高考大题训练(解析几何教师版)共38题王斌高考总复习高考最后冲刺

1、精品好资料学习推荐1（2010上海文）23（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.已知椭圆的方程为，、和为的三个顶点.（1）若点满足，求点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，交直线于点.若，证明：为的中点；（3）设点在椭圆内且不在轴上，如何构作过中点的直线，使得与椭圆的两个交点、满足？令，点的坐标是（-8，-1），若椭圆上的点、满足，求点、的坐标.解析：(1) ；(2) 由方程组，消y得方程，因为直线交椭圆于、两点，所以D0，即，设C(x1,y1)、D(x2,y2)，CD中点坐标为(x0,y0)，则，由方程组，消y得方程(k2-k1)x=p，又

2、因为，所以，故E为CD的中点；(3) 因为点P在椭圆内且不在x轴上，所以点F在椭圆内，可以求得直线OF的斜率k2，由知F为P1P2的中点，根据(2)可得直线l的斜率，从而得直线l的方程，直线OF的斜率，直线l的斜率，解方程组，消y：x2-2x-48=0，解得P1(-6,-4)、P2(8,3)2（2010浙江理）(21) （本题满分15分）已知m1，直线，椭圆，分别为椭圆的左、右焦点. （）当直线过右焦点时，求直线的方程；（）设直线与椭圆交于两点，的重心分别为.若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围. 解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置关系等基础知识，同时考察解析几

3、何的基本思想方法和综合解题能力。 （）解：因为直线经过，所以,得，又因为，所以，故直线的方程为。（）解：设。 由，消去得 则由，知，且有。由于，故为的中点，由，可知设是的中点，则，由题意可知即即而所以即又因为且所以。所以的取值范围是。3（2010辽宁理）(20)（本小题满分12分）设椭圆C：的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾斜角为60o,.(I) 求椭圆C的离心率；(II) 如果|AB|=，求椭圆C的方程.解：设，由题意知0，0.（）直线l的方程为 ，其中.联立得解得因为，所以.即 得离心率 . 6分（）因为，所以.由得.所以，得a=3，.椭圆C的方程为. 12分.

4、4（2010江西理数）21. （本小题满分12分）设椭圆，抛物线。（1） 若经过的两个焦点，求的离心率；（2） 设A（0，b），,又M、N为与不在y轴上的两个交点，若AMN的垂心为，且QMN的重心在上，求椭圆和抛物线的方程。【解析】考查椭圆和抛物线的定义、基本量，通过交点三角形来确认方程。（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：，由。(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设,由的垂心为B，有。 由点在抛物线上，解得：故，得重心坐标. 由重心在抛物线上得：，又因为M、N在椭圆上得：，椭圆方程为，抛物线方程为。5.（2010北京理）（19）（本小题共14分）在平面直角坐标系xOy中，点B与点

5、A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于.()求动点P的轨迹方程；()设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。（I）解：因为点B与A关于原点对称，所以点得坐标为. 设点的坐标为 由题意得 化简得 . 故动点的轨迹方程为（II）解法一：设点的坐标为，点，得坐标分别为,. 则直线的方程为，直线的方程为令得，.于是得面积又直线的方程为，点到直线的距离.于是的面积当时，得又，所以=，解得。因为，所以故存在点使得与的面积相等，此时点的坐标为.解法二：若存在点使得与的面积相等，设点

6、的坐标为 则. 因为, 所以 所以 即 ，解得 因为，所以 故存在点S使得与的面积相等，此时点的坐标为.6（2010四川理）（20）（本小题满分12分）已知定点A(1，0)，F(2，0)，定直线l：x，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N（）求E的方程；（）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.本小题主要考察直线、轨迹方程、双曲线等基础知识，考察平面机袭击和的思想方法及推理运算能力.解：(1)设P(x,y)，则化简得x2=1(y0)4分(2)当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y

7、k(x2)(k0)与双曲线x2=1联立消去y得(3k)2x24k2x(4k23)0由题意知3k20且0设B(x1,y1),C(x2,y2)，则y1y2k2(x12)(x22)k2x1x22(x1x2)4k2(4)因为x1、x21所以直线AB的方程为y(x1)因此M点的坐标为(),同理可得因此0当直线BC与x轴垂直时，起方程为x2，则B(2,3),C(2,3)AB的方程为yx1,因此M点的坐标为()，同理可得因此0综上0，即FMFN故以线段MN为直径的圆经过点F12分.7（2010天津文）（21）（本小题满分14分）已知椭圆（ab0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.（）求椭

8、圆的方程；（）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. （i）若，求直线l的倾斜角； （ii）若点Q在线段AB的垂直平分线上，且.求的值.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线的方程、两点间的距离公式、直线的倾斜角、平面向量等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想，考查综合分析与运算能力.满分14分. （）解：由e=，得.再由，解得a=2b.由题意可知，即ab=2.解方程组得a=2，b=1. 所以椭圆的方程为.()(i)解：由（）可知点A的坐标是（-2,0）.设点B的坐标为，直线l的斜率为k.则直线l的方程为y=k（x+2）.于是A

9、、B两点的坐标满足方程组消去y并整理，得.由，得.从而.所以.由，得.整理得，即，解得k=.所以直线l的倾斜角为或.（ii）解：设线段AB的中点为M，由（i）得到M的坐标为.以下分两种情况：（1）当k=0时，点B的坐标是（2,0），线段AB的垂直平分线为y轴，于是由，得。（2）当时，线段AB的垂直平分线方程为。令，解得。由，整理得。故。所以。综上，或8.（2010山东理）（21）（本小题满分12分）如图，已知椭圆的离心率为，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点为顶点的三角形的周长为.一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设为该双曲线上异于顶点的任一点，直线和与椭圆的交点分别为和.（）求椭圆和双曲线的标

10、准方程；（）设直线、的斜率分别为、，证明；（）是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.【解析】（）由题意知，椭圆离心率为，得，又，所以可解得，所以，所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为（，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为。【命题意图】本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系，是一道综合性的试题，考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题（3）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，9.（2010江苏卷）18、（本小题满分16分）在平面直角坐标

11、系中，如图，已知椭圆的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M、，其中m0,。（1）设动点P满足,求点P的轨迹；（2）设，求点T的坐标；（3）设,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。解析 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。由，得 化简得。故所求点P的轨迹为直线。（2）将分别代入椭圆方程，以及得：M（2，）、N（，）直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。联立方程组，解得：，所以点T的

12、坐标为。（3）点T的坐标为直线MTA方程为：，即，直线NTB 方程为：，即。分别与椭圆联立方程组，同时考虑到，解得：、。（方法一）当时，直线MN方程为： 令，解得：。此时必过点D（1，0）；当时，直线MN方程为：，与x轴交点为D（1，0）。所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。（方法二）若，则由及，得，此时直线MN的方程为，过点D（1，0）。若，则，直线MD的斜率，直线ND的斜率，得，所以直线MN过D点。因此，直线MN必过轴上的点（1，0）。.10（2009北京文）（本小题共14分）已知双曲线的离心率为，右准线方程为。（）求双曲线C的方程；（）已知直线与双曲线C交于不同的两点A，B，且线

13、段AB的中点在圆上，求m的值.【解析】本题主要考查双曲线的标准方程、圆的切线方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法，考查推理、运算能力解（）由题意，得，解得，所求双曲线的方程为.（）设A、B两点的坐标分别为，线段AB的中点为， 由得（判别式）,点在圆上，.11.(2009山东卷理)（本小题满分14分）设椭圆E: （a,b0）过M（2，） ，N(,1)两点，O为坐标原点，（I）求椭圆E的方程；（II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围，若不存在说明理由。解:（1）因为椭圆E: （a,b

14、0）过M（2，） ，N(,1)两点,所以解得所以椭圆E的方程为（2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且,设该圆的切线方程为解方程组得,即,则=,即,要使,需使,即,所以,所以又,所以,所以,即或,因为直线为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为,所求的圆为,此时圆的切线都满足或,而当切线的斜率不存在时切线为与椭圆的两个交点为或满足,综上,存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且.因为,所以, 当时因为所以,所以,所以当且仅当时取”=”. 当时,. 当AB的斜率不存在时,两个交点为或,所以此时,综上,|AB|的取值范围为

15、即:【命题立意】:本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系.12（2009全国卷文）（本小题满分12分）已知椭圆C: 的离心率为 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为（）求a,b的值；（）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。解析：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利

16、用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。解（）设 当的斜率为1时，其方程为到的距离为， 故 ， 由 ，得 ，=（）C上存在点，使得当绕转到某一位置时，有成立。由 （）知C的方程为+=6. 设() C成立的充要条件是， 且整理得 故 将 于是 , =,代入解得，此时于是=， 即 因此， 当时， ； 当时， 。（）当垂直于轴时，由知，C上不存在点P使成立。综上，C上存在点使成立，此时的方程为.13.（2009广东卷理）（本小题满分14分）已知曲线与直线交于两点和，且记曲线在点和点之间那一段与线段所围成的平面区域（含边界）为设点是上的任一点，且点与点和点均不重合（1

17、）若点是线段的中点，试求线段的中点的轨迹方程；（2）若曲线与有公共点，试求的最小值解（1）联立与得，则中点，设线段的中点坐标为，则，即，又点在曲线上，化简可得，又点是上的任一点，且不与点和点重合，则，即，中点的轨迹方程为（）.xAxBD（2）曲线，即圆：，其圆心坐标为，半径由图可知，当时，曲线与点有公共点；当时，要使曲线与点有公共点，只需圆心到直线的距离，得，则的最小值为.14.（2009江西卷理）（本小题满分12分）已知点为双曲线（为正常数）上任一点,为双曲线的右焦点,过作右准线的垂线,垂足为,连接并延长交轴于.(1) 求线段的中点的轨迹的方程;(2) 设轨迹与轴交于两点,在上任取一点,直线

18、分别交轴于两点.求证:以为直径的圆过两定点. (1) 解 由已知得,则直线的方程为:, 令得,即,设,则,即代入得:,即的轨迹的方程为. (2) 证明 在中令得,则不妨设,于是直线的方程为:, 直线的方程为:,则,则以为直径的圆的方程为:,令得:,而在上,则,于是,即以为直径的圆过两定点.15.（2009天津卷文）（本小题满分14分）已知椭圆（）的两个焦点分别为，过点的直线与椭圆相交于点A,B两点，且（求椭圆的离心率；（）直线AB的斜率；（）设点C与点A关于坐标原点对称，直线上有一点H(m,n)()在的外接圆上，求的值。解 （1）由，得,从而，整理得，故离心率（2）由（1）知，所以椭圆的方程可

19、以写为设直线AB的方程为即由已知设则它们的坐标满足方程组消去y整理，得依题意，而，有题设知，点B为线段AE的中点，所以联立三式，解得，将结果代入韦达定理中解得.(3)由（2）知，当时，得A由已知得线段的垂直平分线l的方程为直线l与x轴的交点是的外接圆的圆心，因此外接圆的方程为直线的方程为，于是点满足方程组由，解得，故当时，同理可得.16（2009四川卷文）（本小题满分12分）已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率，右准线方程为。（I）求椭圆的标准方程；（II）过点的直线与该椭圆交于两点，且，求直线的方程。解（I）由已知得，解得 所求椭圆的方程为 . （II）由（I）得、若直线的斜率不存在，则直线的

20、方程为，由得设、，这与已知相矛盾。若直线的斜率存在，设直线直线的斜率为，则直线的方程为，设、，联立，消元得，又化简得解得 所求直线的方程为 . 17（2009全国卷理）（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，过右焦点F的直线与相交于、两点，当的斜率为1时，坐标原点到的距离为（I）求，的值；（II）上是否存在点P，使得当绕F转到某一位置时，有成立？若存在，求出所有的P的坐标与的方程；若不存在，说明理由。解(I）设，直线，由坐标原点到的距离为 则，解得.又.（II）由(I）知椭圆的方程为.设、由题意知的斜率为一定不为0，故不妨设 代入椭圆的方程中整理得，显然。由韦达定理有：.假设存在点P，使成立，

21、则其充要条件为：点，点P在椭圆上，即。整理得。又在椭圆上，即.故将及代入解得,=,即.当;当.18（2009湖南卷文）（本小题满分13分） 已知椭圆C的中心在原点，焦点在轴上，以两个焦点和短轴的两个端点为顶点的四边形是一个面积为8的正方形（记为Q）.（）求椭圆C的方程;（）设点P是椭圆C的左准线与轴的交点，过点P的直线与椭圆C相交于M,N两点，当线段MN的中点落在正方形Q内（包括边界）时，求直线的斜率的取值范围。解 （）依题意，设椭圆C的方程为焦距为，由题设条件知， 所以故椭圆C的方程为 .（）椭圆C的左准线方程为所以点P的坐标，显然直线的斜率存在，所以直线的方程为。 如图，设点M，N的坐标分

22、别为线段MN的中点为G，由得. 由解得. 因为是方程的两根，所以，于是=， .因为，所以点G不可能在轴的右边，又直线,方程分别为所以点在正方形内（包括边界）的充要条件为 即 亦即解得，此时也成立.故直线斜率的取值范围是19.（2009辽宁卷文、理）（本小题满分12分）已知，椭圆C以过点A（1，），两个焦点为（1，0）（1，0）。（1） 求椭圆C的方程；（2） E,F是椭圆C上的两个动点，如果直线AE的斜率与AF的斜率互为相反数，证明直线EF的斜率为定值，并求出这个定值。（）解 由题意，c1,可设椭圆方程为。因为A在椭圆上，所以，解得3，（舍去）。所以椭圆方程为 （）证明 设直线方程：得，代入得

23、设（，），（，）因为点（1，）在椭圆上，所以，。又直线AF的斜率与AE的斜率互为相反数，在上式中以代，可得，。所以直线EF的斜率。即直线EF的斜率为定值，其值为。 20.（2009宁夏海南卷理）（本小题满分12分） 已知椭圆C的中心为直角坐标系xOy的原点，焦点在s轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.（）求椭圆C的方程；（）若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的点，=，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。解()设椭圆长半轴长及半焦距分别为，由已知得，所以椭圆的标准方程为（）设，其中。由已知及点在椭圆上可得。整理得，其中。（i）时。化简得所以点的轨迹方程为，轨迹是两

24、条平行于轴的线段。（ii）时，方程变形为，其中当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的部分。当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的部分；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆；.21（2009陕西卷文）（本小题满分12分）已知双曲线C的方程为，离心率，顶点到渐近线的距离为。（1）求双曲线C的方程；(2)如图，P是双曲线C上一点，A，B两点在双曲线C的两条渐近线上，且分别位于第一、二象限，若，求面积的取值范围。方法一 解（）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，所以所以由所以曲线的方程是（）由（）知双曲线C的两条渐近线方程为设由将P点的坐标代入因为又所以记则由

25、又S（1）=2，当时，面积取到最小值，当当时，面积取到最大值所以面积范围是方法二（）由题意知，双曲线C的顶点（0，a）到渐近线，由所以曲线的方程是.（）设直线AB的方程为由题意知由由将P点的坐标代入得设Q为直线AB与y轴的交点，则Q点的坐标为（0，m）=.22（2009福建卷文）（本小题满分14分）已知直线经过椭圆的左顶点A和上顶点D，椭圆的右顶点为，点和椭圆上位于轴上方的动点，直线，与直线分别交于两点。（I）求椭圆的方程；（）求线段MN的长度的最小值；（）当线段MN的长度最小时，在椭圆上是否存在这样的点，使得的面积为？若存在，确定点的个数，若不存在，说明理由解 方法一（I）由已知得，椭圆的左

26、顶点为上顶点为 故椭圆的方程为（）直线AS的斜率显然存在，且，故可设直线的方程为，从而由得0设则得，从而即又由得故又当且仅当，即时等号成立时，线段的长度取最小值（）由（）可知，当取最小值时， 此时的方程为 要使椭圆上存在点，使得的面积等于，只须到直线的距离等于，所以在平行于且与距离等于的直线上。设直线则由解得或23.（2009年上海卷理）（本题满分16分） 已知双曲线设过点的直线l的方向向量（1） 当直线l与双曲线C的一条渐近线m平行时，求直线l的方程及l与m的距离；（2） 证明：当时，在双曲线C的右支上不存在点Q，使之到直线l的距离为。（1）解双曲线C的渐近线 直线l的方程 直线l与m的距离

27、（2）证明方法一设过原点且平行与l的直线则直线l与b的距离当又双曲线C的渐近线为双曲线C的右支在直线b的右下方，双曲线右支上的任意点到直线的距离为。故在双曲线的右支上不存在点，使之到直线的距离为。（2）方法二双曲线的右支上存在点到直线的距离为，则由（1）得，设当，0将 代入（2）得 （*）方程（*）不存在正根，即假设不成立故在双曲线C的右支上不存在Q，使之到直线l 的距离为.24（2009重庆卷文）（本小题满分12分）已知以原点为中心的双曲线的一条准线方程为，离心率（）求该双曲线的方程；（）如题（20）图，点的坐标为，是圆上的点，点在双曲线右支上，求的最小值，并求此时点的坐标；解 （）由题意可

28、知，双曲线的焦点在轴上，故可设双曲线的方程为，设，由准线方程为得，由得 解得 从而，该双曲线的方程为.（）设点D的坐标为，则点A、D为双曲线的焦点，所以 ，是圆上的点，其圆心为，半径为1，故从而当在线段CD上时取等号，此时的最小值为直线CD的方程为，因点M在双曲线右支上，故由方程组 解得所以点的坐标为. 25.（浙江省桐乡一中2011届高三理）已知椭圆M的对称轴为坐标轴,且抛物线x2=y的焦点是椭圆M的一个焦点,又点A(1,)在椭圆M上. ()求椭圆M的方程;()已知直线l的方向向量为(1,),若直线l与椭圆M交于B、C两点,求ABC面积的最大值.答案 3解: ()由已知抛物线的焦点为,故设椭

29、圆方程为.将点代入方程得,整理得,解得或(舍).故所求椭圆方程为. 6分 ()设直线的方程为,设代入椭圆方程并化简得, 9分由,可得 . ( )由,故. 又点到的距离为, 11分故,当且仅当,即时取等号(满足式)所以面积的最大值为. 26.（浙江省桐乡一中2011届高三文）（本小题满分15分）已知圆O：交x轴于A，B两点，曲线C是以AB为长轴，离心率为的椭圆，其左焦点为F若P是圆O上一点，连结PF，过原点P作直线PF的垂线交直线于点Q （1）求椭圆C的标准方程； （2）若点P的坐标为（1，1），求证：直线PQ圆O相切； （3）试探究：当点P在圆O上运动时（不与A、B重合），直线PQ与圆O是否保

30、持相切的位置关系？若是，请证明；若不是，请说明理由答案 6解：（1）因为则b=1，即椭圆C的标准方程为（2）因为P（1，1），所以所以，所以直线OQ的方程为y= 2x. 又Q在直线上，所以点Q（2，4） 即PQOQ，故直线PQ与圆O相切， （3）当点P在圆O上运动时，直线PQ与圆P保持相切的位置关系. 设，则所以直线OQ的方程为所以点Q所以所以，即OPPQ（P不与A、B重合），故直线PQ始终与圆O相切.27.（河北省唐山一中2011届高三文）(本题满分12分)已知点P(-1,)是椭圆E：（ab0）上一点，F1、F2分别是椭圆E的左、右焦点，O是坐标原点，PF1x轴.求椭圆E的方程；设A、B是椭

31、圆E上两个动点，（04，且2）.求证：直线AB的斜率等于椭圆E的离心率；在的条件下，当PAB面积取得最大值时，求的值.答案 8.解：PF1x轴，F1(-1，0)，c=1，F2(1，0)， |PF2|=，2a=|PF1|+|PF2|=4，a=2，b2=3，椭圆E的方程为：；3分设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由 得 （x1+1，y1-）+（x2+1，y2-）=(1,-)，所以x1+x2=-2，y1+y2=(2-)5分又，两式相减得3(x1+x2)(x1-x2)+ 4(y1+y2)(y1-y2)=0.以式代入可得AB的斜率k=e；8分设直线AB的方程为y=x+t， 与联立消去y并整理得 x2

32、+tx+t2-3=0,=3(4-t2)， |AB|=， 点P到直线AB的距离为d=,PAB的面积为S=|AB|d=,10分 设f(t)=S2=(t4-4t3+16t-16) (-2t2)，f(t)=-3(t3-3t2+4)=-3(t+1)(t-2)2，由f(t)=0及-2t0，当t(-1,2)时，f(t)0，f(t)=-1时取得最大值， 所以S的最大值为. 此时x1+x2=-t=1=-2，=3.12分.28.（2010年3月广东省广州市高三一模数学文科试题）（本小题满分14分）已知动点到定点的距离与点到定直线：的距离之比为（1）求动点的轨迹的方程；（2）设、是直线上的两个点，点与点关于原点对称

33、，若，求的最小值（1）解：设点，依题意，有 整理，得所以动点的轨迹的方程为 29（广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）（本小题满分14分） 已知点是：上的任意一点，过作垂直轴于,动点满足。（1）求动点的轨迹方程；（2）已知点，在动点的轨迹上是否存在两个不重合的两点、，使 (O是坐标原点)，若存在，求出直线的方程，若不存在，请说明理由。解：（1）设，依题意，则点的坐标为1分2分又 4分在上，故5分 点的轨迹方程为6分（2）假设椭圆上存在两个不重合的两点满足，则是线段MN的中点，且有9分又 在椭圆上 两式相减，得 12分 直线MN的方程为 椭圆上存在点、满足，此时直线的方程为 14分.30（

34、肥城市第二次联考）(本小题满分12分)如图，在直角坐标系中，已知椭圆的离心率e，左右两个焦分别为过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交M、N两点，且|MN|=1() 求椭圆的方程；() 设椭圆的左顶点为A,下顶点为B，动点P满足，（）试求点P的轨迹方程，使点B关于该轨迹的对称点落在椭圆上.解：()轴，,由椭圆的定义得：，-1分，-3分又得，-4分所求椭圆C的方程为-5分()由（）知点A(2,0)，点B为（0，1），设点P的坐标为则，,由4得，点P的轨迹方程为-7分设点B关于P的轨迹的对称点为，则由轴对称的性质可得：，解得：，-9分点在椭圆上，整理得解得或 点P的轨迹方程为或，-11分经检验和都符合

35、题设，满足条件的点P的轨迹方程为或-12分31（玉溪一中期中）（本小题12分）已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心O，且，（）求椭圆的方程；（）如果椭圆上的两点P,Q使的平分线垂直于OA，是否总存在实数，使得？请说明理由；.解： （1）以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，设椭圆方程为，不妨设C在x轴上方，由椭圆的对称性，又，即为等腰直角三角形，由得：，代入椭圆方程得：，即，椭圆方程为；（2）假设总存在实数，使得，即，由得，则，若设CP：，则CQ：，由，由得是方程的一个根，由韦达定理得：，以代k得，故，故，即总存在实数，使得.32（2

36、009滨州一模）已知方向向量为的直线过点和椭圆的右焦点，且椭圆的离心率为（I）求椭圆的方程；（II）若已知点，点是椭圆上不重合的两点，且，求实数的取值范围（1）直线的方向向量为直线的斜率为，又直线过点直线的方程为，椭圆的焦点为直线与轴的交点椭圆的焦点为，又 ，椭圆方程为（2）设直线MN的方程为由，得设坐标分别为则 (1) (2) 0,，显然，且代入(1) (2)，得,得，即解得且.33.（2009广州一模）已知动圆C过点A(2，0)，且与圆M：(x2)2+x2=64相内切(1)求动圆C的圆心的轨迹方程；(2)设直线l: y=kx+m(其中k，mZ)与(1)所求轨迹交于不同两点B，D，与双曲线交

37、于不同两点E，F，问是否存在直线l，使得向量，若存在，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由.(本题主要考查圆、椭圆、直线等基础知识和数学探究，考查数形结合、类与整的数学思想方法，以及推理论证能力、运算求解能力和创新意识)解：（1）圆M：(x2)2+x2=64，圆心M的坐标为(2，0)，半径R=8.|AM|=4|AM|，3分圆心CD的轨迹是中心在原点，以A，M两点为焦点，长轴长为8的椭圆，设其方程为(ab0)，则a=4，c=2，b2=a2c2=12，所求动圆C的圆心的轨迹方程为.5分(2)由消去y 化简整理得：(3+4k2)x2+8kmx+4m248=0，设B(x1，y1)，D(x2，y

38、2)，则x1+x2=.1=(8km)24(3+4k2) (4m248)0. 7分由消去y 化简整理得：(3k2)x22kmxm212=0，设E(x3，y3)，F(x4，y4)，则x3+x4=.2=(2km)2+4(34k2) (m2+12)0. 9分， (x4x2 )+ (x3x1) =0，即x1+x2= x3+x4，2km=0或，解得k=0或m=0， 11分当k=0时，由、得，mZ，m的值为3，2，1，0，1，2，3；当m=0时，由、得，kZ，k=1，0，1.满足条件的直线共有9条. 14分.34（2009东莞一模）设椭圆的左右焦点分别为、，是椭圆上的一点，且，坐标原点到直线的距离为（1）求椭圆的方程；（2） 设是椭圆上的一点，过点的直线交轴于点，交轴于点，若，求直线的斜率解： （）由题设知由于，则有，所以点的坐标为.2分故所在直线方程为3分所以坐标原点到直线的距离为，又，所以，解得：.5分所求椭圆的方程为.7分（2）由题意可知直线的斜率存在，设直线斜率为，则直线的方程为，则有.9分设，由于、三点共线，且.根据题意得,解得或.12分又在椭圆上，故或，解得,综上，直线的斜率为或14分.35（2009江门一模）如图6，抛物线：与坐标轴的交点分别为、.求以、为焦点且过点的椭圆方程；经过坐标原点的直线与抛物线相交于、两点，若，求直线的