Selected2005年大连理工大攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答

1、Useful Documents 20GG 年大连理工大 攻读硕士研究生入学考试高等代数试题及参考解答 、填空题 (每小题 4 分 ) 1.设 f (x) 是有理数域上的不可约多项式 , 为 f (x) 在复数域内的一个根 则 的重数为 1 2.n 阶行列式 3.设 、 均为n维列1向量1 : 12,则nA1 E 可逆,A n1 11n!. k1k 1 E 1 . 3 123r 4.设向量组 1,2, , r线性无1关,23r 213r r12r 1 r 1 1 2 r 则 1, 2, , r, r 1 线性 相关. 5.设A是n阶矩阵 ,秩 A r ,非齐次线性方程组 Ax有解,则 Ax的解

2、向 量组的秩为 n r 1. 6.设a、b均为实数 ,二次型 f (x1,x2,xn)(ax1bx2)2(ax2bx3)2(axn 1bxn)2(axnbx1)2 a 、 b 满足条件 an ( 1)n 1bn 0 时, f 为正定二次型 . 7.设V 是由矩阵 A 的全体实系数多项式组成的线性空间 0 0 , 其中 0 0 2 1 3i 2 ,其中 则V 的一组基是 E,A,A2 . 8. 设V 是数域 P上的一维线性空间 ,写出V 上的所有线性变换：取定V 的一个 非零向量 ,则V L( )的全部线性变换形如 fa:xa(x ),其中 a是 P中任一 取定的数 . 9. 正交矩阵的实特征值

3、为 1. 10. 设G为群,H、N 分别是G的子群,H、N 的阶分别是 m、n,且m、n互 素 ,令H N ,则元素 的阶为 1. Useful Documents 二、(10 分)设 f(x),g(x)是数域P 上的多项式,证明:在数域P上,若 f3(x)|g3(x),则 f(x)|g(x). 参考解答：若 f (x), g( x)中有一个是零多项式或零次多项式 ,则结论显然成立 . 下设 f(x) 0, g(x) 0,且 g(x) ap1r1(x)p2r2(x) psrs (x) 是g (x)的标准分解式 ,其中 p1(x), p2(x), , ps( x)是互不相同的最高次项系数为 1

4、的不可约多项式 ,r1,r2, , rs都是正整数 .任取 f (x) 的一个不可约因式 q(x),由于 333 q(x)|f(x),f(x)| f3(x),f3(x)|g3(x) 利用多项式整除的传递性 ,得q(x)|g3(x).由于 q(x)是不可约多项式 ,故q(x)|g(x), 进一步可知 , q(x) cpi ( x) ,对某个1 i s及c P. 于是我们可以设 f(x) bp1t1 ( x) p2t2 ( x) psts(x) , 其中t1,t2, ,ts是非负整数.从 f3(x)|g3(x) 知,存在多项式h(x) Px,使得 g3(x) f 3(x)|h(x) ,即 a3p1

5、3r1(x)p23r2(x) ps3rs(x) b3p13t1(x)p23t2(x) ps3ts(x)h(x) . 由此推出 3ri g3(txi ,)即 ri ti ,i 1,2, ,s.因此 bp1t1( x) p2t2 (x) psts (x) a p1r1 t1(x)p2r2 t2(x) psrs ts(x) b 由多项式整除f (的x)定a义p知1r1 t1,(xf)(px2)r2|gt2(x). psrs ts(x) b 三、(15 分)设A为n级矩阵,且秩 A 秩AUseful Documents ,证明:对任意自然数 k,有秩 Ak= 秩A. 参考解答：对 k作数学归纳法 .当

6、k 1,2时结论显然成立 .假设 k 1时结论成 立,即 ranA A ranA Ak 1.令 Vi X Pn |AiX 0,i 1,2, Useful Documents 那么显然有 V1 V2 V3.从 ranA A ranA Ak 1 知 k1 dim V1= n ranA A n ranA Adim Vk 1 于是 V1=Vk 1. k k 1 任取 X0Vk,即AkX00,亦即Ak1(AX0)0,那么AX0Vk1V1.于是 A2X00 .进一步有Ak1X0AkUseful Documents (A2X0)0,这表明X0Vk1,从而VkVk1.因 此,Vk Vk 1.于是 k ranA

7、 A n dim V1= n dim Vk 1 n dim Vk ranA A . 四、(15 分)证明 :一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的 乘积的充分必要条件是 ,它的秩等于 2 和符 号差等于 0,或者秩等于 1. 参考解答：充分性 .若 f (x1,x2, ,xn) 的秩为 1,则可经非退化线性替换使 2 f(x1,x2, ,xn) ky1 ,其中 y1 a1x1 a2x2anxn,故 2 f (x1,x2, ,xn) k(a1x1 a2x2anxn)2. 若f(x1,x2, , xn)的秩为2,符号差为 0,则可经非退化线性替换使 22 f (x1,x2, ,xn)

8、y1 y2 (y1 y2 )( y1 y2), 其中 y1, y2均为 x1,x2, ,xn 的一次多项式 ,即 y1 a1x1 a2x2anxn y2 b1x1 b2x2bnxn 故 f(x1,x2, ,xn) 可表为两个两个实系数一次齐次多项式的乘积 . 必要性. 设实二次型 f (x1,x2, ,xn) 可以分解成两个实系数一次齐次多项式的乘积 f (x1,x2, ,xn) (a1x1 a2x2anxn)(b1x1 b2x2bnxn) 若两个一次多项式的系数成比y1例a1,x即1 bai 2x2kai (i 1a,n2x,n ,n) ,不妨设 a1 0,令 y2 x2 2 则 f(x1,

9、x2, ,xn) ky12 ,即二次型yn f (x1n, x2, ,xn)的秩为 1. 若两个一次多项式系数不成比例 ,不妨设 a1 a2 ,令 b1 b2 则 f (x1,x2, ,xn) y1y2.再令 则 f (x1,x2, ,xn) 22 y1y2 z1 z2 , Uys1efual 1Dx1ocau2mxe2 nts anxn y2 b1x1 b2x2bnxn y3 x3 y1 z1 z2 yn xn y2 z1 z2 y3 z3 故二次型 f(x1,x2, ,xn)的秩为 2,符号差为零 . yn zn 1 2 n 五、(15 分)设 1, , n是数域P上的n维线性空间 V的一

10、组基,W是V的非 平凡子空间 , 1, , r 是W 的一组基 ,证明 :在 1, , n 中可以找到 n r 个向量 i1, , inr,使 1, , r, i1, , inr为V 的一组基. 参考解答：因为W是V 的非平凡子空间 ,故W V .于是r n.对n r作数学归 纳法.首先, 1, 2, , n不能都在 W中.否则,W V ,出现矛盾 .设 i1是 1, 2, , n中 不属于 W 的一个向量 ,那么 1, 2, , r , i1 线性无关 .令 W1 L( 1, 2, , r , i1), 则 dim W1 r 1.由 归纳 假设,在 1, 2, , n 中可 以找 到 n (

11、r 1)个 向量 i2 , i3, , i nr 1, 2, , r, i1, i2, , in r 是V 的一组基. 六、(10 分)设 3 阶矩阵 A满足 A2 3A 2E 0,写出 A的若当(Jordan) 标准 型的所有可能形式 . 参考解答：因为 A2 3A 2E 0,故 f(x) x2 3x 2是 A的一个零化多项式 . 设m(x)是A的最小多项式 ,则m(x)| f(x) .由于 f(x) (x 1)(x 2)没有重根 ,故 m( x)没有重根.因此A可以对角化.从A2 3A 2E 0知, A的特征根为 1 或 2.于 是 A 的 Jordan 标准型的可能形式为 Useful

12、Documents Useful Documents 1112 1 , 1 , 2 , 2 . 七、(10 分)设V是一个 n维欧氏空间 , 1, , n是V的一个标准正交基 ,A 是 V 的 一 个 线 性 变 换 , A (aij)nn 是 A 关 于 这 个 基 的 矩阵 ,证 明:aji (A( i), j),i,j 1,2, , n .(其中(,)表示内积 ) a1i 1 a2i 2ani n . 故 参考解答：由所给条件知 (A 1 ,Aa1i2 , ,A n )=( 1, 2, , n )A.于是 1 2 n ni (a1i 11 a2i 2ani n, j ) a1i ( 1,

13、 j) a2i( 2, j )ani( n, j) aji (八、j ,(2j5)分)设A是数域P上的n维线性空间V的一个线性变换 ,f(x)是A的 aji 最小多项式 ,在Px中,f(x) f1(x)f2(x), f1( x) 、f2 ( x)均为首项系数为 1的多项式, 且 f1(x) 与 f2(x)互素,令 V1 V|f1(A)( ) 0,V2 V| f2(A)( ) 0. 证明 : (1) (5 分) V1和V2都是 A 的不变子空间； (2) (10 分)V V1 V2 ； (3) (10 分)A|V 的最小多项式是 f1(x) ,A |V2的最小多项式是 f2(x). 参考解答：

14、(1)注意 f1(A), f2(A)都是 A 的多项式 ,故 A f1(A)= f1(A)A,A f2(A)= f2 (A)A. 任取 V1,则 f1(A)( )=0. 由于 f1(A)(A( )=( f1(A)A)( )=(A f1(A)( )=A( f1(A)( )= A (0)=0. 故 A( ) V1.由不变子空间的定义知 ,V1是 A 的不变子空间 .类似地可证 ,V2 也是 A 的不变子空间 . (2)因为 f1(x)与 f2(x)互素,存在 u(x),v(x) Px使得 u(x) f1 (x) v(x)f2(x) 1. Useful Documents Useful Docume

15、nts 将x A 代入上式,得 u(A) f1(A)+v(A) f2(A)= ( 为恒等变换).(G) 任取 V ,则 ( ) u(A) f1(A)( )+ v(A) f2(A)( ).(GG) 由于 f (x) 是 A 的最小多项式 ,故 f (A)= f1(A) f2(A)= 0.于是 f2(A)(u(A) f1(A)( )=( u(A) f1(A) f2 (A)( )= u(A)(f (A)( )= u (A)(0 )= 0 类似地, f1(A)( v (A) f2 (A)( )=0. 因此 u(A) f1 (A )( ) V2，v(A) f2 (A)( ) V1. 于是从(GG)知V

16、V1 V2.注意V1,V2都是V 的子空间,故 V V1 V2 . 设 V1 V2,则 f1(A)( )= 0,f2(A)( )= 0.由(G)知 ( ) (u(A) f1 (A )( )+( v(A) f2(A)( )= 0, 故V1 V2 0 .因此V V1 V2 . (3)由于对任V1,有 f1(A)( ) 0,故 f1(A)作为 V1上的线性变换是零变换 ,即 f1(A)|V 0,亦即 f1(x)是 A|V 的零化多项式 .设g1(x)是 A|V 的最小多项式 ,则 g1(x)| f1( x) ,从而有 g1(x) f1(x). 类似地,设g2 ( x)是 A |V2的最小多项式 ,则

17、 g2(x)| f2(x),且 g2(x) f2(x). 取g(x) g1(x)g2(x),那么 g(x)| f(x),故 g(x) f(x). 任 V ,由(2)知V V1 V2,可设1 2, i Vi .于是 g(A)( )= g1(A)g2(A)( 1)+ g1(A)g2(A)( 2) = g2(A)g1(A)( 1)+ g1(A)g2(A)( 2)=0 0 0 这表明 g(x) 是 A 的零化多项式 ,故 f (x)|g(x).从而有 f(x) g(x).于是 f (x) g(x) g1(x) g2(x). Useful Documents Useful Documents f(x) f1(x) f2(x) , g1(x) f1(x), g2(x)f2(x) 知 gi(x) fi ( x) .由于gi ( x)是最高次项系数为 1 的多项式,且gi(x)| fi(x)知 gi(x) fi(x). 九、(10 分)设 R是有 1 的交换环 ,P是 R的素理想,I1,I2, ,In是 R的极大理 想,如果P包含I1,I2, , I n的交集,证明P必为极大理想 . 参考解答：已知 P I1 I2I n .现在我们证明 :存在某个 i ,1 i n,使得 P