2019届高考数学一轮复习 第七篇 立体几何与空间向量 第6节 空间向量的运算及应用课件 理 新人教版

1、第第6 6节空间向量的运算及应用节空间向量的运算及应用 向量的正交分解及其坐标表示向量的正交分解及其坐标表示. . 3.3.掌握空间向量的线性运算及其坐掌握空间向量的线性运算及其坐 标表示标表示. . 4.4.掌握空间向量的数量积及其坐标掌握空间向量的数量积及其坐标 表示表示, ,能用向量的数量积判定向量的能用向量的数量积判定向量的 共线和垂直共线和垂直. . 考纲展示考纲展示 1.1.了解空间直角坐标系了解空间直角坐标系, ,会用空间直会用空间直 角坐标表示点的位置角坐标表示点的位置, ,会简单应用空会简单应用空 间两点间的距离公式间两点间的距离公式. . 2.2.了解空间向量的概念了解空间

2、向量的概念, ,了解空间向了解空间向 量的基本定理及其意义量的基本定理及其意义, ,掌握空间掌握空间 知识梳理自测知识梳理自测 考点专项突破考点专项突破 知识梳理自测知识梳理自测 把散落的知识连起来把散落的知识连起来 【教材导读教材导读】 1.1.在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中,(1),(1)在在x x轴上的点的坐标怎么记轴上的点的坐标怎么记?(2)?(2)在在y y轴上的点的轴上的点的 坐标怎么记坐标怎么记?(3)?(3)在在z z轴上的点的坐标怎么记轴上的点的坐标怎么记? ? 提示提示: :(1)(1)可记作可记作(x,0,0).(2)(x,0,0).(2)可记作可记作(0,y,0)

3、.(3)(0,y,0).(3)可记作可记作(0,0,z).(0,0,z). 2.2.空间中任意两个非零向量空间中任意两个非零向量a a, ,b b共面吗共面吗? ? 提示提示: :共面共面. . 知识梳理知识梳理 1.1.空间直角坐标系及有关概念空间直角坐标系及有关概念 (1)(1)空间直角坐标系空间直角坐标系 以空间一点以空间一点O O为原点为原点, ,建立三条两两垂直的数轴建立三条两两垂直的数轴:x:x轴、轴、y y轴、轴、z z轴轴. .这时我们说建立了一这时我们说建立了一 个空间直角坐标系个空间直角坐标系Oxyz,Oxyz,其中点其中点O O叫做叫做 , ,x x轴、轴、y y轴、轴、

4、z z轴叫做轴叫做 , ,通通 过每两个坐标轴的平面叫做过每两个坐标轴的平面叫做 . . (2)(2)右手直角坐标系右手直角坐标系 在空间直角坐标系中在空间直角坐标系中, ,让右手拇指指向让右手拇指指向x x轴的正方向轴的正方向, ,食指指向食指指向y y轴的正方向轴的正方向, ,如果中指如果中指 指向指向 的正方向的正方向, ,则称这个坐标系为右手直角坐标系则称这个坐标系为右手直角坐标系. . (3)(3)空间一点空间一点M M的坐标的坐标 空间一点空间一点M M的坐标可以用有序实数组的坐标可以用有序实数组(x,y,z)(x,y,z)来表示来表示, ,记作记作M(x,y,z),M(x,y,z

5、),其中其中x x叫做点叫做点M M的的 , ,y y叫做点叫做点M M的的 , ,z z叫做点叫做点M M的的 . . 坐标原点坐标原点坐标轴坐标轴 坐标平面坐标平面 z z轴轴 横坐标横坐标纵坐标纵坐标 竖坐标竖坐标 2.2.空间两点间的距离公式、中点公式空间两点间的距离公式、中点公式 (1)(1)距离公式距离公式 设点设点A(xA(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),B(x),B(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则则 |AB|=|AB|= . . 点点P(x,y,z)P(x,y,z)与坐标原点与坐标原点O O之间的距离为之间的距离为 |OP|=|OP|= . . (2)(

6、2)中点公式中点公式 设点设点P(x,y,zP(x,y,z) )为线段为线段P P1 1P P2 2的中点的中点, , 其中其中P P1 1(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),P),P2 2(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),则有则有 222 121212 ()()()xxyyzz 222 xyz 12 12 12 . 2 , 2 . 2 xx x yy y zz z 3.3.空间向量的有关概念空间向量的有关概念 名称名称定义定义 空间向量空间向量 在空间中在空间中, ,具有具有 的量叫做空间向量的量叫做空间向量, ,向量的大小叫做向量的大小叫做 向量的向量的 . .

7、单位向量单位向量模为模为 的向量的向量 零向量零向量长度为长度为 的向量的向量 相等向量相等向量方向方向 且模且模 的向量的向量 相反向量相反向量方向方向 且模且模 的向量的向量 共线向量共线向量( (或平或平 行向量行向量) ) 如果表示空间向量的有向线段所在的直线如果表示空间向量的有向线段所在的直线 , ,则这些则这些 向量叫做共线向量或平行向量向量叫做共线向量或平行向量, ,a a平行于平行于b b记作记作 . . 共面向量共面向量平行于同一个平行于同一个 的向量叫做共面向量的向量叫做共面向量 大小和方向大小和方向 长度或模长度或模 1 1 0 0 相同相同相等相等 相反相反相等相等 互

8、相平行或重合互相平行或重合 a ab b 平面平面 4.4.空间向量的有关定理及推论空间向量的有关定理及推论 a a= =b b 不共线不共线 p p=x=xa a+y+yb b 不共面不共面 p p=x=xa a+y+yb b+z+zc c 基底基底 基向量基向量 AOBAOB 0,0, a ab b 两向量的数量积两向量的数量积: :已知两个非零向量已知两个非零向量a a, ,b b, ,则则 叫做向量叫做向量a a, ,b b 的数量积的数量积, ,记作记作 , ,即即 . . | |a a|b b|cos|cos a ab ba ab b=|=|a a|b b|cos|cos (2)(

9、2)两个向量数量积的性质和结论两个向量数量积的性质和结论 已知两个非零向量已知两个非零向量a a和和b b. . a ae=|e=|a a|cos|cos(其中其中e e为单位向量为单位向量).). a ab b . . coscos= . . a a2 2= =a aa a= =| |a a| |2 2,|,|a a|=|= . . | |a ab b| | | |a a|b b|.|. (3)(3)空间向量数量积的运算律空间向量数量积的运算律 数乘结合律数乘结合律:(:(a a) )b b= = . . 交换律交换律: :a ab b= = . . 分配律分配律: :a a( (b b+

10、+c c)=)= . . a ab b=0=0 a b a b 2 a (a(ab) b) b ba a a ab+ab+ac c (x,y,z)(x,y,z) (5)(5)空间向量运算的坐标表示空间向量运算的坐标表示 设设a a=(x=(x1 1,y,y1 1,z,z1 1),),b b=(x=(x2 2,y,y2 2,z,z2 2),),那么那么 加、减运算加、减运算: :a ab b= = . . 数量积数量积: :a ab b= = . . 夹角公式夹角公式:cos:cos= . . (x(x1 1x x2 2,y,y1 1y y2 2,z,z1 1z z2 2) ) x x1 1x

11、x2 2+y+y1 1y y2 2+z+z1 1z z2 2 12121 2 222222 111222 x xy yz z xyzxyz 222 111 xyz 数乘运算数乘运算:a a= = (R R).). 平行的充要条件平行的充要条件: :a ab b . . 垂直的充要条件垂直的充要条件: :a ab b . . (x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) ) x x1 1=x=x2 2,y,y1 1=y=y2 2,z,z1 1=z=z2 2(R R) ) x x1 1x x2 2+y+y1 1y y2 2+z+z1 1z z2 2=0=0 双基自测双基自测 D D D D 解析解

12、析: :由题意知由题意知a a( (a a-b b)=0,)=0,即即a a2 2-a ab b=0,=0, 又又a a2 2=14,a=14,ab=7,b=7,所以所以14-7=0,14-7=0,所以所以=2.=2. C C D D 5.5.已知已知 a a, ,b b, ,c c 是空间的一个单位正交基底是空间的一个单位正交基底,a a+ +b b, ,a a- -b b, ,c c 是空间的另一个基是空间的另一个基 底底. .若向量若向量m m在基底在基底 a a, ,b b, ,c c 下的坐标为下的坐标为(1,2,3),(1,2,3),则则m m在基底在基底 a a+ +b b, ,

13、a a- -b b, ,c c 下的下的 坐标为坐标为. . 考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识 考点一考点一 空间向量的线性运算空间向量的线性运算 反思归纳反思归纳 用已知向量表示某一向量要注意以下几点用已知向量表示某一向量要注意以下几点 (1)(1)用已知向量来表示未知向量用已知向量来表示未知向量, ,一定要结合图形一定要结合图形. . (2)(2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义. . (3)(3)在立体几何中在立体几何中, ,三角形法则、平行四边形法则仍然成立三角形法则、平行四边形法则仍然成立. . 考点二

14、考点二 共线共线( (共面共面) )向量基本定理向量基本定理 【例例2 2】 导学号导学号 38486155 38486155 已知已知E,F,G,HE,F,G,H分别为空间四边形分别为空间四边形ABCDABCD的边的边AB,BC,AB,BC, CD,DACD,DA的中点的中点. . (1)(1)求证求证:E,F,G,H:E,F,G,H四点共面四点共面; ; (2)(2)求证求证:BD:BD平面平面EFGH.EFGH. 反思归纳反思归纳 答案答案: :平行平行 跟踪训练跟踪训练2 2: :如图如图, ,正方体正方体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中,E,

15、F,E,F分别是分别是A A1 1B,ACB,AC上的点上的点, ,且且A A1 1E=2EB,E=2EB, CF=2AF.CF=2AF.则则EFEF与平面与平面A A1 1DCBDCB1 1的位置关系是的位置关系是. . 考点三考点三 空间向量的数量积的应用空间向量的数量积的应用 【例例3 3】 导学号导学号 18702388 18702388 如图所示如图所示, ,已知空间四边形已知空间四边形ABCDABCD的每条边和对角的每条边和对角 线长都等于线长都等于1,1,点点E,F,GE,F,G分别是分别是AB,AD,CDAB,AD,CD的中点的中点, , 计算计算: : (3)EG(3)EG的长的长; ; (4)(4)异面直线异面直线AGAG与与CECE所成角的余弦值所成角的余弦值. . 跟踪训练跟踪训练3:3:如图如图, ,已知平行六面体已知平行六面体ABCDABCD- -A A1 1B B1 1C C1 1D D1 1中中, ,底面底面ABCDABCD是边长为是边长为1 1的正方的