2019-2020学年高中数学 第四章 圆与方程 4.3.1 空间直角坐标系 4.3.2 空间两点间的距离公式课件 新人教A版必修2

1、4.34.3空间直角坐标系空间直角坐标系 4.3.14.3.1空间直角坐标系空间直角坐标系 4.3.24.3.2空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 目标导航目标导航 课标要求课标要求 1.1.理解空间直角坐标系的概念理解空间直角坐标系的概念, ,会根据坐标系描会根据坐标系描 出点的位置、由点的位置写出点的坐标出点的位置、由点的位置写出点的坐标. . 2.2.掌握空间两点间的距离公式掌握空间两点间的距离公式, ,理解公式使用的理解公式使用的 条件条件, ,会用公式计算或证明会用公式计算或证明. . 素养达成素养达成 通过对空间直角坐标系及空间两点间距离的学通过对空间直角坐标系及空间两点间距

2、离的学 习习, ,培养学生的类比和数形结合思想培养学生的类比和数形结合思想. . 1.1.空间直角坐标系空间直角坐标系 (1)(1)空间直角坐标系空间直角坐标系: :从空间某一定点引三条两两垂直从空间某一定点引三条两两垂直, ,且有相同单位长且有相同单位长 度的数轴度的数轴: : , ,这样就建立了这样就建立了 Oxyz.Oxyz. 新知导学新知导学素养养成素养养成 x x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴空间直角坐标系空间直角坐标系 (2)(2)相关概念相关概念: : 叫做坐标原点叫做坐标原点, , 叫做坐标轴叫做坐标轴. .通通 过过 的平面叫做坐标平面的平面叫做坐标平面, ,分别称为分别称

3、为 平面、平面、 平面、平面、 平面平面. . 点点O Ox x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴 每两个坐标轴每两个坐标轴xOyxOy yOzyOzzOxzOx 2.2.右手直角坐标系右手直角坐标系 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,让右手拇指指向让右手拇指指向 的正方向的正方向, ,食指指向食指指向 的的 正方向正方向, ,如果中指指向如果中指指向 的正方向的正方向, ,则称这个坐标系为右手直角坐标系则称这个坐标系为右手直角坐标系. . 3.3.空间一点的坐标空间一点的坐标 空间一点空间一点M M的坐标可以用的坐标可以用 来表示来表示, , . . 叫做点叫做点M M在此空间直角坐标

4、系中的坐标在此空间直角坐标系中的坐标, ,记作记作 . .其中其中 叫点叫点 M M的横坐标的横坐标, , 叫点叫点M M的纵坐标的纵坐标, , 叫点叫点M M的竖坐标的竖坐标. . 4.4.空间两点间的距离公式空间两点间的距离公式 任意两点任意两点P P1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2) )间的距离间的距离|P|P1 1P P2 2|=|= . . x x轴轴 y y轴轴 z z轴轴 有序实数组有序实数组(x,y,z)(x,y,z)有序实数组有序实数组(x,y,z)(x,y,z) M(x,y,z) M(x,y,z)

5、x x y yz z 222 121212 xxyyzz 名师点津名师点津 (1)(1)空间直角坐标系的画法空间直角坐标系的画法 x x轴与轴与y y轴成轴成135135( (或或4545),x),x轴与轴与z z轴成轴成135135( (或或4545).). (2)(2)空间两点间的距离空间两点间的距离 空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式空间两点间的距离公式可以类比平面上两点间的距离公式, ,只是增只是增 加了对应的竖坐标的运算加了对应的竖坐标的运算. . 课堂探究课堂探究素养提升素养提升 方法技巧方法技巧 (1)(1)建立空间直角坐标系时应遵循以下原则建立空间直角坐标系时应

6、遵循以下原则 让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内让尽可能多的点落在坐标轴上或坐标平面内; ; 充分利用几何图形的对称性充分利用几何图形的对称性. . (2)(2)求某点的坐标时求某点的坐标时, ,一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影一般先找出这一点在某一坐标平面上的射影, ,确确 定其两个坐标定其两个坐标, ,再找出它在另一轴上的射影再找出它在另一轴上的射影( (或者通过它到这个坐标或者通过它到这个坐标 平面的距离加上正负号平面的距离加上正负号),),确定第三个坐标确定第三个坐标. . 即时训练即时训练1 1- -1:1:建立适当的坐标系建立适当的坐标系, ,写出底边长为写出底边长为2,

7、2,高为高为3 3的正三棱柱的各顶点的正三棱柱的各顶点 的坐标的坐标. . 备用例备用例11 1.1.如图如图, ,在长方体在长方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,F,E,F分别是棱分别是棱BC,CCBC,CC1 1上的点上的点,|CF|=,|CF|= |AB|=2|CE|,|AB|AD|AA|AB|=2|CE|,|AB|AD|AA1 1|=124.|=124.试建立适当的坐标系试建立适当的坐标系, ,写出写出 E,FE,F点的坐标点的坐标. . 2.V2.V- -ABCDABCD是正棱锥是正棱锥,O,O为底面中心为底面中心,E,F,E,F分别为

8、分别为BC,CDBC,CD的中点的中点. .已知已知|AB|=|AB|= 2,|VO|=3,2,|VO|=3,建立如图所示空间直角坐标系建立如图所示空间直角坐标系, ,试分别写出各个顶点的坐标试分别写出各个顶点的坐标. . 解解: :因为底面是边长为因为底面是边长为2 2的正方形的正方形, ,所以所以|CE|=|CF|=1.|CE|=|CF|=1.因为因为O O点是坐标原点点是坐标原点, , 所以所以C(1,1,0),C(1,1,0),同样的方法可以确定同样的方法可以确定B(1,-1,0),A(-1,-1,0),D(-1,1,0).B(1,-1,0),A(-1,-1,0),D(-1,1,0).

9、 因为因为V V在在z z轴上轴上, ,所以所以V(0,0,3).V(0,0,3). 题型二空间直角坐标系中点的对称问题题型二空间直角坐标系中点的对称问题 例例2 (2 (1)1)点点A(1,2,-1)A(1,2,-1)关于坐标平面关于坐标平面xOyxOy及及x x轴的对称点的坐标分别是轴的对称点的坐标分别是 ; ; 解析解析: :(1)(1)如图所示如图所示, ,过过A A作作AMxOyAMxOy交平面于交平面于M,M,并延长到并延长到C,C,使使AM=CM,AM=CM,则则 A A与与C C关于坐标平面关于坐标平面xOyxOy对称且对称且C C的坐标为的坐标为(1,2,1).(1,2,1)

10、.过过A A作作ANxANx轴于轴于N N并并 延长到点延长到点B,B,使使AN=NB,AN=NB,则则A A与与B B关于关于x x轴对称且轴对称且B B的坐标为的坐标为(1,-2,1).(1,-2,1). 所以所以A(1,2,-1)A(1,2,-1)关于坐标平面关于坐标平面xOyxOy对称的点对称的点C C的坐标为的坐标为(1,2,1);(1,2,1); A(1,2,-1)A(1,2,-1)关于关于x x轴的对称点轴的对称点B B的坐标为的坐标为(1,-2,1).(1,-2,1). 答案答案: :(1)(1,2,1),(1,-2,1)(1)(1,2,1),(1,-2,1) (2)(2)已知

11、点已知点P(2,3,-1)P(2,3,-1)关于坐标平面关于坐标平面xOyxOy的对称点为的对称点为P P1 1, ,点点P P1 1关于坐标平关于坐标平 面面yOzyOz的对称点为的对称点为P P2 2, ,点点P P2 2关于关于z z轴的对称点为轴的对称点为P P3 3, ,则点则点P P3 3的坐标为的坐标为 . . 解析解析: :(2)(2)点点P(2,3,-1)P(2,3,-1)关于坐标平面关于坐标平面xOyxOy的对称点的对称点P P1 1的坐标为的坐标为(2,3,1),(2,3,1), 点点P P1 1关于坐标平面关于坐标平面yOzyOz的对称点的对称点P P2 2的坐标为的坐

12、标为(-2,3,1),(-2,3,1),点点P P2 2关于关于z z轴的对轴的对 称点称点P P3 3的坐标是的坐标是(2,-3,1).(2,-3,1). 答案答案: :(2)(2,-3,1)(2)(2,-3,1) 方法技巧方法技巧 (1)(1)求空间对称点的规律方法求空间对称点的规律方法 空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题空间的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题, ,要掌握对要掌握对 称点的变化规律称点的变化规律, ,才能准确求解才能准确求解. .对称点的问题常常采用对称点的问题常常采用“关于谁对关于谁对 称称, ,谁保持不变谁保持不变, ,其余坐标相反其余坐标相反”

13、这个结论这个结论. . (2)(2)空间直角坐标系中空间直角坐标系中, ,任一点任一点P(x,y,z)P(x,y,z)的几种特殊对称点的坐标的几种特殊对称点的坐标 如下如下: : 关于原点对称的点的坐标是关于原点对称的点的坐标是P P1 1(-x,-y,-z);(-x,-y,-z); 关于关于x x轴轴( (横轴横轴) )对称的点的坐标是对称的点的坐标是P P2 2(x,-y,-z);(x,-y,-z); 关于关于y y轴轴( (纵轴纵轴) )对称的点的坐标是对称的点的坐标是P P3 3(-x,y,-z);(-x,y,-z); 关于关于z z轴轴( (竖轴竖轴) )对称的点的坐标是对称的点的坐

14、标是P P4 4(-x,-y,z);(-x,-y,z); 关于关于xOyxOy坐标平面对称的点的坐标是坐标平面对称的点的坐标是P P5 5(x,y,-z);(x,y,-z); 关于关于yOzyOz坐标平面对称的点的坐标是坐标平面对称的点的坐标是P P6 6(-x,y,z);(-x,y,z); 关于关于xOzxOz坐标平面对称的点的坐标是坐标平面对称的点的坐标是P P7 7(x,-y,z).(x,-y,z). 即时训练即时训练2 2- -1:1:在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,点点P(-2,1,4).P(-2,1,4). (1)(1)求点求点P P关于关于x x轴的对称点的坐标轴的对称

15、点的坐标; ; (2)(2)求点求点P P关于关于xOyxOy平面的对称点的坐标平面的对称点的坐标; ; (3)(3)求点求点P P关于点关于点M(2,-1,-4)M(2,-1,-4)的对称点的坐标的对称点的坐标. . 解解: :(1)(1)由于点由于点P P关于关于x x轴对称后轴对称后, ,它在它在x x轴的分量不变轴的分量不变, ,在在y y轴、轴、z z轴的分轴的分 量变为原来的相反数量变为原来的相反数, ,所以对称点为所以对称点为P P1 1(-2,-1,-4).(-2,-1,-4). (2)(2)由于点由于点P P关于关于xOyxOy平面对称后平面对称后, ,它在它在x x轴、轴、

16、y y轴的分量不变轴的分量不变, ,在在z z轴的分轴的分 量变为原来的相反数量变为原来的相反数, ,所以对称点为所以对称点为P P2 2(-2,1,-4).(-2,1,-4). (3)(3)设对称点为设对称点为P P3 3(x,y,z),(x,y,z),则点则点M M为线段为线段PPPP3 3的中点的中点, ,由中点坐标公式由中点坐标公式, ,可可 得得x=2x=22-(-2)=6,2-(-2)=6, y=2y=2(-1)-1=-3,z=2(-1)-1=-3,z=2(-4)-4=-12,(-4)-4=-12, 所以所以P P3 3(6,-3,-12).(6,-3,-12). 题型三空间两点间

17、的距离题型三空间两点间的距离 例例33 如图如图, ,已知正方体已知正方体ABCDABCD- -ABCDABCD的棱长为的棱长为a,Ma,M为为BDBD的中点的中点, , 点点N N在在ACAC上上, ,且且|AN|=3|NC|,|AN|=3|NC|,试求试求|MN|MN|的长的长. . 方法技巧方法技巧 求空间两点间的距离时求空间两点间的距离时, ,一般使用空间两点间的距离公式一般使用空间两点间的距离公式, ,应用公式应用公式 的关键在于建立适当的坐标系的关键在于建立适当的坐标系, ,确定两点的坐标确定两点的坐标. .确定点的坐标的方确定点的坐标的方 法视具体题目而定法视具体题目而定, ,一

18、般说来一般说来, ,要转化到平面中求解要转化到平面中求解, ,有时也利用几何有时也利用几何 图形的特征图形的特征, ,结合平面直角坐标系的知识确定结合平面直角坐标系的知识确定. . 即时训练即时训练3 3- -1:1:如图所示如图所示, ,直三棱柱直三棱柱ABCABC- -A A1 1B B1 1C C1 1中中,|C,|C1 1C|=|CB|=|CA|=C|=|CB|=|CA|= 2,ACCB,D,E2,ACCB,D,E分别是棱分别是棱AB,BAB,B1 1C C1 1的中点的中点,F,F是是ACAC的中点的中点, ,求求DE,EFDE,EF的长度的长度. . 备用例备用例22 1.1.已知

19、点已知点M(3,2,1),N(1,0,5),M(3,2,1),N(1,0,5),求求: : (1)(1)线段线段MNMN的长度的长度; ; (2)(2)到到M,NM,N两点的距离相等的点两点的距离相等的点P(x,y,z)P(x,y,z)的坐标满足的条件的坐标满足的条件. . 2.2.如图所示如图所示, ,在长方体在长方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,|AB|=|AD|=3,|AA,|AB|=|AD|=3,|AA1 1|=2,|=2,点点M M在在A A1 1C C1 1 上上,|MC,|MC1 1|=2|A|=2|A1 1M|,NM|,N在在D D

20、1 1C C上且为上且为D D1 1C C中点中点, ,求求M,NM,N两点间的距离两点间的距离. . 课堂达标课堂达标 1.1.点点(2,0,3)(2,0,3)在空间直角坐标系中的在空间直角坐标系中的( ( ) ) (A)y(A)y轴上轴上(B)xOy(B)xOy面上面上(C)xOz(C)xOz面上面上(D)z(D)z轴上轴上 C C 解析解析: :因为该点的因为该点的y y坐标为坐标为0,0,根据坐标平面上点的特点可知该点在根据坐标平面上点的特点可知该点在xOzxOz 面上面上. . 2.2.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,点点P(3,4,5)P(3,4,5)与与Q(3,-4,-5)Q(3,-4,-5)两点的位置关系两点的位置关系 是是( ( ) ) (A)(A)关于关于x x轴对称轴对称 (B)(B)关于关于xOyxOy平面对称平面对称 (C)(C)关于坐标原点对称关于坐标原点对称(D)(D)以上都不对以上都不对 A A 解析解析: :点点P(3,4,5)P(3,4,5)与与Q(3,-4,-5)Q(3,-4,-5)两点的横坐标相同两点的横坐标相同, ,而纵、竖坐标互而纵、竖坐标互 为相反数为相反数, ,所以两点关于所以两点关于x x轴对称轴对称. .