分部积分法与换元积分法51364

1、(二)教学内容：分部积分法，第一、二换元积分法； 2 分部积分法与换元积分法(一)教学目的：掌握分部积分法与第一、二换元积分法基本要求： 熟练掌握 分部 积分法和换元积分法 .(三)教学建议：(1) 讲解足量的有关换元积分法与分部积分法的计算题(2) 总结分部积分法的几种形式：升幂法，降幂法和循环法、分部积分法我们讲导数时，知道u(x)v(x) u (x)v(x) u(x)v (x)从而有u(x)v(x) u (x)v(x)dx u(x)v (x)dx移项得u(x)v (x)dx u(x)v(x) u(x)v(x)dxu(x)dv(x) u(x)v(x)v( x)du( x)我们称这个公式为分

2、部积分公式。当 u(x)v (x)dx 不容易积分，但 u (x)v(x)dx 容易积分时，我们就可以用分部积 分把不容易积分的 u(x)v (x)dx 计算出来。例 1 求 x cosxdx解：若令 u x, v cosx v sinx ，代入分部积分公式比原积分还复杂由此可知，在用分部积分公式时， u, v 的选择不是随意的，那个作 u , 那个作 v 应适当选取，否则有可能计算很复杂甚至计算不出来。v ，积分较难或积分后分析分不积分公式，我们可总结出下面一个原则：般应把（相比之下）容易积分，积分后比较简单的函数作为 比较复杂的函数作为 u例2 求 ln xdx1lnxdx xlnx xd

3、lnx xlnx x dx xln x x Cx或解：令 ln x t, x et原式 tde te e dt teet C xln x x C例3求 xln xdx解：12 xln xdx ln xdx例4求 x arctanxdx1 arctanxdx221 x2 arctan x x 2 d arctanx21 x2 arctanx21 x2 arctanx (1 1 2 )dx2 1 x21 x2 arctan x x arctan x C2分部积分公式也可以连续用多次解：x arctanxdxx22 dx1 x21 x21 xx2 lnx 1x2 C ln xx2dln x21 x2

4、 ln xxdx1 x2 ln x 1 x2 C22例5求 x2exdx解：x2exdx x2dex2 x x 2x e e dx2 x xx e 2 xe dxx2ex 2(xexex dx)x2ex 2xex 2ex C例6求 eax cosbxdx解：eax cosbxdx 1ex cosbx b eax sin bxdx 再分部积分一次 aa1ex cosbx b1eax sinbx b eax cosbxdx 出现循环 a a a a将上式最后一项移到左端合并整理，得(1 b2 ) eaeax cosbxdx eax cosbxdx eax (1cosx b2 sin bx)aa2a

5、x b sin bx a cosbx Ca2 b2分部积分使用的类型：一般说下面类型的不定积分xk logm xdx , xk eax dx ,xk sin bxdx ,xk cosaxdx , xkarctgbxdx等常用分部积分来计算。 当被积函数是幂函数与正弦余弦) 乘积或是幂函数与指数函数乘积，做分部积分时，取幂函数为 u ，其余部分取为 dv 。 二、换元积分法1、第一类换元积分法设 F(u) 为 f(u) 的原函数， 即 F (u) f (u) 或 f (u)du F(u) C如果 u (x) ，且 (x) 可微，则ddx F (x) F (u) (x) f(u) (x) f (x

6、) (x)即 F (x) 为 f (x) (x) 的原函数，或f (x) (x)dx F (x) C F(u) Cu (x) f (u)duu (x)因此有定理 1 设 F(u)为 f (u)的原函数， u ( x)可微，则(2-1)f (x) (x)dx f (u)duu (x)公式 (2-1) 称为第一类换元积分公式。11类型 1 f ax b dx 1 f ax b d ax b , 即dx 1d ax baa例 7 求不定积分111 sin5xdx sin 5xd 5x 5x u sin udu cos(5x) C555 1 2x 7dx 1 1 2x 7d(1 2x) 1 12 7

7、11 2x71 C 1161 2x8 C2dx 2ax1 xa2 a1 arctan ax C dxa2 x21 x a 2 arcsin ax C类型 2 f xnx 1 x2 dx121x2 12 22 12d 1 x212 12 11 1 x211232231 x2e x dx333e xdx31e x3 C11 2 cos dxx2xcos1d 1 sin 1 C xxx12dx d 1x cos xdx 2 cos xd x 2sin x C x1dx 2d xx类型 31 x xdx dln x, exdx dex, sin xdxd cosx,x2cosxdx dsinx, se

8、c xdx d tan x,1secx tan xdx dsecx, 2 dx d arctan x, 1x1 dx d arcsin x,1 x 2x a2dx d a2 x2 , x2例9求不定积分tan xdxcsoinsxxdxdccoossxx lncosx C lnsecx Ccot xdxcosx dx dsinx ln sin x Cln cosx Csinx sinxsecxdxsecx secx tanx dx secx tanxd secx tanx ln secx tanx C secx tanxcscxdxcscx cscx cotx dx cscx cotxdcsc

9、x cotx ln cscx cotx C cscx cotx1dx dln x xln xlnxln ln x Cdx2cos x1 tanxdtanx 1 ln tanx 1 Ctanx 1xe1 ex dxd11 eexln1 ex C 1 dxex1 ex ex1 exx ln 1 ex C 1 ee2x dxdex21 ex 2arctanex Ce1 x2 x e 1 x dx e 1 x d 1 x 2 e 1 x C 22、 第二类换元积分法定理 2 设 x (t)是可导函数，且 (t) 0，又设 G (t) f (t) (t)，则(2-2)f (x)dx f (t) (t)d

10、t t 1(x) G 1(x) C其中 t1(x) 为 x(t )的反函数。公式 (2-2) 称为第二类换元积分公式。证明因为 (t) 0、可导， 所以存在反函数 t1(x)，且 dtdxdxdt(t)于是G (t) f (t) (t)G 1(x) C G (t) 1(x) f (t) (t) 1(t)f (t) f (x),所以f(x)dx G 1(x) C .常用代换有 : 无理代换，三角代换，双曲代换，倒代换，万能代换等，本节我们着重介绍三角代换 . 正弦代换 : 正弦代换简称为“弦换”是针对型如a x (a 0) 的根式施行的, 目的是去掉根号 . 方法是 : 令 x asint, (

11、a 0), 则a2 x2 a cost, dx a costdt , t arcsin x . a例 10 求a2 x2 dx， (a 0)解：令 x asint， 2 t 2 ，则22a x acots，dx a costdt ，因此有a asec tdt asect sectdtln |sect tant | C22ln | a x x | C ln | xx2 a2 | C1a x2 dx a cos t a cos tdta2 cos2 tdta2 1 cos2t dtt22a2t22a22a sin2t C42asin t cost C2x arcsin 2a 2 ax arcsin

12、 2a2 2 2 a2 x a2 x2 Cx a2 x2 C 正切代换 : 正切代换简称为“切换”. 是针对型如 a2 x2 (a 0) 的根式施行的 , 目的是去掉根号 . 方法是 :利用三角公式22sec t tg t 1,221 tg t sec t,此时有x atgt,dx asec tdt .a2 x2xasect, t arctg .a变量还原常用辅助三角形法例 1 求a2dxx2(a 0)解：令 x atant ，2t2，则a2 x2asect ，2dx asec2 tdt ，因此有dxa2 x2其中 C1 C ln a 。用类似方法可得2dx 2 ln | x x xa正割代换

13、 : 正割代换简称为“割换”. 是针对型如 x2 a2 (a 0) 的根式施行的 , 目的是去掉根号 . 方法是 :利用三角公式 sec2 t 1 tg 2t, 令 x a sect,有 x22a2 atgt, dx xsect tgtdt . 变量还原常用辅助三角形法例、dx22xa解：令 x asect (或a csct) ，则x2 a2 a tan t, dx asect tantdt原式 = a sect tan tdtsectdt ln sect tant C lnatant22 x x a aax asinta2 可考虑用代换 x atantx asect22 ax 归纳： f (x) 中含有 x222 xa小结： 本节学习了不定积分的分部积分法和不定积分的第一类换元积分法和第二类换 元积分法。第一类换元法也称为“凑微分”的方法。第二类换元法主要介绍了三种三角 代换。也讨论了分部方法与换元方法结合使用的例题。 作业：