高三数学一轮复习基础知识归纳

1、高三数学一轮复习：基础知识归纳第一部分集合1. 理解集合中元素的意义 是解决集合问题的关键：元素是函数关系中自变量的取值？还是因变量的取值？还是曲线上的点？2. 数形结合 是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能地借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具， 将抽象的代数问题具体化、 形象化、 直观化， 然后利用数形结合的思想方法解决3. (1) 元素与集合的关系： xAx CU A , x CU Ax A .（ 2）德摩根公式： CU ( A IB)CU A U CU B;CU (A U B)CU A I CU B .（ 3）A I BAA U BBABCUBCUAA ICU BCUA U BR注意：

2、讨论的时候不要遗忘了A的情况 .（ 4）集合 a1 , a2 ,L, an 的子集个数共有2n个；真子集有2n 1 个；非空子集有2n 1 个；非空真子集有2n 2 个.4是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.第二部分函数与导数1映射： 注意 :第一个集合中的元素必须有象；一对一或多对一.2函数值域的求法：分析法；配方法；判别式法；利用函数单调性；换元法；利用均值不等式aba2b2（斜率、距离、ab； 利用数形结合或几何意义22绝对值的意义等） ；利用函数有界性（a x 、 sin x 、 cos x 等）；平方法； 导数法3复合函数的有关问题:（ 1）复合函数定义域求法： 若 f(x)

3、的定义域为 a， b , 则复合函数 fg(x) 的定义域由不等式 a g(x)b 解出 若 fg(x) 的定义域为 a,b,求 f(x)的定义域，相当于 xa,b 时，求 g(x)的值域 .（ 2）复合函数单调性的判定：首先将原函数yf g( x) 分解为基本函数：内函数ug( x) 与外函数 yf (u)分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性根据“同性则增，异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性 . 4分段函数： 值域（最值） 、单调性、图象等问题，先分段解决，再下结论。5函数的奇偶性:函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 f ( x) 是奇函数f (x)f ( x)

4、； f (x) 是偶函数f (x)f (x) .奇函数f (x) 在 0 处有定义，则f (0)0在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性若所给函数的解析式较为复杂，应先等价变形，再判断其奇偶性6函数的单调性:单调性的定义： f ( x) 在区间 f ( x) 在区间MM上是增函数x1 , x2M , 当 x1x2时有 f ( x1 )f ( x2 ) ；上是减函数x1 , x2M , 当 x1x2时有 f ( x1 )f ( x2 ) ；单调性的判定：定义法：一般要将式子f (x1 )f (x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式，以利于判断符号；导数法（见导数部

5、分） ；复合函数法；图像法注：证明单调性主要用定义法和导数法。7函数的周期性：(1) 周期性的定义：对定义域内的任意x ，若有 f ( xT ) f ( x)（其中 T 为非零常数），则称函数 f ( x) 为周期函数， T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的最小正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。（ 2）三角函数的周期：y sin x : T2； ycos x : T2； y tan x : T； yAsin(x), yA cos( x) : T2；| ytanx : T|(3) 与周期有关的结论：f (x a) f ( xa) 或 f ( x2a)f ( x)( a

6、 0)f ( x) 的周期为 2a8基本初等函数的图像与性质： . 指数函数： y a x (a0, a1) ；对数函数 : ylog a x(a0,a1) ；幂函数： yx （R) ；正弦函数 : ysin x ；余弦函数：(6) 正切函数：ycos x ；ytan x ；一元二次函数：ax2bxc0 （ a0）；其它常用函数： 正比例函数： ykx(k0) ；反比例函数： yk (k 0) ；函数y xa ( a 0)mmxxnm1 . 分数指数幂：a nan（以上 a0, m, nN，且 n1 ） .； ama n . abNlog aNb ； log a MNlog a Mlog aN

7、 ； log aMlog aMlog aN ； log am bnn log a b .Nm . 对数的换底公式 : log a Nlog m N . 对数恒等式 :alog a NN .log m a9二次函数：解析式：一般式：顶点式：f ( x)ax 2bxc ；f ( x)a( xh) 2k ， (h,k ) 为顶点；零点式：f ( x)a( xx1 )(xx2 ) （ a 0）.二次函数问题解决需考虑的因素：开口方向；对称轴；端点值；与坐标轴交点；判别式；两根符号。二次函数 y ax2bx c 的图象的对称轴方程是bb4acb2x，顶点坐标是，。2a2a4a10函数图象：图象作法：描点

8、法（特别注意三角函数的五点作图）图象变换法导数法图象变换：平移变换： )yf ( x)yf ( xa) ， ( a0) 左“ +”右“”； )yf (x)yf ( x)k, (k0) 上“ +”下“”；对称变换： )yf ( x)(0, 0)yf ( x)； ) yy0yf (x) ；f ( x) )yf ( x)x 0yf ( x) ； ) yf ( x)y xxf ( y) ；翻折变换： ) y f (x)yf (| x |) （去左翻右） y 轴右不动，右向左翻（f ( x) 在 y 左侧图象去掉）； ) yf (x)y| f ( x) | （留上翻下）x 轴上不动，下向上翻（| f (

9、 x) | 在 x 下面无图象）；11函数图象（曲线）对称性的证明：(1) 证明函数 y f (x) 图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点仍在图像上；（ 2）证明函数yf ( x) 与 yg( x) 图象的对称性，即证明yf ( x) 图象上任意点关于对称中心（对称轴）的对称点在yg( x) 的图象上，反之亦然。注：曲线 C1:f(x,y)=0关于原点（0,0 ）的对称曲线C2 方程为： f( x, y)=0;曲线 C :f(x,y)=0关于直线 x=0 的对称曲线 C 方程为： f( x, y)=0;12曲线 C1:f(x,y)=0关于直线 y=0 的对称曲线 C2

10、 方程为： f(x,y)=0;曲线 C :f(x,y)=0关于直线 y=x 的对称曲线 C 方程为： f(y, x)=012f(a+x)=f(b x)（xR）y=f(x)图像关于直线 x= ab 对称；2特别地： f(a+x)=f(a x) （xR）y=f(x)图像关于直线 x=a 对称 . y f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称f axf ax2b .特别地： yf ( x) 的图象关于点 (a,0) 对称faxf a x .函数 yf (xa) 与函数 yf (ax) 的图象关于直线xa 对称 ;函数 yf (ax) 与函数 yf ( ax) 的图象关于直线x0 对称。12函

11、数零点的求法：直接法（求f ( x)0 的根）；图象法；二分法.(4) 零点定理：若y=f(x)在a,b上满足 f(a) f(b)07圆的方程的求法：待定系数法；几何法。8点、直线与圆的位置关系： （主要掌握几何法）点与圆的位置关系： （ d 表示点到圆心的距离） d R 点在圆上； d R 点在圆内； d R 点在圆外。直线与圆的位置关系： （ d 表示圆心到直线的距离） d R 相切； d R 相交； d R 相离。圆与圆的位置关系： （ d 表示圆心距，R, r 表示两圆半径，且Rr ） d R r d R r相离；内切；dRr外切； RrdRr相交；0dRr内含。9直线与圆相交所得弦长

12、 | AB | 2 r 2d 2第六部分圆锥曲线1定义： 椭圆： | MF1 | MF 2 |2a, (2a| F1F2 |) ；双曲线： | MF1 | MF 2 |2a, (2a| F1 F2 |) ；抛物线： |MF|=d2结论 ：直线与圆锥曲线相交的弦长公式: 若弦端点为 A ( x1 , y1 ), B(x2 , y2 ) ,则 AB( x1x2 )2( y1y2 )2ABx1x21 k2或 ABy1 y2 11, 或,k2 .注：抛物线：AB x1+x2+p；通径（最短弦） ：）椭圆、双曲线：2b2；）抛物线： 2p.a过两点的椭圆、双曲线标准方程可设为：mx2ny 21（ m,

13、n 同时大于 0 时表示椭圆； mn 0时表示双曲线） ；当点 P 与椭圆短轴顶点重合时F1 PF2最大；双曲线中的结论：2222双曲线 x2y 2 1（a0,b0 ）的渐近线：x2y20 ；abab共渐进线 ybx 的双曲线标准方程可设为x 2y 2(为参数， 0 ）；aa 2b 2双曲线为等轴双曲线e2渐近线互相垂直；焦点三角形问题求解：利用圆锥曲线定义和余弦定理联立求解。3直线与圆锥曲线问题解法：直接法（通法） ：联立直线与圆锥曲线方程，构造一元二次方程求解。注意以下问题：联立的关于“ x ”还是关于“y ”的一元二次方程？直线斜率不存在时考虑了吗？判别式验证了吗？设而不求（点差法- 代

14、点作差法）： -处理弦中点问题步骤如下：设点A(x 1， y1) 、B(x 2,y 2) ；作差得y1y2；解决问题。k ABx2x14求轨迹的常用方法：（1）定义法：利用圆锥曲线的定义；（ 2）直接法（列等式）；（ 3）代入法（又称相关点法或坐标转移法） ；（ 4）待定系数法；（ 5）消参法；（ 6）交轨法；（ 7）几何法。第七部分平面向量1.平面上两点间的距离公式: dA ,B(x2x1 )2( y2y1 )2，其中 A( x1 , y1 ) ， B( x2 , y2 ) .2.向量的平行与垂直：设 a = ( x1, y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ，且 b0 ，则： a

15、bb = ax 1 y2x2 y10 ； a b ( a 0 )a b =0x1 x2y1 y20 .3. ab=| a|b|cos=x 1 x2+y1y2；注：|a|cos叫做 a 在 b 方向上的投影；| b|cos叫做 b 在 a 方向上的投影； ab的几何意义：ab等于 | a| 与 | b| 在 a 方向上的投影 | b|cos的乘积。a b4. cos=；| a | b |5. 三点共线的充要条件： P， A， B 三点共线uuuruuuruuury1。OP xOAyOB且 x第八部分数列1定义：(1)等差数列 anan1and (d为常数 , n N ）anan 1d ( n2)

16、2anan 1an 1 (n 2, n N*)ankn bSnAn2Bn等比数列 an an1q(q0)an2an -1an1 (n2, nN)an2等差、等比数列性质：等差数列等比数列通项公式ana1(n1)dan a1q n11.q时，Snna1;n(a1an )n(n1)1前 n 项和Snna1d2.q时，Sna1 (1 qn)2211qa1an q1q性质nm m)d,nmn-ma=a + (na=a q;m+n=p+q时 am+an=ap+aqm+n=p+q 时 aman=apaq Sk , S2kSk , S3kS2k , 成 AP Sk , S2 kSk , S3 kS2 k ,

17、 成 GP ak , ak m , ak 2 m ,成 AP, dmd ak , akm , ak2m ,成 GP, qq m3常见数列通项的求法：定义法（利用AP,GP的定义）；累加法（ an1ancn 型）；公式法：S1(n=1)an =Sn Sn-1(n 2)累乘法（ an1cn型）；待定系数法 （ an 1kanb 型）转化为an 1(an)anx kx（ 6）间接法（例如：an 1an4an an 1114 ）；（7）（理科） 数学归纳法。anan 14前 n 项和的求法：分组求和法；错位相减法；裂项法。5等差数列前n 项和最值的求法：an0an0；利用二次函数的图象与性质。 Sn

18、最大值或 Sn最小值anan 1010第九部分不等式1均值不等式：aba ba 2b2(a,b0)22注意：一正二定三相等；变形：abab2a 2b2( ,)。()2a bR22极值定理： 已知 x, y 都是正数，则有：(1) 如果积 xy 是定值 p ，那么当 xy 时和 xy 有最小值2p ；(2) 如果和 xy 是定值 s ，那么当 xy 时积 xy 有最大值 1 s2.43. 解一元二次不等式ax2bx c0(或 0) : 若 a0, 则对于解集不是全集或空集时, 对应的解集为“大两边，小中间” .如 : 当 x1 x2 ,x x1 x x20x1x x2 ；x x1 x x20x

19、x2 或 x x1 .4. 含有绝对值的不等式：当 a 0时，有：xax2a2axa ； x a22x a 或 xa .xa5. 分式不等式：（ 1） f x0f x g x0 ；（ 2） f x0f xg x0 ；g xg x（ 3） f xf xg x0； （ 4） f xf xg x00000.g xg xg xg x6. 指数不等式与对数不等式f (x)0(1)当 a1时 ,a f (x )a g ( x)f (x) g ( x) ； log a f ( x) log a g( x)g( x)0.f (x)g (x)f ( x)0(2)当 0a1时 , a f ( x)a g( x)f

20、 ( x) g( x) ；log a f ( x) log a g( x)g( x)0f ( x)g( x)7不等式的性质： a b b a ； a b, bca c ； abac bc ； ab,cdacbd ；ab, c0acbd；b, c0acbc；b 0, cd0 ac bd;aa a b0a nb n0(n N ) ; a b 0n an b (n N )第十部分复数1概念：z=a+bi Rb=0 (a,b R)z= zz 2 0；z=a+bi 是虚数b 0(a,b R)；z=a+bi是纯虚数a=0 且 b 0(a,b R)z z 0（z 0）z20；a+bi=c+dia=c 且 c=d(a,b,c,dR)；2复数的代数形式及其运算：设 z = a + b