以圆为背景的相似三角形的计算与证明

1、以圆为背景的相似三角形的计算与证明【经典母题】如图Z13 1, DB为半圆的直径，A为BD延长线上的一点，AC切半圆于点E, BC丄AC于点C,交半圆于点F.已知AC= 12, BC = 9,求AO的长.图Z13 1经典母题答图解：如答图，连结0E,设。O的半径是R,则0E = 0B= R.在RtACB中，由勾股定理，得AB AC2+ BC2= 15.VAC切半圆O于点E,.QE丄AC,zOEA= 904 C,QE/BC,/AECMzACB,QE_AO .R_匕解得 45BC AB，.9 15 ，解得 R_ 8，75 AO = AB OB = 15 R= 8.【思想方法】利用圆的切线垂直于过切

2、点的半径构造直角三角形，从而得到相似三角形，利用比例线段求 AO的长.【中考变形】13图 Z13 21.如图 Z13 2,在 Rt ACB 中,/ ACB 90 , O 是AC边上的一点,以 O为圆心,OC为半径的圆与 AB 相切于点D,连结OD.(1)求证： ADOA ACB;若O O的半径为1,求证：AC AD BC.证明：(1)VAB是O O的切线，.OD丄AB , zaDOs/acb；由知，adosZacb；ac=丽,ADBC = AC OD , vOD = 1 ,：AC = AD B C.2. 2017德州如图Z13 3,已知RtA ABC,/ C = 90, D为BC的中点，以AC

3、为直径的。O交AB于点E.(1) 求证：DE是。O的切线；(2) 若 AE : EB= 1 : 2, BC = 6,求 AE 的长.图Z13 3中考变形2答图解：(1)证明：如答图，连结 OE, EC,VAC是。O的直径，/zAEC= / BEC= 90,V 为 BC 的中点，ED = DC = BD ,二/ = / 2,OE = OC，/3=/ 4, /+/3=/ 2+ / 4,即/OED=/ ACB,v/ACB= 90,：OED= 90,.DE 是OO 的切线；(2)由(1)知/ BEC= 90,v在Rt3EC 与 RtBCA 中，/B= / B,ZBEC= / BCA,BE BC/.zb

4、eczbca,bc= Ba，BC2= BE BA,VAE : EB= 1 : 2,设 AE= x,贝U BE = 2x, BA= 3x,VBC = 6,a62= 2x 3x,解得 x = 6,即 AE= 6.3. 如图Z13 4,已知AB是O O的直径，BC丄AB,连结OC,弦AD / OC,直 线CD交BA的延长线于点E.(1) 求证：直线CD是O O的切线；(2) 若 DE = 2BC,求 AD : OC 的值.图 Z13 4中考变形3答图解：(1)证明：如答图，连结DO.AD /OC,/DAO =/ COB,ZADO =/ COD.OA= OD , a/DAO =/ADO, zCOD =

5、 / COB.又TCO= CO, OD = OB,azCODOB(SAS), zCDO = / CBO = 90, 即OD 丄CD.又点D在。O上，直线CD是。O的切线；由知，CODNOB, ACD = CB.DE = 2BC,：DE= 2CD.V AD / OC, zEDAsZECO,AD _ DE _ DE _ 2OC_ CE_ DE + CD_34. 2016广东如图Z13 5,0O是厶ABC的外接圆，BC是O O的直径，/ ABC _ 30 .过点B作。O的切线BD,与CA的延长线交于点D ,与半径AO的延 长线交于点E.过点A作。O的切线AF，与直径BC的延长线交于点F.求证： AC

6、FsZ DAE;若Szaoc二匸3,求DE的长；(3)连结EF，求证：EF是。O的切线.图Z13 5中考变形4答图解：(1)证明： BC为O O的直径，a/BAC_ 90,又/ ABC_ 30o,a/CB_ 60,又 OA_ OC, zOAC为等边三角形，即/ OAC_/ AOC_ 60,AF 为OO 的切线，/OAF_ 90.zCAF=/ AFC= 30,DE 为 O O 的切线，./DBC =/ OBE = 90,zD =/DEA = 30,.H=Z CAF,ZDEA=Z AFC,zACFs/DAE;AOC为等边三角形， Smoc = OA2=今，OA= 1, BC = 2, OB= 1,

7、又I/ D =Z BEO = 30,/BD = 2 3, BE= ,3,ADE = 3 3;(3)证明：如答图，过点 O作OM丄EF于点M ,OA= OB,ZOAF=/ OBE = 90,启OE=Z AOF, )afbzbe(sas,；oe= OF, zEOF= 120,.0EM = / OFM = 30, zOEB= / OEM = 30, 即OE 平分/ BEF,又/ OBE= / OME = 90,OM = OB,aEF 为OO 的切线.5. 2017株洲如图Z13-6, AB为O O的一条弦，点 C为劣弧AB的中点，E 为优弧AB上一点，点F在AE的延长线上，且 BE= EF，线段CE

8、交弦AB 于点D.求证：CE/ BF;(2)若 BD = 2,且 EA : EB : EC= 3 ： 15,求/ BCD 的面积.图Z13-6中考变形5答图解：(1)证明：如答图，连结 AC, BE,作直线OC,VBE= EF, zF =/EBF,vzAEB= / EBF+ / F,1/F = 2/aeb,C 是 AB 的中点，二 AC=BC,zAEC=/ BEC,v/AEB=Z AEC+ Z BEC,1zAEC= 2ZAEB,aZAEC= Z F ,：CE/BF;(2) vZ DAE =Z DCB, ZAED =Z CEB,fdesbe,倍 CE，即器=請,v/CBD=Z CEB,/BCD=

9、Z ECB,ZCBEsJCDB,.BD_BE1CB= CE 即 CB5,.CB = 2,5,AD = 6,.AB = 8,v点C为劣弧AB的中点，1OC丄AB,设垂足为 G,贝U AG= BG=2AB 4,CG= CB2-BG2 2,1 1/Szbcd 2BD CG 2x2X2 2.6.如图Z13-7, AB是。O的直径，C为。O上一点，AE和过点C的切线互相 垂直，垂足为E, AE交。O于点D，直线EC交AB的延长线于点P,连结AC, BC, PB : PC 1 : 2.(1) 求证：AC平分Z BAD;(2) 探究线段PB, AB之间的数量关系，并说明理由.图Z13- 7中考变形6答图解：

10、(1)证明：如答图，连结OC.VPE是OO的切线，.OC丄PE,AE丄 PE,.QC/ AE,zDAC=/ OCA,OA= OC,a/OCA=Z OAC,zDAC=/ OAC,AC 平分/ BAD;线段PB, AB之间的数量关系为AB = 3PB.理由: AB是。O的直径， zACB= 90,ABAC+Z ABC= 90,OB = OC,azOCB=Z ABC,V/PCB+ Z OCB = 90,.2CB=/ PAC, zP 是公共角 CBs/PAC,.匹PBPA = PCPC2 = PB PA,PB：PC= 1 : 2, PC = 2PB,FA= 4PB,：AB = 3PB.7. 2016枣

11、庄如图Z13 8, AC是O O的直径，BC是O O的弦，P是O O外一点，连结 PA, PB, AB,已知Z PBA=Z C.求证：PB是O O的切线；连结OP,若OP/ BC,且OP = 8,OO的半径为2 2，求BC的长.图Z13 8中考变形7答图解：(1)证明：如答图，连结 OB,VAC是O O的直径， zABC= 90,Z+Z BAC = 90.vOA= OB,.ZBAC=Z OBA,v/PBA= / C,/PBA+/ OBA= 90,即PB丄 OB.PB是。O的切线；(2)OO 的半径为 2.2,：OB = 2 2, AC= 4 2,OP/BC,.zBOP=/ OBC=/ C,又/

12、 ABC=/ PBO = 90,：ABCszPBO,BC AC m BC 4,2BO= PO，即2 厂 8，BC =2.8. 2017聊城如图Z13 9,OO是厶ABC的外接圆，O点在BC边上，/ BAC 的平分线交O O于点D，连结BD, CD，过点D作BC的平行线，与AB的 延长线相交于点P.(1) 求证：PD是O O的切线；(2) 求证： PBDs DCA;(3) 当AB = 6, AC = 8时，求线段PB的长.图Z13 9中考变形8答图解：(1)证明：圆心O在BC 上,BC是O O的直径，zBAC= 90，如答图，连结 OD,VAD 平分/ BAC,zBAC= 2/ DAC,v/DO

13、C = 2/DAC,/JDOC = / BAC = 90, 即OD 丄 BC,VPD /BC,：OD丄 PD , VOD 为O O 的半径，PD是O O的切线;(2) 证明：t PD / BC,a/P=Z ABC,ADC ,a/P=Z ADC,V/PBD+ Z ABD = 180,ACD+/ ABD= 180,zPBD=/ ACD ,：ZPBDsZDCA ;(3) ABC为直角三角形，BC2=AB2+ AC2 = 62 + 82= 100,：BC= 10,OD 垂直平分 BC,：DB= DC,Be 为 O O 的直径，./BDC = 90,在 RtQBC 中，DB2+ DC2= BC2，即 2DC2= BC2= 100,.DC = DB = 5 ,2,vZPBDsJDCA,PB BD 卄 DC BD 5”2X 5 225DC二AC，即 PB=-二84.【中考预测】2017黄冈模拟如图Z13 10, AB为。O的直径，CD与。O相切于点C,且OD丄BC,垂足为F, OD交O O于点E.证明：(1) Z D = Z AEC;(2) OA2 = OD OF.图Z13 10中考预测答图证明：