辽宁五校联考06-07上学期高三期末数学理

1、辽宁省五校联考20062007 学年度上学期高三年级期末考试数学（理）第卷（选择题，共60 分）一、选择题 : 本大题共12 小题，每小题5 分，共 60分 . 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1设集合U x N | 0x 5, A1,3,4, B 2,4,5,则(U A )（）( U B ) =A UB 4C 1,3,5D 1,2,3,52定义 xyx 3y ，则 h( hh)（）A hB 0C hD h33给出下列三个命题:正四棱柱一定是直平行六面体；四面体 ABCD 中 , 若点 A 在面 BCD 上的射影是 BCD 的垂心 , 则点 B 在面 ACD 上的射影也是

2、 ACD 的垂心；经过球面上不同两点的球的小圆可能不存在.其中假 命题的个数为（）A 0 个B 1 个C 2 个D 3 个4 在直角三角形 ABC 中， A90,| AB |1,则 AB BC的值为（）A 1B 1C 1 或 1D无法确定115已知函数 f ( x)1 2x, 若 af (log 3 0.8),bf ( 1 ) 3 , cf ( 22 ) ，则（）2A a b cB a c bC c a bD b c a6某天下午的课程表要排入物理、化学、生物和两节自习共5 节课，如果第 1 节不排生物，最后 1 节不排物理，那么不同的排课表的方法有（）A 36 种B 39 种C 60 种D

3、78 种7已知实系数一元二次方程x2(1a) xa b 1 0 的两个实根为x1 、 x2 , 并且0 x12, x2 2 , 则b 的取值范围是（）a1A ( 1, 1)B ( 3, 1C ( 3, 1)D ( 3, 1 33228过抛物线 y2x2准线上任一点作抛物线的切线，切点分别为A、 B, 则直线 AB恒过点（）A (0, 1)B ( 1 ,0)C ( 1 ,0)D (0, 1)88229如图， A、 B、C 是表面积为48的球面上的点， 且 AB2 ， BC4 ，ABC 60，O 为球心，则直线OA 与截面ABC 所成角的大小是（）O3A arccos63C arccos22B a

4、rccos33D arccos310已知函数 f (x)x ， g ( x) 是定义在 R上的奇函数，且当x0 时， g ( x) = x(1x),则方程 f ( x)g ( x)1不相等的实数根的个数是（）A 3B 2C 1D 011已知x 2cx2，且函数2blimaya ln xc 在1，上存在反函数， 则 （）x2xex2A b(,0B b 2e,)C b(,0 2e,)D b 0,2e12已知周期数列 xn 满足 xnxn 1xn 2 (n 3) ，若 x11, x2a( 0 a 1) ，则当该数列的周期最小时，数列的前2008项的和是（）A 1338B 1339C 1340D 13

5、41第卷（非选择题共 90 分）二、填空题：本大题共4 小题，每小题4 分，共 16分 . 把答案填在答题纸上 .13在 (1x) 3(1x) 4(1 x)10 的展开式中，含 x 2 项的系数为 _.14若将形如f()axb (c0, adbc)的函数称为线性分式函数, 则图象关于直线xcxdy x 对称的一个线性分式函数的解析式可以为 _. （写出你认为正确的一个解析式即可）15若随机从集合 2,22 ,23 ,210 中选出两个不同的元素a、 b ，则 log a b 为整数的概率为 _.16已知点 P 是双曲线 x2y 21上一动点 , F1、 F2 是双曲线的两个焦点，O 是坐标原点

6、 ,84则 | PF1 | PF2 | 取值范围是 _ .| OP |三、解答题：本大题共6 小题，共 74分 . 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分12 分）如图，棱长为1 的正方体 ABCDA1 B1C1 D1 中，点 P、M、N 分别为棱 DD1 、AB 、 BC 的中点 .D1C1（ 1）求二面角 B1MNB 的正切值 ;（ 2）求点 P 到平面 MNB1 的距离 .A1B1PDCNAMB18（本小题满分设函数f ( x)（ 1）求函数12 分）sin x(sin x3 cos x)m , mf ( x) 的最小正周期及单调递增区间R.;（ 2）当x0,时，函数f

7、 ( x)的最小值为1，求此时f (x) 的最大值及相应x 值 .219（本小题满分12 分）某轮船公司争取到一个相距100 海里的甲、乙两地的客运航线权，已知轮船的平均载 客 人 数 为 200 人 ， 轮 船 每 小 时 使 用 的 燃 料 费 和 轮 船 航 行 速 度 的 关 系 为P kv2 (0k1) ，轮船的最大速度为 20 海里 / 小时，其余费用（不论速度如何）总计是每小时150元. 假定轮船从甲地到乙地匀速航行，若公司打算从每位乘客身上获得利润 10 元，试为该轮船公司设计一个较为合理的船票价格20（本小题满分12 分）已知椭圆的方程为x2y21 (a b 0) ,过其左焦

8、点 F ( 1,0) 斜率为 1 的直a2b2线交椭圆于 P、 Q 两点 .（ 1）若 OPOQ 与 a(3,1)共线，求椭圆的方程;求椭圆的离心率 e（ ）若在左准线上存在点R ,使PQR 为正三角形,.221（本小题满分12 分）已知函数 f ( x)x, x(0,)，数列 a n 满足 a1 1, an 1f (a n ); 数列 bn 满2 x111, 其中 sn 为数列 bn 前 n项和， n1,2,3, .足 b1,bn 12 1 2 f (sn )（ 1） 求数列 an 和数列 bn 的通项公式 ;（ 2） 设 Tn111 , 证明 : Tn5.a1b1a2b2anbn22（本小

9、题满分14 分）已知函数 f (x)x ， g( x)ln(1x) ， h( x)x .（ 1）证明：当 x0 时，恒有 f ( x)1xg (x);（ 2）当 x0 时，不等式 g( x)kx (k 0) 恒成立，求实数k 的取值范围 ;kx（ 3）在 x 轴正半轴上有一动点D ( x,0) ，过 D 作 x 轴的垂线依次交函数 f ( x), g( x), h(x)的图象于点A、B、 C O为坐标原点 . 试将AOB与BOC的面积比表示为 x 的，函数 m(x) ，并判断 m( x)是否存在极值， 若存在， 求出极值； 若不存在， 说明理由 .参 考 答 案一、选择题1 D；2 C； 3

10、A； 4 B； 5 D ； 6 B；7 C；8 A； 9 D； 10B ； 11 C； 12 B.二、填空题：13164 14 1( 答案不唯一 )15 1716 (2, 6三、解答题：x9017（ 1）解：连结BD，交MN于 Q ，连结,AC.B1QM , N分别为 AB, BC中点 ，MN / ACACBDMNBD又 B1 B 平面 ABCDB1 Q MNB1QB为二面角 B1 MNB的平面角 .2分在 B1QB中 ，B1B 1，BQ24B1Btan B1QB4分2 2.BQ（ 2）连结 B1D1 .由（ 1）知 MN平面 BDD 1B1平面 B1MN平面 BDD 1 B1过 P作 PH

11、B1Q,点 H 为垂足PH平面 B1 MN则 PH 长为点 P到平面 MNB1的距离 . 6 分S PB11QSBDD 11B1 S PD1 B1S PDQ72S B1B1Q10分1632在 PQB1中, B1Q4S PB Q1 B1Q PH1 3 2 PH7 2122416PH76故点 到平面的距离 7 .12分PMNB16sin 2 x18解： f (x)3 sin x cos xm =1cos 2x3 sin 2x m = sin(2 x)1m 4 分2262（ 1） f ( x) 的最小正周期 T，由222得，k2x6k2k6xk, kZ3故 f (x) 的单调递增区间为k6,k, k

12、Z 8 分3（ 2）0x2x51sin(2 x) 1 ，当 sin(2 x16662)2662时，原函数最小值为1，即1m11m1，sin(2 x)3，当 x时，22623f ( x) 的最大值为5 . 12 分21 (kv 2 100100150) ，19解：设从甲地到乙地的人均总费用为W ，则 W200vv即 W1 (kv150 )(0v20) ， 3 分2vW 1 (k150)由 W 0 得 v15056k2v2kk当 0k356k20此时时，8 k1150W(kv)(0v20)单调递减，2v因此当v20 ， W 最小为（10k 154）元 .所以较为合理的船票价格为（10k 55 ）元

13、 . 7 分4当 1 k35时，6k 20此时8kW1 (kv150)150k5 6k2v因此当 v 56k 时， W 最小为 5 6k 元 .k所以较为合理的船票价格为（56k）元. 11 分综上，当 0k3时，较为合理的船票价格为（10k 55 ）元 ;84当 1356k ）元 . 12分k时，较为合理的船票价格为（820解：（ 1）将直线 PQ的方程为 yx1, 代入x2y 21a2b2化简得 (a2b2 ) x22a2 xa2a2 b20 .令 P( x1 , y1 ),Q( x2 , y2 ), 则 x1x22a 2, x1 x2a 2a2 b2a2222 .bab由 OPOQ (x

14、1x2 , y1y2 )， OPOQ 与 a( 3,1) 共线，得3( y1y2 ) ( x1x2 ) 0. 3( x1 x22) (x1x2 ) 0x1x23 ，即2a23 ， a 23b 2 4 分2a2b22又 a2b21 a23 , b2122所以椭圆的方程为2x221 . 6 分32 yM （ 2）如图 ,设线段PQ 的中点为过点P 、 M 、 Q 分别作准线的垂线 ,Ry垂足分别为P 、 M 、 Q ,则Q11 | PF | | QF |Q| PQ | MM |(| PP | QQ |)()MM22ee2eFOxPPQFX,FMM ,M MR, RM2 MM 444又 | RM |

15、3 | PQ |，2PQ3 PQ ，所以 e6.2e223 12 分21解 :f ( x)x, an 1f (an ),2x1an1an.2an1112.anan11以 1为首项 为公差等差数列.a112an11(n1) 2anan1.分2n31又bnbnbnf (x)112 2sn2bn 1x2x112sn2sn11 1. 2(sn, bn 11,1 2 f ( sn )2sn 1.1 sn ).bn23bn 1.b11 ,b2 2s1 1 2,2 bn 从第二项起成等比数列 , 公比为 3.1分bn, n 1262 3n 2 ,n2(2)证明 : 依题意Tn21 3 1517 ( 1) 2

16、(2n1)( 1)n 2 2333令 An3 1 517(1) 2(2n 1)( 1) n 2333115(1271)3( 2n3)1n 2(2n 1) (1n 1An3)( )3333332 An3 1 2 1( 1) 2(1 ) 3(1)n 2 ( 2n 1) ( 1) n 133333311(1)n2 3 2 33(2n 1)( 1 )n 11133An63 ( 1) n 23 (2n 1)(1 ) n 19分2323Tn53 ( 1)n 23 (2n 1)( 1) n 15.12分43431x22解：（ 1）设 F ( x)f ( x)g(x) ，则 F ( x) =11， 2 分时，

17、 F ( x)1 xx当 x00 ，所以函数 F (x) 在（ 0，) 单调递增，又 F ( x)在 x0处连续，所以 F ( x)F (0)0 ，即 f (x)g( x)0 ，所以 f ( x)g ( x) 。 4 分（ 2）设 G(x)g( x)kx，kxk 2则 G ( x) 在（ 0，) 恒大于0， G (x)ln(1x)k，kxG( x)1k 2x 2(2kk 2 )x， 6 分1x(kx) 2(1x)(kx) 2x 2(2kk 2 ) x0 的根为 0 和 k 22k,即在区间（0，) 上， G ( x)0 的根为 0 和 k 22k,若 k 22k0 ，则 G( x) 在 (0, k且 G ( 0) 0 ，与 G (x) 在（ 0，若 k 22k0 ， G (x) 在（ 0，且 G ( 0)0 ，满足题设条件，所以（ 3） m( x)S AOBxln(1S BOCln( 1x)22k)