人教版高中数学选修2-1第三章空间向量与立体几何练习题及答案

1、第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算3.1.2 空间向量的数乘运算1. 下列命题中不正确的命题个数是()uuuruuuruuuruuur r若 A、 B、C、D 是空间任意四点，则有AB+BC+CD +DA=0；uuuruuuruuuruuur对空间任意点O 与不共线的三点A、 B、 C，若 OP =x OA +y OB +zOC （其中 x、 y、z R），则 P、A、 B、C 四点共面；rrrr若 a 、 b 共线，则 a 与 b 所在直线平行。A .1B .2C.3D.4uuuruuuruuur uuur2.设 OABC 是四面体，G1是 AB

2、C 的重心，G 是 OG1上一点，且 OG=3GG1，若 OG=x OA +y OB +zOC ，则（ x， y， z）为 ()A.（1，1，1）B.（3，3，3）C.（1，1，1）D.（2，2，2）444444333333uuuruuuruuuruuuurxyz _.在平行六面体ABCDEFGH中，AGxACyAFzAH， 则3uuurrruuurrrrE、F，则4.已知四边形 ABCD 中， AB= a 2 c ， CD =5 a +6b 8 c ，对角线 AC、 BD 的中点分别为uuurEF =_ .5.已知矩形 ABCD ， P 为平面 ABCD 外一点，且 PA平面 ABCD ，

3、M、 N 分别为 PC、PD 上的点，且 Muuuruuuruuuuruuuruuuruuur分 PC 成定比2， N 分 PD 成定比 1，求满足 MN xABy ADzAP 的实数 x、y、 z 的值 .PNAMDBC3.1.3 空间向量的数量积运算1.已知正四棱柱ABCDA1 B1C1D1 中， AA1 = 2AB ， E 为 AA1 重点，则异面直线BE 与 CD1 所形成角的余弦值为 ()1013103A .B .C.10D .10552如图，设 A， B， C， D 是空间不共面的四点，且满足uuur uuurAB AC 0，uuur uuuruuur uuur0 ，则 BCD 的

4、形状是 ( )AC AD0， AB ADA 钝角三角形B 锐角三角形D 不确定的3已知 ABCD A1B1C1D1 为正方体，则下列命题中错误的命题为_ 2 uuuur 2 (A 1A+A1 D1 +A1B1 ) =3(A1 B1 ) ;uuuruuuuruuuuruuuuruuuuruuur A1C (A1 B1A1A) 0;uuuruur;向量与向量的夹角为60AD1A1Buruurur立方体 ABCD-AB C D 的体积为 | AB AAAD|;11 1114如图，已知：平行六面体ABCD A1B1C1D1 的底面 ABCD 是菱形，且 C1CB =C1CD= BCD=60（ 1）证明

5、： C1C BD；（ 2）当 CD 的值为多少时，能使 A1C平面 C1BD ？请给出证明CC13.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5 空间向量运算的坐标表示uuur(2 ，2， 3)uuur( x， 1 y， 4z) ，且平行四边形 OACB 的对角线的中点1已知向量 OA， OB坐标为 M(0， 3，1 ) ，则 (x， y， z)()22A( 2， 4， 1)B( 2， 4，1)C( 2， 4， 1)D (2， 4， 1)rr(1，r6， 6， 12)r rr2已知 a (2 ，2， 4) ， b1， 2) ， c (，则向量 a、b、c ( )A 可构成直角三角形B可构成

6、锐角三角形C可构成钝角三角形D不能构成三角形uuur3若两点的坐标是A（3cos ， 3sin ，1）， B（ 2cos ， 2sin ， 1），则 | AB |的取值范围是 ()A 0，5B1，5C（ 1， 5）D 1， 254.设点 C（ 2a+1 ， a+1 ， 2）在点 P（ 2， 0， 0）、 A（ 1， 3， 2）、 B（ 8， 1， 4）确定的平面上，则 a的值为.5.如图，正三棱柱ABC-A1 B1 C1 的底边长为 a，侧棱长为2 a.建立适C1B1当的坐标系，写出A，B，A1，B1 的坐标；求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成1A的角 .BA3.2 立体几何中的向量方法1

7、到一定点（ 1， 0， 1）的距离小于或等于2 的点的集合为 ( )A ( x, y, z) | (x1)2y 2( z1) 24B ( x, y, z) | (x1)2y2( z1)24C ( x, y, z) | (x1)2y2( z1)22D ( x, y, z) | (x1)2y 2( z1)222. 正方体 ABCD A B C D中，直线 BC与平面 A BD 所成角的余弦值为 ( )111111A 2D 1C14B12A1B 3C3DC3D 3AB23. 已知斜三棱柱 ABCA1B1C1 ，BCA90o ， ACBC 2， A1在底面 ABC 上的射影恰为AC 的中点 D ，又知

8、 BA1AC1 .（ 1）求证： AC1平面 A1BC ；（ 2）求 C1 到平面 A1 AB 的距离；（ 3）求二面角 A A1B C 余弦值的大小 .B4. 如图，在直三棱柱 ABCA1B1C1 中， AB =1， AC AA13 ， ABC=60 .A(1) 证明： ABA1C ；1B（ 2）求二面角A A1C B 的大小 .1A5. 如右图，四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形， 每条侧棱的长都是底面边长的2B倍， P 为侧棱 SD 上的点 .S（ 1）求证： AC SD；（ 2）若 SD 平面 PAC，求二面角 P-AC-D 的大小F（ 3）在（ 2）的条件下，侧棱 SC 上是否存在

9、一点E，使得 BE平面 PAC.若存在，求 SE： EC 的值；若不存在，试说明理由 .ADBCC1C参考答案第三章空间向量与立体几何3.1 空间向量及其运算3.1.1 空间向量及其加减运算rrr3.1.2 空间向量的数乘运算1.A 2.A 3. 34.3a+3 b 5 c25.uuuuruuuruuuur如图所示，取PC 的中点 E，连结 NE，则 MNENEM .uuur1uuur1 uuur1 uuur EN2CDBA =2AB ，2uuuruuuuruuur2 uuur1 uuur1 uuurENPMPE =PCPCPC ，326连结 AC ，则uuuruuuruuuruuuruuur

10、uuurPCACAPABADAPuuuur1 uuur1uuuruuuruuurB MNAB6( ABADAP)2=2 uuur1 uuur1 uuur3AB6AD6AP ， x2 , y1 , z1 .3663.1.3 空间向量的数量积运算uuurr uuurr uuuurrrruuur1.C2.B3.4.（ ）设CBa, CDb, CC1c，则| a | b |，QBD1uur uuuurrrrrrrrr rrruuurBD CC1( ba)cbcac| b | c | cos 60| a | c |cos 600 ，BD（2） 设CDx,CD2,则CC=2 ，CC11xuuuuruuuu

11、rQBD面 AA1C1C,BDA1C ，只须求 x满足 : A1CC1D0 ，uuuurr uuurruuurruuuurr rr uuuurrr设 A1 A a, AD b, DCc ， Q A1C a b c,C1 D ac ，uuuur uuuurrrrrrr 2r ur rrr 2 42A1C C1 D (a b c) (a c) aa b b c cx2x6，令 4260 ，则 3x2x20 ，解得 x1，或 x2x2x3PNEAMDCuuuruuurrrCDCBba ，所以uuuurCC1 ；CC1即 BD（舍去），CD时, 能使 A1C平面 C1 BD.z C1B11CCA1M1

12、3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示3.1.5 空间向量运算的坐标表示ByAx1.A2.D3.B4.165. （ 1）建系如图，则 A（0， 0， 0） B（ 0，a， 0）A1（ 0， 0， 2 a)， C1（ -3aa， , 2a )22(2) 解法一：在所建的坐标系中，取A1B1 的中点 M，于是 M（ 0， a , 2a ），连结 AM， MC 12则有uuuur3 a,0,0)uuuruuurMC1(AB(0, a,0)， AA1(0,0 2a) ，2uuuuruuuruuuuruuur0， MC1AB0， MC1AA1所以， MC 1平面 ABB1A1.因此， AC1 与 A

13、M 所成的角就是AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角 .uuuur3auuuur(0,a,2)AC1 (a,2,2a)，AM2a，2uuuuruuuur9a2uuuuruuuur3AC1AM，而 | AC1 |3a,| AM |a ，42uuuuruuuuruuuuruuuur3uuuur uuuurAC1AM由 cos=uuuuruuuur，=30 .|AC1 |AM |2 AC1 与侧面 ABB1A1 所成的角为 30.3.2 立体几何中的向量方法新 课 标 第 一网1.A2.C3.（ 1）如右图，取AB 的中点 E ，则 DE / BC ，因为 BCAC ，所以 DEAC ，又 A1D

14、平面 ABC ，以 DE, DC , DA1 为 x, y, z 轴建立空间坐标系，则A 0,1,0，C 0,1,0 ，B2,1,0 ，A10,0, t， C1 0,2, t，uuuuruuurAC1 0,3,t， BA12,1, t，uuuruuuruuurCB2,0,0，由 AC1CB0，知 A1CCB ，又 BA1 AC1 ，从而 AC1 平面 A1BC .uuuuruuur（ 2）由 AC1BA13 t 20 ，得 t3 .ruuuruuur设平面 A1 AB 的法向量为 nx, y, z， AA10,1,3 ，AB2,2,0，所以ruuurrnAA1y3z0z3,3,1，ruuur，

15、设，则 n2x2 y01n ABuuuurr所以点 C1 到平面 A1 AB 的距离 dAC1n221r.n7uruuuruuur（ 3）再设平面 A1BC 的法向量为 mx, y, z， CA10,1,3， CB2,0,0 ，所以uruuururm CA1y3z00,3,1，ur uuur2x，设 z1，则 mm CB0ur rurr7故 cosm nm,nurr7，根据法向量的方向，mn可知二面角 AA1BC 的余弦值大小为7.74.1ABC A1B1C1为直三棱柱，（ ）Q 三棱柱AB AA1，ACAA1 ，Rt ABC ， AB1, AC3,ABC60，由正弦定理ACB300.BAC9

16、00 即ABAC .如右图，建立空间直角坐标系，则 A(0,0,0), B(1,0,0) C(0, 3,0), A1(0,0, 3)uuuvuuuvAB (1,0,0), AC1(0,3,3) ，uuuvuuuvQ AB AC1100 30( 3)0，ABA1C .uuuv(2) 如图可取 m AB(1,0,0)为平面 AA1C 的法向量，设平面 A1 BC 的法向量为 n(l , m, n) ，uuuvuuuv又uuuv（ ，），则BC n0, AC1 n0,BC1 3 0l3m0l3m,nm .3m3n0不妨取 m1,则 n(3,1,1) ，cos m,nm n31101015mn.(3)

17、222220251110二面角 AACBD的大小为 arccos15 .155. （1）连结 BD ，设 AC 交于 BD 于 O ，S由题意知 SO平面 ABCD .以 O 为坐标原点，FOB，OC，OS 分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴正方向，AD建立坐标系 Oxyz 如右图 .BOC设底面边长为 a ，则高 SO6 a .于是 S(0,0,6 a), D (2 a,0,0) ， C (0, 2 a,0)，2222OC(0,2 a,0)， SD(2 a,0,6 a) ， OCSD 0，故 OCSD .从而ACSD .222(2)由题设知，平面PAC 的一个法向量DS(2 a,0,6 a) ，平面 DAC 的一个法向量22u