版选修2_1202103061135

1、31.3空间向量的数量积运算内容标准学科素养1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法2.掌握空间向量数量积及运算律3.能用空间向量的数量积解决立体几何问题.利用直观想象发展逻辑推理提高数学运算授课提示：对应学生用书第57页基础认识知识点一空间向量的夹角(1)如图所示的等边三角形ABC中，的夹角是60吗？提示：不是(2)如图，已知在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是AA1和D1C1的中点，如何确定和的夹角提示：与平面向量的夹角定义一样，上图中与的夹角就是与的夹角即AGE就是与的夹角 知识梳理空间向量的夹角(1)如图所示，已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作a，b，则AOB叫做

2、向量a，b的夹角，记作a，b(2)a，b为非零向量，a，bb，a，a与b的夹角的范围是0，其中当a，b0时，a与b方向相同；当a，b时，a与b方向相反；当a，b时，a与b互相垂直反之，若ab，则a，b0或；若ab，则a，b.知识点二空间向量的数量积及其性质平面向量的数量积ab的结果怎样？这一结果是向量还是数量？数量积满足什么运算律？提示：|a|b|cos (为a与b的夹角)是数量交换律abba.分配律(ab)cacbc.类比平面向量的数量积运算的定义，可以推广到空间向量的数量积的定义及运算律 知识梳理数量积的概念及运算律(1)已知两个非零向量a，b，则|a|b|cosa，b叫做a，b的数量积，

3、记作ab，即ab|a|b|cosa，b(2)空间向量数量积的性质abab0.|a|2aa，|a|.cosa，b.(3)空间向量数量积的运算律(a)b(ab)abba(交换律)a(bc)abac(分配律)特别提醒：不满足结合律(ab)ca(bc)自我检测1在正四面体ABCD中，与的夹角等于()A30B60C150 D120答案：D2正方体ABCDA1B1C1D1的棱长等于2，则等于()A2 B2C4 D4答案：C3已知空间向量a，b的夹角为120，且|a|1，|b|2，则a(2a3b)_.答案：5授课提示：对应学生用书第57页探究一求空间向量的数量积教材P98习题3.1A组4题如图，已知空间四边

4、形ABCD的每条边及AC，BD的长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，求：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).解析：(1)|cos 60a2.(2)|cos 120a2.(3)|cos 180a2.(4)|cos 60a2.(5)|cos 120a2.(6)|cos 120|cos 60|cos 60a2.例1已知长方体ABCDA1B1C1D中，ABAA12，AD4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点试计算：(1)；(2)；(3).解析如图，设a，b，c，则|a|c|2，|b|4，abbcca0.(1)b|b|24216.(2)(ac)|c|2|a|22222

5、0.(3)(abc)|a|2|b|22.方法技巧由向量数量积的定义知，要求a与b的数量积，需已知|a|，|b|和a，b，a与b的夹角与方向有关，一定要根据方向正确判定夹角的大小，才能使ab计算准确跟踪探究1.已知空间向量a，b满足|a|4，|b|8，a与b的夹角为150，求下列各式的值(1)ab；(2)(a2b)(2a3b)解析：|a|4，|b|8，a与b的夹角为150(1)ab48cos 15016.(2)(a2b)(2a3b)2a2ab6b2242(16)68235216.探究二利用数量积求夹角教材P92练习(1)如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，若ABBB1，则AB1与C1B所成角的

6、大小为()A60B90C105D75解析：设BB11，则AB，()()21cos 600，AB1C1B.答案：B例2如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，求向量与的夹角的大小解析法一：因为，所以D1AC即为向量与的夹角因为D1AC为等边三角形，所以D1AC60，即，60.所以向量与的夹角为60.法二：设正方体的棱长为1，则()()()()0001.又|，|，所以cos，.因为，0，180，所以，60.所以向量与的夹角为60.方法技巧两个非零向量夹角求法的两个途径(1)转化求角：把向量夹角转化为平面几何中的对应角，利用解三角形的知识求解；(2)利用数量积求夹角：运用公式cosa，b进行求解跟

7、踪探究2.如图，在空间四边形OABC中，OA8，AB6，AC4，BC5，OAC45，OAB60，求OA与BC所成角的余弦值解析：因为，所以|cos，|cos，84cos 13586cos 1201624.所以cos，即OA与BC所成角的余弦值为.探究三利用数量积求距离或长度教材P92练习2如图，在平行六面体ABCDABCD中，AB4，AD3，AA5，BAD90，BAADAA60，求AC的长解析：，2221692524523585，|，即AC的长为.例3正三棱柱(底面是正三角形的直三棱柱)ABCA1B1C1的各棱长都为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，求EF的长解析如图所示，设a，b，c.由

8、题意知|a|b|c|2，且a，b60，a，cb，c90.因为abc，所以EF2|22a2b2c22222222222cos 6011415，所以EF.方法技巧求两点间的距离或线段长度的方法(1)将此线段用向量表示；(2)用其他已知夹角和模的向量表示该向量；(3)利用|a|，通过计算求出|a|，即得所求距离延伸探究例3的条件不变，求EC1的长解析：由例3的解答知bac，所以|22a2b2c22444227，所以|，即EC1.跟踪探究3.如图，已知一个60的二面角的棱上有两点A，B，AC，BD分别是在这两个面内且垂直于AB的线段又知AB4，AC6，BD8，求CD的长解析：CAAB，BDAB，120

9、.，且0，0，|2()()|2|2|2222|2|2|22|cos，62428226868，|2，故CD的长为2.探究四利用数量积证明垂直问题教材P91例3如图，m，n是平面内的两条相交直线如果lm，ln，求证：l.题型：用向量法证明空间中的垂直关系方法步骤：(1)在平面内任作一条直线g.分别在l，m，n，g上取非零向量l，m，n，g；(2)由平面向量基本定理得gxmyn；(3)求出lg0得lg，所以lg即l.例4如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，P是DD1的中点，O是底面ABCD的中心求证：B1O平面PAC.证明取a，b，c，且|a|b|c|1.则有ab，()abc，(ab)|a|2

10、abab|b|2acbc0.，即ACOB1.bc，ab|b|2cbacbc|c|20，即OB1AP.又ACAPA，OB1平面APC.方法技巧利用数量积证明垂直问题的一般方法将所证垂直问题转化为证明线线垂直，然后把直线转化为向量，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量的线性运算以及数量积运算，证明直线所在向量的数量积等于零，即可证明线线垂直跟踪探究4.已知空间四边形OABC中，M，N，P，Q分别为BC，AC，OA，OB的中点，若ABOC，求证：PMQN.证明：如图，设a，b，c，又P，M分别为OA，BC的中点，(bc)a(ba)c同理，(ac)b(ba)c(|ba|2|c|2)又ABOC，即|b

11、a|c|，0，即PMQN.授课提示：对应学生用书第59页课后小结(1)因为空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角定义、数量积的意义与性质都与平面向量相同(2)求空间向量的数量积要找到两个向量的模和夹角，证明两向量垂直可转化为两个向量的数量积为零；求线段的长度可转化为用数量积的求模公式|a|；求异面直线的夹角的关键是在两直线上构造向量，使用夹角公式解决素养培优1混淆向量与实数的运算性质致误已知a，b都是非零向量，且向量a3b与7a5b垂直，向量a4b与7a2b垂直，求向量a，b的夹角易错分析向量的运算性质与实数不同，若b(2ab)0不一定有b0或2ab0，本题在此处误当作实数运算而导致了错误考查直观想象、逻辑推理的学科素养自我纠正由题意得即两式相减得46ab23b20，b22ab，代入7a216ab15b20，得a22ab，a2b22ab，设a与b的夹角为，cos ，向量a与b的夹角为60.2向量的夹角与空间角混淆致误如图所示，在平面角为120的二面角AB中，