高考复数知识点精华总结

1、复数1复数的概念：（1 ）虚数单位 i；（2 ）复数的代数形式z=a+bi ， (a, b R)；（3 ）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。2复数集有理整数实 数 ( b 0)数分数复 数 a bi ( a , b R )无理数(无 限不循环小数 )虚数 (b纯 虚数 ( a0)0)数 ( a0)非 纯 虚3复数 a+bi(a, bR) 由两部分组成，实数 a 与 b 分别称为复数 a+bi 的实部与虚部， 1 与 i 分别是实数单位和虚数单位， 当 b=0 时，a+bi 就是实数，当 b 0 时，a+bi 是虚数，其中 a=0 且 b0 时称为纯虚数。应特别注意， a=0 仅是复数 a+bi

2、为纯虚数的必要条件，若a=b=0 ，则 a+bi=0 是实数。4复数的四则运算若两个复数 z1=a1+b1i ， z2=a2+b2i ，（1 ）加法： z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i；（2 ）减法： z1 z2=(a1 a2)+(b1 b2)i ；（3 ）乘法： z1z2=(a1a2 b1b2)+(a1b2+a2b1)i；z1 (a1a2bb12 ) (a2 b1a1b2 )i（4）除法： z2a22b22；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。（6）特殊复数的运算： i n (n 为整数 )的周期性运算； (1i)2 =2i；1 3 若 =- 2 + 2 i

3、，则 3=1，1+ +2=0.5共轭复数与复数的模（1）若 z=a+bi ，则 z abi ， zz 为实数， zz 为纯虚数 (b 0).（2）复数 z=a+bi 的模 |Z|=a2b2, 且 z z| z |2=a2+b2 .6. 根据两个复数相等的定义，设a, b, c,d R ，两个复数a+bi 和 c+di 相等规定为aca0a+bi=c+dibd . 由这个定义得到 a+bi=0b0 .两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。4复数 a+bi 的共轭复数是 a bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若 b=0 ，则实数 a 与实数 a 共轭，表示点落

4、在实轴上。5复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2 =1 结合到实际运算过程中去。如 (a+bi)(a bi)= a 2 +b26复数的除法是复数乘法的逆运算将满足 (c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi 0)的复数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商。由 于 两 个 共轭 复 数的 积是 实 数 ，因 此 复数 的除 法 可 以通 过 将 分 母实 化 得 到， 即a bi(abi )(cdi )ac bd(bc ad )ic di( cdi )(cdi )c2d 2.7复数 a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的

5、点到原点的距离。（二）典型例题讲解1复数的概念例 1实数 m 取什么数值时， 复数 z=m+1+(m 1)i 是（1 ）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4 ）对应的点 Z 在第三象限？解：复数 z=m+1+(m 1)i 中，因为 m R，所以 m+1， m1 都是实数，它们分别是 z 的实部和虚部， （1 ）m=1 时， z 是实数；（2）m 1 时， z 是虚数；m10（3 ）当 m 10 时，即 m=1时， z 是纯虚数；m10（4 ）当 m10 时，即 m1时， z 对应的点 Z 在第三象限。例 2已知 (2x 1)+i=y (3 y)i，其中 x, y R，求 x, y.2x 1y5

6、解：根据复数相等的意义，得方程组1(3y) ，得 x= 2 , y=4.2m23m2例 4当 m 为何实数时， 复数 zm225+(m2+3m 10)i ；（ 1）是实数；（2）是虚数；（3 ）是纯虚数解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法m23m 100（ 1） z 为实数，则虚部 m2+3m 10=0 ，即m2250，解得 m=2， m=2 时， z 为实数。m23m 10 0（2 ）z 为虚数，则虚部 m2+3m 10 0，即m2250，2m23m20m23m 100解得 m2 且 m5.当 m 2 且 m5 时， z 为虚数m2250，11解得 m= 2, 当 m= 2时，

7、z 为纯虚数诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求例 5计算： ii2i3+ +i2005.解：此题主要考查 in 的周期性ii2 i3+ +i2005=(i+i2+i3+i4)+ +(i2001+i2002+ i2003 i2004) i2005=(i1i+1)+ (i 1i+1)+ +(i1i+1)+i 0 0 0+i i.或者可利用等比数列的求和公式来求解（略）诠释：本题应抓住in 的周期及合理分组例 8使不等式 m2 (m2 3m)i (m2 4m 3)i 10 成立的实数m.解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式

8、的解法 m2 (m23m)i (m2 4m 3)i 10, 且虚数不能比较大小，m2m210| m | 103m0m0或 m3 m24m30 ，解得 m3或 m1 ， m=3.当 m 3 时，原不等式成立诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。例 9已知 z=x yi(x ，yR)，且 2x yi log2x8(1 log 2y)i ，求 z解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法2x y80x y32x yi log 2 x8 (1 log 2 y)i，log 2 x1log 2y，xy2，x2x1解得 y1 或 y2 , z2i 或 z12i诠释：本题应抓

9、住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程）例 10 已知 x 为纯虚数， y 是实数，且 2x 1i y (3y)i ，求 x、 y 的值解：本题主要考查复数的有关概念，实数与 i 的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法设 xti (t R，且 t 0），则 2x 1 iy(3 y)i 可化为2ti 1iy(3y)i ，即 (2t 1)i 1=y(3 y)i，2t 1(3 y)551 y, y=1, t= 2 , x= 2 i.2复数的四则运算例 1计算：(1 i )2n（1 ） (1i )2( n 1) ，nN+ ；13( 3 i )6(3 i )6（2 ）若 =

10、2 +2i， 3=1，计算22；( 32i )(52i )( 53i )2（3 ）( 23i )( 25i)；（4 ）S=1+2i+3i2+4i3+ +100i99.(1 i )2 n(1 i )2n22inn 1解：（ 1） (1 i) 2( n1)= (1i )2 (1i)(2i)(2i)(1)2i2in2k1,kN=2in 2k, kN.( 3 i )6(3 i )6( i13i ) 6( i13i ) 6i 6 6( 2 )6 （2 ）22=22= 2.32ii52ii23i25i（3 ）由于,(32i )(52i )( 53i) 2(23i )(25i )= | i i(53i) 2

11、 | (53i ) 2 |( 5 3) 2=8.（4 ）S=1+2i+3i2+4i3+ +100i99 =(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+ +(97i96+98i97+99i98+100i99)=(1+2i 3 4i)+(5+6i 78i)+ +(97+98i 99100i)=25( 2 2i)= 50 50i.4例 2已知复数 z 满足 |z2|=2， z+ z R，求 z.解：设 z=x+yi, x, y R，则44z4( x yi )4x( y4 y2 )ix yi22x222z+ z =z+ zzxyxyxy，4y4 y z+ z R，x2y2=0，

12、又|z2|=2, (x2)2+y2=4,联立解得，当 y=0时 , x=4或 x=0 (舍去 x=0,因此时 z=0)，x1当 y0 时 ,y3 , z=1 3 , 综上所得z1=4 ， z2=1+3 i，z3=1 3 i.1例 3设 z 为虚数，求证： z+ z 为实数的充要条件是 |z|=1.证明：设 z=a+bi (a, b R， b 0)，于是11a biabi(aa2 ) (bb2 )iz+ z =(a+bi)+ abia2b2a2ba2b,1b所以 b 0, (z+ z )Rb a2b2=0a2+b2=1|z|=1.z1例 4复数 z 满足 (z+1)( z +1)=| z |2，

13、且 z1 为纯虚数，求 z.解：设 z=x+yi (x, y R)，则1(z+1)( z +1)=| z |2+z+ z +1=| z |2， z+ z +1=0，z+ z = 1，x= 2 .z 1 (z1)(z1)| z |2z z 1 x2y2xyi x yi 1z 1 = (z1)(z1)| z1|2=| z1|2为纯虚数，31313 x2+y2 1=0, y= 2, z= 2+ 2i 或 z= 2 2i.例 5复数 z 满足 (1+2i)z+(3 10i) z =434i ，求 z.解：设 z=x+yi (x, y R)，则 (1+2i)(x+yi)+(3 10i)(x yi) =4 34i ，整理得 (4x 12y) (8x+2y)i=4 34i.4x12y4x48x2 y34 , 解得 y 1 , z=4+i.1例 6设 z 是虚数， =z+ z 是实数，且 1 2，1z（1 ）求 |z|的值及 z 的实部的取值范围；（ 2）设 u= 1 z ，求证 u 为 纯虚数；（3 ）求 u2 的最小值。解：（ 1）设 z=a+bi (a, b R, b 0)，则(aa) (bb2 )ia22a2b，由于 是实数且 b 0