分段函数及分段数列问题的变迁

1、提优讲座二分段函数及分段数列问题的变迁一、分段函数的标准和表达式明确的题型1、(08高考山东) 设函数则的值为2、已知函数设，则实数x的取值范围是 3、（2009北京理）若函数 则不等式的解集为_.二、分段标准明确但表达式不明确1、若函数，则f（4）= 1 .2、(2009山东卷理)定义在r上的函数f(x)满足f(x)= ，则f（2009）的值为 1 3、已知函数,若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 4、设函数，方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 9、已知函数 ，则下列命题中：（1）函数在上为周期函数（2）函数在区间上单调递增（3）函数在取到最大值0，且无最小

2、值（4）若方程有且只有两个不同的实根，则正确的命题的个数是 （4） 5、各项均为正数的数列的前项和为，；（1）求；（2）令，；求的前项和。（3）令（为常数，且），是否存在实数对，使得数列成等比数列？若存在，求出实数对及数列的通项公式，若不存在，请说明理由。解：（1），；当时，即，为等差数列，。（2）， ，时， 此时，；。（3），令，存在，。三、分段的标准不明确1、对任意实数，定义：，如果函数，那么函数的最大值等于 1 2、（2009湖南卷文）设函数在内有定义，对于给定的正数k，定义函数 取函数。当=时，函数的单调递增区间为 3、(2009湖南卷理)设函数在（，+）内有定义。对于给定的正数k，定

3、义函数 取函数=，若对任意的，恒有=，则 ak的最大值为2 b. k的最小值为2 ck的最大值为1 d. k的最小值为1 【解析】由知，所以时，当时，所以即的值域是，而要使在上恒成立，结合条件分别取不同的值，可得d符合，此时。故选d项。4、（2008江苏高考）若为常数，且（1）求对所有的实数成立的充要条件（用表示）；（2）设为两实数，且，若，求证：在区间上的单调增区间的长度和为（闭区间的长度定义为）。【解析】本小题考查充要条件、指数函数与绝对值、不等式的综合运用。（i）恒成立若，则，显然成立；若，记当时，所以，故只需；当时，所以，故只需。（2）10如果，则的图像关于直线对称。（如图1） 因为，

4、所以区间关于直线对称。因为减区间为，增区间为，所以单调增区间的长度和为。20如果，不妨设，则，于是当时，从而当时，从而当时，及，由方程得，（1）显然，表明在与之间。所以综上可知，在区间上，（如图2）故由函数及函数的单调性可知，在区间上的单调增区间的长度之和为，由，即，得（2）故由（1）（2）得综合1020可知，在区间上的单调增区间的长度和为。oyx(a,f(a)(b,f(b)(x0,y0)(p2,2)(p1,1)oyx(a,f(a)(b,f(b)图1图25(09盐城模拟)已知,且.()当时,求在处的切线方程；()当时,设所对应的自变量取值区间的长度为(闭区间 的长度定义为),试求的最大值；()

5、是否存在这样的，使得当时,?若存在,求出的取值范围；若不存在，请说明理由.解: ()当时,.因为当时,且,所以当时,且(3分)由于,所以,又,故所求切线方程为,即(5分) () 因为,所以,则 当时,因为,所以由,解得,从而当时, (6分) 当时,因为,所以由,解得,从而当时, (7分)当时,因为,从而 一定不成立(8分)综上得,当且仅当时,故 (9分)从而当时,取得最大值为(10分)()“当时,”等价于“对恒成立”,即“(*)对恒成立” (11分) 当时,则当时,则(*)可化为,即,而当时,所以,从而适合题意(12分) 当时,.1 当时,(*)可化为,即,而,所以,此时要求(13分)2 当时

6、,(*)可化为,所以,此时只要求(14分)(3)当时,(*)可化为,即,而,所以,此时要求(15分)由,得符合题意要求. 综合知,满足题意的存在,且的取值范围是(16分)12.若数列满足且,则_ _.6、已知数列满足，且，其中，若，则实数的最小值为 410.(2009湖北卷理)已知数列满足：（m为正整数），若，则m所有可能的取值为_。. 4 5 32【解析】（1）若为偶数，则为偶, 故当仍为偶数时， 故当为奇数时，故得m=4。（2）若为奇数，则为偶数，故必为偶数，所以=1可得m=524. 数列由下列条件所确定： （i）； （ii）满足如下条件：那么，当的通项公式为 20（本小题满分16分）数列

7、、由下列条件确定：，；当，与满足如下条件：当时，；当时，.（1）如果，试求，；（2）证明：数列为等比数列；（3）设()是满足的最大整数，证明：.20、解：（1），.4分（2）证明：当时，当时，；当时，.当时，都有，数列是以为首项，为公比的等比数列.10分（3）证明：由（2）可得，()，对于，都有,，.若，则，与是满足()的最大整数相矛盾，是满足的最小整数.，结论成立.16分20.(本小题满分16分)已知以a为首项的数列满足：(1)若06，求证：06; (2)若a，kn，求使对任意正整数n都成立的k与a；(3)若 (mn)，试求数列的前4m+2项的和.20（1）当时，则，当时，则,故，所以当时，总有 4分 （2）当时，故满足题意的n*同理可得，当或4时，满足题意的n*当或6时，满足题意的n*当时，故满足题意的k不存在当时，由（1）知，满足题意的k不存在综上得：当时，满足题意的n*； 当时，满足题意的n* 10分（3）由mn*，可得，故,当时，故且又，所以 故 =4 =4 = 16分四、分段函数的单调性1、（北京卷）已知是上的减函数，那么的取值范围是 2、函数在上单调，则的取值范围是 ( )3、已知函数满足对任意成