Arrow Debreu经济解析

1、Arrow-Debreu经济经济 状态偏好理论状态偏好理论 熊和平 武汉大学经济与管理学院 Idea ? ? 该方法首先由美国经济学家Arrow(1964)、 Debreu(1959)提出,其目的是用一种简单的方 法来分析资产定价问题,得出了一些普适性的 结论.该方法或模型虽然简单，但得出的结论 非常具有代表性。 考虑一种有限状态、有限证券情形，在此情形 下从市场交易证券中抽象出几个基本证券，从 而对其它证券进行定价。 Idea(续续) ? ? ? 在该模型中，一个证券就是各种可能的收益集 合，每种可能都发生在互斥的自然状态之下。 一旦不确定状态得到确定，证券的收益也就确 定下来。 原则上，存

2、在无限多种自然状态，从而与之相 应的风险性证券的期末收益也有无限多种。这 一状态集必须满足相互排斥且没有遗漏的基本 特征。 投资者具有状态独立的效用函数。 1、Arrow-Debreu证券市场证券市场 ? ? ? A-D证券市场是由所有A-D证券所构成的证券 市场。具体地，考虑两期有限状态（S状态） 情形，如果证券市场包含S个不同的A-D证券， 则称之为A-D证券市场。 由所有可能的状态或有证券形成的集合称为A- D证券的完全集合。 何为A-D证券？ 本人简单地用A-D表示Arrow-Debreu? A-D证券的定义证券的定义 ?A-D证券又称纯证券、状态或有证券、状态或有要求 权，有时简称状

3、态证券。 ? 定义：只在某个特定状态下支付为一个单位，其 它状态下的支付为零的证券称为纯证券。 ? 表示： 0 0 1 状态 0 A-D证券的定义证券的定义(续续) ?每一个状态都可以定义一个相应的纯证券， 因此S个状态可以定义S个纯证券。 ?每个纯证券，其支付向量可以用相应的示 性函数来表示： ? 0? ? . ? ?1 ?状态?1?1 ? ?1 ? ? ? ?.? ?0其他 ? ? ? 0 ? A-D证券的定义（续）证券的定义（续） ? 例子：假如未来只有三种状态，则市场上只 有三类纯证券： 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ? 通常情况下，期末有S个状态时，有S个不同 的纯证券，其支付

4、向量对应与S维向量空间的 标准正交基。 市场结构市场结构 ?若市场存在S个状态证券，这S个状态证券形 成的市场结构按顺序形成一个单位矩阵 ?1 . 0 .0 ? ? . ? . ? A?D ? ?0 1 0? ? I ? . ? ?001 ? X 2、状态价格、状态价格 ?回顾：每个证券我们关系两个时点的值： 期末的支付X 期初的价格S price payoff 单个证券 一个组合 状态证券 T s i S ? (s 1 ,s 2,.,sN) x i X ? (x 1 ,x 2,.,xN ) ?1 ? 纯证券价格（续）纯证券价格（续） ? ? 含义：每个纯证券的期初价格 记为：?i ,i ?

5、1,2,., S 图示： 0期1期 0 0 1 状态i 0 ?i ?价格的确定：假如市场上有两个交易证券， 未来只有两种可能的状态，其支付和价格为： 证券 j k 状态1 $10 $30 状态2 $20 $10 价格 $8 $9 ?我们来计算状态价格： ?10?1? 20 ?2? 8 ? ? 30 ?1? 10 ?2? 9 ?1? $0.20, ?2? $0.30 进一步假定某证券在状态1、2下的支付 分别为$15和$50，则价格应该为： 15 ? $0.20 ? 50 ? $0.30 ? $18 一般情形一般情形 ?单个证券的支付分解 ? x 1 i? 1? ?0? 0? ? x ? 0 ?

6、 1? ? 0 ? 2i ? x i ? x 1 i ? ? ? x 2i ? ? ? . ? x Si ? ? ? . ?.?.?.? ? ? ? ? x ? 0 ? 0? ? 1? ? Si? ? x 1 i11 ? x 2i12 ? . ? x Si1S 一般情形（续）一般情形（续） ?单个证券的价格上述支付可以通过购买相 应的状态证券而得到，从而其合理价格为： S i ? x 1 i?1? x 2i?2 ? . ? x Si?S ? x 1 i? ?x? 2i ? ( ?1,?2,.,?S )? ? ?. ? ? x ? Si? ? x i T ?一般情形（续）： ? T X ? ?

7、? x 11 (?,? x 21 12,.,?S )? ? ? . ?xS1 x 12 .x 1N? x 22 .x ? 2N . ? ? ? (S 1 ,S 2,.,SS ) x S2 .x ? SN? 1 ,? 2,.,?S ? 我们习惯的写法我们习惯的写法 S ? X T? ? ? x 11 x 21 ? x 12 x 22 ? ? . ?x 1N x 2N x S1?1? x ? S2 ? ? 2 . ? ? x ? ?.? ? ? ? ? ? SNS? ? ? S 1? ? ? S ? 2 ? ? ? .? ?S ? S? . . . . 3、完全资本市场、完全资本市场 ? ? ?

8、含义：假定资本市场未来一共有S个状态，当 资本市场上存在S个不同的纯证券时，或者能 够由资本市场上的证券构造出S个纯证券时， 我们称该市场是完全的。 命题：由数学知识可知，所有证券的秩等于S 时，市场完全 完全市场可以有多种不同的定义 各种定义各种定义 ? ? When we have a complete set of state contingent claim markets, we say that the markets are complete.( chi-fu huang) The set of payoffs available via trades in the asset

9、span and denoted by M M ? z?R :z ? X?,? ? R SN M ? R If ,then markets are complete S 王江的定义王江的定义 ? ? 一个证券市场的有效性与它允许参与者在多大 程度上为不同消费计划融资是紧密相关的。在 AD证券市场的情况下，它提供了最大的灵 活性。我们称这种市场是完全的。 定义：如果市场中的任一有限消费计划都可以 通过有限成本的可交易证券的组合来融资，那 么我们就称这个证券市场是完全的。 如何解读？如何解读？ ?Step1 ：A-D证券市场上的消费如果存在 S个纯证券，则任意未来消费计划可以复制 ?c11?1?0

10、? ?c?0?1? 12? ? c ? c 11? ? c 12? ? .?c 1 S ?.?.?.? ? ? ? ?0? 0 ?x 1 S? ? c 11 1 1? x 12 1 2 ? .?x 1 S1S ?0? ?0? ? ? ?.? ? ? ?1? ?如何复制？ T ? 取组合?(c 11 ,c 12 ,.,c 1 S ) ? 该组合的期末支付为： x ? ? X? ? X A?D ? c 0 ?c11?c 11?1 ? 1 ?c?c? 12 ? 12 ? A?D ? X ? c ? . ?.?.? ? 1 ?c 1S? ?c 1S?0 ?Step2：该消费计划可以通过购买上述组合而

11、得到。为实现该消费计划的融资成本为： V ? ? c 11 ?1? c 12 ?2? .?c 1S?S ?c11? ?c? 12 ? ? ? ? c 1 ? ? (?1,? 2,.,?S ) ?. ? ? ? ?c 1 S? ? c T 小结小结 ? ? 当市场上存在S个不同的状态证券时，可以通过 买卖这些状态证券（即构造相应的投资组合）为 任何可行的消费计划融资；同时任何一种可行的 消费计划都可以通过市场上的交易而得到。 该市场上任何一个证券，只要其期末各状态下的 支付有限，该证券都可以通过买卖状态证券来复 制。 ?因此，我们可以简单地将完全市场定义为含S 个不同状态证券的市场。 小结（续）

12、小结（续） ?由线性代数的知识可知，下列方程组有解的充 分条件是X是行满秩的 ? x 11 ?x 21 ? X? ? ? . ? ? x S1 x 12 x 22 . x S2 .x 1N?1?c11? ? .x 2N ? 2 ?c 12 ? ? . ?. ?. ? ? .x SN?N? ?c 1 S? 故rank (X)?S也可以作为完全市场的定义。 小结（续）小结（续） ?我们还可以进一步用数学知识来说明，但其本 质是： 任何有限的消费计划都可以通过有限成本融 资来构造投资组合，从而实现该消费计划。 市场完全还意味着，任何有限的支付向量都 可以通过市场交易而复制。 后面我们还要证明，完全市

13、场可以复制所有 的状态证券。 4、参与者的优化、参与者的优化 ?我们按如下几个步骤来考虑参与者的优化问题 Step 1：参与者的条件 Step2：参与者的预算约束 Step3：参与者的优化问题 Step4：优化的必要条件 参与者的优化参与者的优化 ?Step1： 参与者的条件 ?参与者的禀赋：在A-D框架下，实物禀赋和 证券禀赋是没有区别的。 T ? 1) e 1 ? (e 11 ,e 12 ,.,e 1 S )?实物禀赋：(e 0,e T e0,? (e 11 ,e 12 ,.,e 1 S ) ? 实物加证券： 易证，两种禀赋带来的两期消费完全相同！我们 称 ? 为 e ? 1的复制组合，因

14、为前者复制了后者 ?参与者的财富：由于禀赋组合复制了禀赋的实 物形式，故可用复制组合的成本度量实物禀赋 的价值，从而计算两期禀赋的总价值： w?e 0 ? e 1 ? e 0 ? ? ? e 1 ? T ? 我们称之为参与者的金融财富或简称财富。 ?Step2：预算约束 ? 1 ) ? 在A-D框架下，我们假定可以将禀赋 (e 0,e T ? 1，然后用现金购买即 兑换成现金w? e 0 ? e ? 1 期消费 c 0和证券组合 ? ? c ? 这一消费组合决策必须满足一定的约束，我 们称之为预算约束： c 0 ? ? c 1 ? ? w?e 0 ? ? e 1 ? ? ? c 0 ? c 1

15、 ? e 0 ? e 1 TTTT ? ? c ? e c 0 ? c 1 ? w?e 0? ? e 1 ce ? 00? TT (1, ? ) ? ? (1, ? ) ? ? c 1? ? e 1? ce ? 00 TT ? ? (1, ? ),c ? ?,e ? ? ? c 1? ?e 1? TT ? ? c ? e T ? ? (c ? e) ? TT ?Step3 ：优化问题 max c?C U(c) s.t ? ? Tc ? ? Te c ? 0 状态独立 时间可加 效用 S c max u(c 0) ? 0,c11 ,.c 1S ? u(c 1 ? ) ?1 SS s.t c 0

16、? ? ? c 1 ? ? e 0? ? e 1 ? ?1?1 c 0,c1 ? ? 0 Step4：优化的条件 1 ?S 存在性定理存在性定理：若 C ? R ? 且U(.)在C上连续，则 上述优化问题有解。 证明思路预算集是闭集，闭集上的连续函 数存在最值。 不满足公理不满足公理：不满足性意味着效用函数单调增 若可微则有： ? ?U?U ? ?U0? 0; ? ?U? 0, ? ?c0?c 1 ? DU ? ? 0 U,? 1 U,.,? S U ? 0 T 优化的条件优化的条件 ?优化问题处理： 令 L ? U(c) ? (w?c 0? ?ic 1 i )? ? ? ic1 i i?1i

17、 S 定理定理：假定DU ? 0，则上述优化问题的解满足 条件： ? iU ? i ? i , i ? 0,1, 2,.,S w?c 0 ? ? ?ic 1 i i?1 S ? ici ? 0, c i ? 0,i ? 0,1, 2,., S 例子例子 ? ? 考虑“Lucas树模型”，1期有两个等概率的状 态a和b。已知状态价格和参与者的禀赋，其效 用函数为对数效用函数。 求最优消费组合选择。 优化的条件（续）优化的条件（续） ? 上述问题考虑边界问题。如果达到最优时非负 约束不起作用，则最优解称为内点解内点解。如果非 负约束起作用，则最优解叫边角解边角解。 ?通常假定效用函数满足Inada条件： lim? iU ? ? ,lim? iU ? 0 c i? 0 c i? 因此，一般认为所有的最优解为内点解。 ?此时一阶条件为： L ? U(c)? ? (w?c 0 ? ? ?ic 1 i ) i?1 S ? iU ? i , i ? 0,1, 2,.,S ? S ? ? w?c 0 ? ? ?ic 1 i i?1 ? ? ? iU ?i ? ? ? U ? ? jj ? ? U ? ? ? ? ? ? 0U ?含义： 5、市场均衡、市场均衡 ? ? 均衡：给定状态价格，参与者决定各自的消 费投资需求，结