不定方程及不定方程组

1、第二十七讲不定方程、方程组不定方程（组）就是指未知数的个数多于方程的个数的方程（组）,其特点就是解往往有无穷多个，不能惟一确定.对于不定方程（组）,我们往往限定只求整数解，甚至只求正整数解，加上条件限制后，解就可确定二元一次不定方程就是最简单的不定方程，一些复杂的不定方程（组）常常转化为二元一次不定方程问题加以解决，与之相关的性质有：设a、b、c、d为整数，则不定方程ax by c有如下两个重要命题:（1）若（a，b）=d，且d卜c，则不定方程ax byc没有整数解；x x0 bt,若X。，yo就是方程ax by c且（a，b）=1的一组整数解（称特解），则（t为整数）就是方程的y yo at

2、全部整数解（称通解）.解不定方程（组），没有现成的模式、固定的方法可循 ，需要依据方程（组）的特点进行恰当的变形，并灵活运 用以下知识与方法；奇数偶数，整数的整除性、分离整系数、因数分解。配方利用非负数性质、 穷举，乘法公式， 不等式分析等.举例【例1】 正整数m、n满足8m+9n=mn+6,则m的最大值为 .（新加坡数学竞赛题）思路点拔把m用含n的代数式表示，并分离其整数部分（简称分离整系数法）.再结合整除的知识，求出m的最大值.注:求整系数不定方程 ax by c的整数解。通常有以下几个步骤：（1）判断有无整数解;（2）求一个特解;（3）写出通解;（4）由整数t同时要满足的条件（不等式组）

3、,代入中的表 达式，写出不定方程的正整数解.分离整系数法解题的关键就是把其中一个未知数用另一个未知数的代数敷式表示，结合整除的知识讨论.【例2】 如图，在高速公路上从3千米处开始，每隔4千米设一个速度限制标志，而且从10千米处开始，每隔9千米设一个测速照相标志，则刚好在19千米处同时设置这两种标志.问下一个同时设置这两种标志的地点的千米数就是（）.p1思路点拨设置限速标志、照相标志千米数分别表示为A.32千米 B.37千米 C.55千米 D.90千米定方程3+4x=0+9y的正整数解.【例3】（1）求方程15x+52y=6的所有整数解.（2）求方程x+y = x2 一 xy+y2的整数解.（河

4、南省竞赛题）3+4x、10十9y（x,y为自然数），问题转化为求不（莫斯科数学奥林匹克试题）1115（3）求方程的正整数解.x y z 6（“希望杯”邀请赛试题）思路点拨对于（1）通过观察或辗转相除法，先求出特解.对于（2）易想到完全平方公式，从配方人手，对于（2）111易知x、y、z都大于1,不妨设lx w y 0）名旅客在候车室排队等候检票进站.检票开始后，仍有旅客继续前来排队检票进站，设旅客按固定的速度增加，检票口检票的速度也就是固定的，若开放一个检票口 ，则需30分钟才可将排队 等候检票的旅客全部检票完毕；若开放两个检票口 ，则只需10分钟便可将排队等候检票的旅客全部检票完毕如果要在5

5、分钟内将排队等侯检票的旅客全部检票完毕，以便后来到站的旅客能随到随检，至少要同时开放几个检票口 ？（广州市中考题）11. 下面就是同学们玩过的“锤子、剪子、布”的游戏规则：游戏在两位同学之间进行，用伸出手掌表示“布”两人同时口念“锤子、剪子、布”，一念到“布”时，同时出手，“布”赢“锤子”,“锤子”赢“剪子”，“剪子”赢“布”.现在我们约定：“布”赢“锤子”得 9分，“锤子”赢“剪子”得 5分，“剪子”赢“布” 得2分.（1）小明与某同学玩此游戏过程中，小明赢了 21次，得 108分,其中“剪子”赢“布” 7次.聪明的同学 请您用所学的数学知识求出小明“布”赢“锤子”、“锤子”赢“剪子”各多少

6、次？（2）如果小明与某同学玩了若干次，得了 30分,请您探究一下小明各种可能的赢法，并选择其中的三种赢法填 人下表.赢法，则22y+z的值为013.有理数x,y,z满足6 3y 2x 3y 2xy 2z14.1998年某人的年龄恰等于她出生的公元年数的数字之与，那么她的年龄就是 岁.15. 江堤边一洼地发生了管涌，江水不断地涌出，假定每分钟涌出的水量相等，如果用2台抽水机抽水,40分钟可抽完；如果用4台抽水机抽水,16分钟可抽完如果要在10分钟内抽完水，那么，至少需要抽水机 台16. 有甲、乙、丙3种商品，某人若购甲3件、乙7件、丙1件共需24元若购甲4件、乙10件、丙I件共需33元，则此人购

7、甲、乙、丙各1件共需 元17. 一个布袋中装有红、黄、蓝三种颜色的大小相同的小球，红球上标有数字1,黄球上标有数字2,蓝球上标有数字3,小明从布袋中摸出10个球,它们上面所标数字的与等于21,则小明摸出的球中红球的个数最多不超过个18. （1）求满足y4+2x4+仁4x2y的所有整数对（x,y）;（2）求出所有满足 5（xy+yz+zx） = 4xyz的正整数解.（新加坡奥林匹克试题）19. 兄弟二人养了一群羊，当每只羊的价钱（以元为单位）的数值恰等于这群羊的只数时，将这群羊全部卖出，兄 弟二人平分卖羊得来的钱：哥哥先取I0元，弟弟再取10元;这样依次反复进行，最后，哥哥先取10元，弟弟再取

8、不足10元，这时哥哥将自己的一顶草帽给了弟弟，兄弟二人所得的钱数相等.问这顶草帽值多少钱？20.某人家的电话号码就是八位数 的数与后五位数组成的数相加得（北京市竞赛题）14405,将前三位数组成，将前四位数组成的数与后四位数组成的数相加得 16970,求此人家的电话号码.（武汉市选拔赛试题）21.某布店的一页账簿上沾了墨水，如下表所示月日摘要数量（米）单价（元/米）金额（元）113全毛花呢XX49、36XXX7、28所卖呢料米数瞧不清楚了，但记得就是卖了整数米；金额项目只瞧到后面3个数码7.28,但前面的3个数码瞧不清楚了，请您帮助查清这笔账（上海市”金桥杯”数学知识应用竞赛试题 ）22.一支

9、科学考察队前往某条河流上的上游去考察一个生态区.她们出发后以每天17km的速度前进，沿河岸向上游行进若干天后到达目的地，然后在生态区考察了若干天，完成任务后以每天25km的速度返回，在出发后的第60 天,考察队行进了 24km后回到出发点 试问:科学考察队在生态区考察了多少天？（四川省竞赛题）参考答案2）不建方程、方建组【例題購器】洌17&握拒旳=* = 9卜= 9时皿豪大H为版丹吊Jf 0s C摆示汕=匚导=巧十】+宁为所眾料辭.解苗讴一峠2令也严卯n 別一蓟比简再jt-42- $盅(?+1 =氛由就博方Wh(21 ao*l.(2.(1亠即严扌今 点比甲厂4或5就“專却工$时tq*由比耶們时

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