高中数学人教A必修1第一章1.1.3集合的基本运算

1、1.1.3集合的基本运算1并集一般地，由所有属于集合A 或属于集合B的元素组成的集合，文字语言来源 :来称为集合 A 与 B 的并集，记作AU B( 读作“ A 并 B”)源 : 来源 :定义 来符号语言AU B x| xA，或 x B源:来源 :图形语言(1) AU A A，即一个集合与其本身的并集是其本身；(2) AU A，即一个集合与空集的并集是其本身；性质 (3)

2、AU B BU A，即集合的并集运算满足交换律；(4) A AU B， B AU B，即一个集合是其与任一集合并集的子集；(5) AU B B A B，即一个集合与其子集的并集是其自身谈重点对并集的理解(1) 并集概念中的“或”指的是只要满足其中一个条件即可，这与生活用语中的“或”是有区别的生活用语中的“或”一般指或此或彼，必居其一， 二者不可兼有，而并集中的“或”是可兼有的且 x(2) “ xA，或 xB”包含三种情况：“ xA，但B” Venn 图如图所示：xB”； “xB，但xA”；“ xA，(3) 若集合 A 和 B 中有公共元素， 根据集合元素的互异性， 则在 AU B 中仅出现一次

3、 如A 0,1 ，B 1,0，则 AU B 1,0,1，不能写成 1,0,0,1【例 1 1】设集合 4,5,6,8， 3,5,7,8，那么MU N等于 ()MNA 3,4,5,6,7,8B5,8C 3,5,7,8DU 4,5,6,8N 3,4,5,6,7,8解析： 由并集的定义知， M答案： A辨误区求并集应注意的问题注意应用集合元素的互异性，重复的元素只能出现一次，防止出现AU B 3,4,5,5,6,7,8,8这样的错误【例 1 2】若集合 | 1 ， | 2 2 ，则U等于 ()Ax xBxxABA x| x 2B x| x 1C x| 2 x 1D x| 1 x 2解析： 画出数轴如

4、图所示，故AU B x| x 2 答案： A点技巧数轴的应用用数轴来表示不等式的解集较为直观，有助于准确、迅速地解题2交集文字语言一般地，由属于 A 且属于 B 的所有元素组成的集合，称为 A定义与 B的交集，记作 AIB ( 读作“ A 交 B”)符号语言AI B x| x A，且 xB图形语言(1)AI ，； (2)AI；A A AIB BIA性质(3)AIB A， AIBB； (4) AI B AA B；(5)(I)II(I) ；ABC ABC(6)(IB)( AUB)A释疑点对交集的理解(1) 概念中“且”即“同时”的意思，两个集合交集中的元素必须同时是两个集合的元素(2) 概念中的“

5、所有”两字不能省，否则将会漏掉一些元素，一定要将相同元素全部找出如 A 1,2,3,4 ， B 2,3,4,5 ，则 AI B 2,3,4 ，而不是 AI B2,3 ， 2,4 或 3,4 (3) 当集合 A 和集合 B 无公共元素时，不能说集合 A，B 没有交集，而是 AI B (4) 定义中“ xA，且 xB”与“ x( AI B) ”是等价的， 即由既属于 A，又属于 B 的元素组成的集合为AI而只属于集合A或只属于集合B的元素，不属于BIAI B【例 2 1】已知集合A0,2,4,6， B 2,4,8,16B 等于 ()，则 AA 2B 4C 0,2,4,6,8,16D 2,4解析：

6、观察集合， ，可得集合，B的全部公共元素是 2,4，所以AI 2,4 ABAB答案： DAI B【例 2 2】设集合 | 1 2 ， x|0 4 ，则等于 ()AxxBxA x|0 x2B x|1 x2C x|0 x4D x|1 x4解析： 在数轴上表示出集合 A与 B，如下图则由交集的定义可得AI B x|0 x2 答案： A3补集与全集(1) 全集一般地， 如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U谈重点对全集的理解“全集”是一个相对的概念，并不是固定不变的，它是依据具体的问题来加以选择的例如：我们常把实数集R 看作全集， 而当我们在整数范围内研究问题时

7、，就把整数集Z 看作全集(2) 补集对于一个集合，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集文字语言A合称为集合 A 相对全集 U的补集，简称为集合 A 的补集，记作 UA符号语言A x| x U，且 x AU定义图形语言(1)AU；U性质 (2)UU， U U；(3)U( UA) A；(4) AU ( UA) U； AI ( UA) 谈重点对补集的理解(1) 补集既是集合之间的一种关系，同时也是集合之间的一种运算 求集合 A 的补集的前提是A 是全集 U的子集， 随着所选全集的不同， 得到的补集也是不同的，因此，它们是互相依存、不可分割的两个概念(2) UA 包含三层意思： AU； UA 是一

8、个集合，且UAU； UA 是由 U 中所有不属于 A 的元素构成的集合(3) 若 xU，则 x A 或 xUA，二者必居其一，则 A 等于 (【例 3 1】已知全集U1,3,5,7， A 5,7)UA 6B 5,7C 1,3,5,7D 1,3解析： 全集 U中除去集合 A中元素剩下的元素是1,3 ，则 UA 1,3答案： D【例 3 2】已知全集UR，集合 A x|1 2x 19，求 UA错解： 由题意，得 A x|0 x 4，因此 UA x| x 0， x 4错因 分析： (1)求集合 A 的补集时，端点的取舍出现错误；(2) x 0与 x 4 之间应该用“或”连接，因为没有“或”连接就表示

9、“x 0 且 x4”的意思正解： 由题意，得 A x|0 x 4，因此 UA x| x 0，或 x4辨误区求不等式表示的集合的补集易疏忽两点一是要注意不等式在端点处是否带等号，二是要注意两个不等式之间到底用“或”还是用“且”连接4集合的运算(1) 集合的基本运算对于用列举法表示的集合，可以根据交集、并集、补集的定义，利用观察法或借助Venn 图直接写出集合的运算结果这里要注意集合元素的特征，做到不重不漏当集合 A，B 都有无穷多个元素时，A，B 的元素无法一一列举，此时求并集、交集就需借助于数轴，将问题直观化、形象化，便于理解但是应当注意端点值的取舍，我们可以把端点值代入题目中进行验证用描述法

10、给出的集合，先明确集合中元素的一般符号及其共同特征，然后在确定了集合中元素的前提下，再着手进行集合的运算否则，就会无从下手或出现错误例如，集合 x|2x2 4 ，集合y|y2 3y0 ，往往错认为集合A中的元素是x，而集合B中ABAI B的元素是 y，则集合 A 和 B 没有公共元素，所以出错的原因是没有准确把握集合，中元素的一般符号的意义：仅仅代表该集合中的元素，也可以换成其他符号就像A BA 是不等式 2x人的名字一样，仅仅表示这个人，也可以换成其他名字来代替其实，集合2 4 的解集，则集合 |x 1 ，集合B是方程23y 0的解 集，则有 0,3，AxyB所以有 |x 1I0,3 3AI

11、 Bx(2) 集合的混合运算A)IB 时，先求出A，再解决集合的混合运算时，一般先运算括号内的部分，如求(U求交集；求 ( AU B) 时，先求出 AU B，再求补集UU注意以下规律：(1) U( AIB) (UA) U (UB) ，如图 a；U( AU B) (UA) I(UB) ，如图 b(2) AI ( BI C) ( AI B) I C AU ( BU C) ( AU B) U C AI ( BU C) ( AI B) U ( AI C) AU ( BI C) ( AU B) I ( AU C) 【例4 1】已知全集U 1,2,3,4,5,6,7,8，集合A 3,4,5，B 4,7,8

12、，求：AIB，AU B， (UA)I(UB) ， AI(UB) ， (UA)U B分析：解法一： AIBUB 3,4,5,7,84 ， A A 1,2,6,7,8，B 1,2,3,5,6，UU( UA) I(UB) 1,2,6， AI ( UB) 3,5，(UA) U B 1,2,4,6,7,8解法二：AI，AI( U ) 求法同解法一BAU BB(UA) I (UB) U( AU B) 1,2,6，(A) U B ( AI(B) 1,2,4,6,7,8UUU解法三：画出Venn 图，如图所示，可得AIB 4 ， AU B 3,4,5,7,8，( A) I( B) 1,2,6，UUAI( U

13、) 3,5 ， (U ) 1,2,4,6,7,8BAU B【例 4 2】已知全集R，集合A3x0,， |3 2 1 ，Ux60Bmm3x求： (1) AI B， AU B；(2)U( AIB) 分析： (1) 集合A是不等式组3x0, 的解集，集合B是不等式3 2 1 的解集，3x60m先确定集合 A 和 B 的元素，再根据交集和并集的定义， 借助于数轴写出；(2) 利用 (1) 的结论，根据补集的定义写出解： (1) A3 x 0, x| 2 x 3 ，x3x60B m|3 2m 1 m| m 2 用数轴表示集合A， B，如图IUB x| x 3 A B x| 2x 2 ， AIB x| 2

14、x 2 ，如图所示(2) 由 (1) 知 A因此U( AIB) x| x2，或 x 2 【例 4 3】已知集合A x| x 2 3 ， B x|2 x 3 3x a ，求 AU B解： A x| x 5 ，B x| x a 3 (1) 当 a35，即 a8时，如图所示，AU B x| x a 3，或 x5 (2)当a ，即 a8时，如图所示，AUBxxR35|点技巧求不等式解集的并集的方法(1)用数轴表示不等式的解集(2) 若不等式解集端点含有参数，需根据端点大小进行讨论(3) 取解集的所有部分形成并集5利用集合运算的结果求参数的值(1) 对于已知两个有限集 ( 元素个数有限 ) 的运算结果求

15、参数值的问题，一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列出方程 ( 组 ) 求解在处理有关含参数的集合问题时，要注意对求得的结果进行检验，以避免违背集合中元素的有关特性，尤其是互异性(2) 对于已知不等式表示的集合的运算结果求参数值的问题，要结合数轴，通过观察尝试找出不等式集合的端点所处的位置，然后列出不等式( 组 ) ，进而求得参数的值或范围(3) 要准确理解和应用集合运算的结果这些运算结果实质上是给出了集合间的关系或元素与集合间的关系一般地，有：若 AU B A，则 B A；若 AI B B，则 B A；若 UAB，则 A UB；若 AU B C，则 A C， B C，也就是说：若

16、x C，则 x A 或 x B；若 AI B D，则 D A，且 D B，也就是说：若x D，则 xA，且 x B例如：集合 A x| 1x 1 ， B x| x a (1)若 AIB，求 a 的取值范围；(2)若 |x 1 ，求a的取值范围AU Bx解： (1) 如图所示， A x| 1 x 1 ， B x| x a ， AIB ，数轴上点 a 在 1 的左侧 ( 含点 1) a 1(2) 如图所示， A x| 1 x 1 ， B x| x a ， AU B x| x 1 ，数轴上点 a 在 1 和 1 之间 ( 含点 1，但不含点 1) 1 a1【例 51】设全集 U 2,3， a2 2a

17、3 ，集合 A |2a 1|,2， UA 5，求实数 a的值分析： 本题是考查补集的有关问题，解题的关键是利用UA5这一条件UA 5 包含了三层含义：即 5 U, 5A，且 AU解： U 5 ，5U,5，且AAAU 2 2 3 5，解得a2 或a 4aa当 a 2 时， |2 a 1| 35；当 a 4 时， |2 a 1| 95，但是9U故 a 的值为 2辨误区求解含参数的集合问题应注意检验在求出参数的值后一定要注意检验， 例如本题，当 a 4 时， A 9,2,9不是全集 U中的元素，而实际上集合A 中的所有元素都应该属于全集 U，故 a 4 不适合题意，应舍去【例 5 2】设集合 A x

18、| x2 4x ，B x| x22( a 1) x a2 1 0 (1) 若 AI B B，求 a 的取值范围；(2) 若 AU B B，求 a 的值分析： 可以利用条件“ AIB BB A”及“ AU B BAB”求解解： (1) A x| x24x 0,4，又 AI B B， BA若 B，则 4( a 1) 2 4( a2 1) 0，解得 a1因此当 a 1 时， BA若 0B，则 0 为方程 x2 2( a 1) x a2 1 0 的一个根即a2 1 0，解得 1当a 1 时， |x2 0 0；当 1时， | 2aB xAaBx x 4x 0 A若 4 B，则 4 为方程 x2 2( a

19、 1) xa2 1 0 的一个根，即 a28a 7 0，解得 a 1 或 a 7由知当 a 1 时 A B 符合题意，当 a 7 时， B x| x2 16x 480 4,12A综上可知： a1，或 a 1(2) AU B B， A B又 A 0,4 ，而 B 中最多有 2 个元素， A B，即 0,4 为方程 x22( a 1) x a2 1 0 的两个根2(a1)4,0,解得 a 1a2 1【例 5 3】已知集合 P x| 2 x5 ，Q x| k1 x2k 1 ，求当 PIQ时，实数 k 的取值范围错解： PI Q ， k1 5 或2k 1 2，即 k4 或 k112故实数 k 的取值范

20、围是 k 4 或 k错因 分析： 错误有二处： (1) PI2Q，集合 Q可能是；(2) 如果 Q不是，则需满足 k12k 1 这一隐含条件正解： (1) 当Q是时，有k 12 1，即k 2，符合题意；k(2) 当 Q不是时，则有k12k 1,或k1 2k 1,解之得 k 4k15,2k1 2,综上，实数 k 的取值范围是k 2 或 k 4辨误区求解有关集合的空集问题应注意两点(1) 若两集 合的交集为空集，应注意这两个集合是否存在空集的情况；(2) 若集合是不等式表示的，并且不等式的端点含有参数，应注意参数的隐含条件6存在性问题求解存在性问题是今后我们会经常遇到的一种题型，它的一般求解方法是

21、： 先假设存在，然后根据题设条件进行求解，若求解中出现矛盾式子或无解，则不存在；若有解，并检验，若满足所有条件 ( 包括隐含条件 ) ，则称其为存在要注意检验，这是极易忽视的地方_ _【例 6】已知集合A x| x2 ax a2 190 ，B x| x25x 60 ，是否存在 a 使 A，B同时满足下列三个条件：(1)A B；(2) AU B B；(3)( AI B) 若存在，求出 a 的值；若不存在，请说明理由解： 假设存在 a 使得 A， B 满足条件，由题已知得B 2,3 AU BB， A B，即 A B或 A B由条件 (1) ，可知AABB又( AIB) ， A，即 A 2 或 3

22、当 A2 时，代入得 a22a 15 0，即 a 3 或 a 5经检验： a 3 时， A2 ， 5 ，与 A2 矛盾，舍去；a 5 时， A 2,3 ，与 A 2 矛盾，舍去当 A3 时，代入得 a23a 10 0即 a 5 或 a 2经检验： a 2 时， A3 ， 5 ，与 A3 矛盾，舍去；a 5 时， A 2,3 ，与 A 3 矛盾，舍去综上所述，不存在实数 a 使得 A， B满足条件7 Venn 图的应用(1) 借助于 Venn 图分析集合的运算问题，可以使问题简捷地获得解决利用Venn 图将本来抽象的集合问题直观形象地表现出来，体现了数形结合思想的优越性在使用 Venn 图时，可

23、将全集分成四部分，如图所示，这四部分的含义如下： AI ( UB) ；： AI B；： ( UA) I B；： ( UA) I (UB)(或 U( AU B) (2) 比较集合运算的三种语言形式可以看出， Venn 图可以把一些不明确的数量关系直观地表示出来，从而达到化繁为简、化抽象为直观的目的利用 Venn 图解决生活中的问题时，先把生活中的问题转化成集合问题，借助于Venn图的直观性把它表示出来，再根据集合中元素的互异性求出问题的解【例 7 1】已知全集 U x| x 是不大于 30 的质数 ，A，B是 U的两个子集， 且满足 AI( UB)5,13,23 ， BI ( UA) 11,19

24、,29， (UA) I ( UB) 3,7，求集合 A， B解： U 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29，A) I (B) 3,7又 A I ( B) 5,13,23 ， BI (A) 11,19,29 ， (，UUUU用 Venn 图表示如图所示，由图易知元素 2,17应在集合 AI B 中故 A2,5,13,17,23，B 2,11,17,19,29 【例 7 2】某班举行数理化竞赛，每人至少参加一科，已知参加数学竞赛的有27 人，参加物理竞赛的有 25 人，参加化学竞赛的有27 人，其中参加数学、物理两科的有10 人，参加物理、化学两科的有7 人，参加数学、化学两科的有1

25、1 人，而参加数、理、化三科的有 4人，求全班人数解：设参加数学、物理、化学三科竞赛的同学组成的集合分别为A， B，C，由题意可知集合， ，中的元素个数分别为 27,25,27，集合AI，C中的元素A B CB BI C AIC AI BI个数分别为10,7,11,4画出 Venn 图如图所示，由图可知全班人数为 1013 126 4 7 3 55( 人 ) 析规律有限集中元素的个数的求法我们把含有有限个元素的集合叫做有限集，用card 来表示有限集的元素个数，即card() 表示有限集A的元素个数，则有： card()AAU B card( A) card( B) card( AI B) ；

26、card() card() card() card() card(A I) card(A I) A U B U CABCBCcard( BIC) card( AIBI C) 8补集思想的应用对于一些比较复杂、 比较抽象、 条件和结论之间关系不明朗、 难于从正面入手的数学问题，在解题时，调整思路，从问题的反面入手，探求已知和未知的关系，这时能起到化难为易、化隐为显的作用，从而将问题解决 这就是“正难则反”的解题策略， 也是处理问题的间接化原则的体现这种“正难则反”策略运用的是补集思想， 即已知全集 U，求子集 A，若直接求 A 困难，可先求 UA，再由 U( UA) A求 A补集作为一种思想方法

27、， 为我们研究问题开辟了新思路， 今后要有意识地去体会并运用，在正向思维受阻时， 改用逆向思维， 可能“柳暗花明” 从这个意义上讲补集思想具有转换研究对象的功能，这是转化思想的又一体现【例 8】已知集合A x|2 m 1 x 3m 2 ，B x| x 2，或 x5 ，是否存在实数m，使 AI B？若存在，求实数m的取值范围；若不存在，请说明理由解： 若 AI B ，分 A和 A讨论：3，此时 AI(1) 若 A，则 2m13m 2，解得 mB (2) 若 ，要使AI，则应有AB2m13m2,m3,1 , 所以 11 m 12m 12,即 mm 1. 所以3m25,222m 1,综上，当 AIB时， m 3 或1 m 1；21当