圆的极坐标方程

1、精选课件1 1.31.3简单曲线的极坐标方程简单曲线的极坐标方程 精选课件2 曲线的极坐标方程曲线的极坐标方程 一、定义：一、定义：如果曲线上的点与方程如果曲线上的点与方程 f( , )=0有如下关系有如下关系 ()曲线上任一点的坐标曲线上任一点的坐标(所有坐标中所有坐标中 至少有一个至少有一个)符合方程符合方程f( , )=0 ； ()方程方程f( , )=0的所有解为坐标的点的所有解为坐标的点 都在曲线上。都在曲线上。 则曲线的方程是则曲线的方程是f( , )=0 。 精选课件3 探究: 如图，半径为如图，半径为a的圆的圆心坐标为的圆的圆心坐标为 (a,0)(a0)，你能用一个等式表示，你

2、能用一个等式表示 圆上任意一点的极坐标圆上任意一点的极坐标( , )满足满足 的条件？的条件？ xC(a,0) O 精选课件4 ) 1 ()0 ,2(), 2 , 0( ) 1.(.cos2cos ),(,2 的坐标满足等式可以验证，点 即中 。在以外的任意一点，那么 ，为圆上除点设，那么是 交点。设圆与极轴的另一个解：圆经过极点 aAO aMOAOAOM AMORtAMOM AOMaOAA O 的点都在这个圆上。等式 ，可以验证，坐标适合满足的条件，另一方面 坐标就是圆上任意一点的极所以，等式 ) 1 ( ),() 1 ( 精选课件5 的极坐标方程。叫做曲线那么方程 上，的点都在曲线并且坐标

3、适合方程 一个满足方程一点的极坐标中至少有 上任意，如果平面曲线一般地，在极坐标系中 Cf Cf f C 0),( 0),( 0),( 的圆的极坐标方程。为 半径就是圆心在所以， a aaCa),0)(0 ,(cos2 极坐标方程：极坐标方程： 精选课件6 例例1、已知圆、已知圆O的半径为的半径为r，建立怎样的极坐，建立怎样的极坐 标系，可以使圆的极坐标方程简单？标系，可以使圆的极坐标方程简单？ x Or M 精选课件7 简单。上比 式合时的极坐标方程在形显然，使极点与圆心重 即为圆上任意一点，则设 都等于半径何特征就是它们的极径 几图），那么圆上各点的为极轴建立坐标系（如 出发的一条射线为极

4、点，从解：如果以圆心 ) 1 ( ,),( . r rOMM r OO 精选课件8 5 3cos5sin已知一个圆的方程是 求圆心坐 思考： 标和半径。 2 2222 5 3cos5sin 5 3 cos5 sin 5 35 5 35()()25 22 5 35 (,),5 22 xyxyxy 解： 两边同乘以 得 即化为直角坐标为 即 所以圆心为半径是 你可以用极坐标方程直接来求吗？你可以用极坐标方程直接来求吗？ 精选课件9 31 10(cossin)10cos() 226 (5,),5 6 解：原式可化为 所以圆心为半径为 O a aaa 此圆过极点 圆的极坐标方程为 半径为圆心为 )co

5、s(2 )0)(,( 精选课件10 练习 以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为为 半径的圆的方程是半径的圆的方程是 .2cos.2sin 44 .2cos1.2sin1 AB CD C 精选课件11 31 10(cossin)10cos() 226 (5,),5 6 解：原式可化为 所以圆心为半径为 O a aaa 此圆过极点 圆的极坐标方程为 半径为圆心为 )cos(2 )0)(,( 精选课件12 练习 以极坐标系中的点以极坐标系中的点(1,1)为圆心，为圆心，1为为 半径的圆的方程是半径的圆的方程是 .2cos.2sin 44 .2cos1.2sin1 AB CD

6、 C 精选课件13 题组练习题组练习1 1 求下列圆的极坐标方程求下列圆的极坐标方程 ()中心在极点，半径为中心在极点，半径为2； ()中心在中心在(a,0)，半径为，半径为a； ()中心在中心在(a, /2)，半径为，半径为a； ()中心在中心在( 0, )，半径为 ，半径为r。 2 2acos 2asin 2+ 0 2 -2 0 cos( - )= r2 精选课件14 方程是什么？ 化为直角坐标、曲线的极坐标方程sin41 4)2( 22 yx 圆的圆心距是多少？ 的两个和、极坐标方程分别是sincos2 1 cos( ,0) 2 sincos()cos() 22 12 sin( ,),

7、2 22 解：圆 圆心的坐标是 圆 圆 的圆心坐标是所以圆心距是 题组练习题组练习2 2 精选课件15 3cos() 4 、极坐标方程所表示的 曲线是（ ） A、双曲线、双曲线 B、椭圆、椭圆 C、抛物线、抛物线 D、圆、圆 D 为半径的圆。为圆心，以 解：该方程可以化为 2 1 ) 4 , 2 1 ( ) 4 cos( 精选课件16 4 1 ) 4 2 () 4 2 ( 0 2 2 2 2 sin 2 2 cos 2 2 4 sinsin 4 coscos 22 22 2 yx yxyx 即 解： 精选课件17 410cos() 3 、圆 的圆心坐标是 )0 , 5( 、A) 3 , 5(

8、、B) 3 , 5( 、C ) 3 2 , 5( 、D （ ） C 5(2,) 2 A 、写出圆心在点处且过极点的圆的 极坐标方程，并把它化成直角坐标方程。 2 2222 4cos()4sin 2 4 sin 4(2)4xyyxy 解： 化为直角坐标系为 即 精选课件18 2 12 6:2cos ,:2 3 sin20,CC、已知圆圆 试判断两圆的位置关系。 所以两圆相外切。 半径为，圆心 半径为圆心 坐标方程为解：将两圆都化为直角 2 1)3, 0(1)3(: 1)0 , 1 (, 1) 1( : 21 2 22 2 1 22 1 OO OyxC OyxC 精选课件19 78cosOCON

9、ON 、从极点 作圆 ： 的弦， 求的中点的轨迹方程。 O N M C(4,0)(4,0), 4, , 4cos C rOC CMMON CMON M 解：如图，圆 的圆心 半径 连结，是弦的中点 所以，动点的轨迹方程是 精选课件20 化为直角坐标方程。 把极坐标方程 练习 cos2 4 16483 16844 )4(4 42 4cos2 22 222 22 yxx xxyx x x 两边平方得： 即 解：方程可化为 精选课件21 直线的极坐标方程直线的极坐标方程 精选课件22 答：与直角坐标系里的情况一样，求答：与直角坐标系里的情况一样，求 曲线的极坐标方程就是找出曲线上动曲线的极坐标方程就

10、是找出曲线上动 点的坐标点的坐标 与与 之间的关系，然后列之间的关系，然后列 出方程出方程 ( , )=0 ，再化简并讨论。，再化简并讨论。 怎样求曲线的极坐标方程？怎样求曲线的极坐标方程？ 精选课件23 例题例题1：求过极点，倾角为：求过极点，倾角为 的射线的射线 的极坐标方程。的极坐标方程。 4 o M x 4 分析：分析： 如图，所求的射线如图，所求的射线 上任一点的极角都上任一点的极角都 是是 ，其，其/ 4 极径可以取任意的非负数。故所求极径可以取任意的非负数。故所求 直线的极坐标方程为直线的极坐标方程为 (0) 4 新课讲授新课讲授 精选课件24 1、求过极点，倾角为、求过极点，倾

11、角为 的射线的极的射线的极 坐标方程。坐标方程。 5 4 易得易得 5 (0) 4 思考：思考： 2、求过极点，倾角为、求过极点，倾角为 的直线的极的直线的极 坐标方程。坐标方程。 4 5 44 或或 精选课件25 和前面的直角坐标系里直线方程和前面的直角坐标系里直线方程 的表示形式比较起来，极坐标系里的的表示形式比较起来，极坐标系里的 直线表示起来很不方便，要用两条射直线表示起来很不方便，要用两条射 线组合而成。原因在哪？线组合而成。原因在哪？ 0 为了弥补这个不足，可以考虑允许为了弥补这个不足，可以考虑允许 极径可以取全体实数。则上面的直极径可以取全体实数。则上面的直 线的极坐标方程可以表

12、示为线的极坐标方程可以表示为 () 4 R 或或 5 () 4 R 精选课件26 例题例题2、求过点求过点A(a,0)(a0)，且垂直，且垂直 于极轴的直线于极轴的直线L的极坐标方程。的极坐标方程。 解：如图，设点解：如图，设点 ( , )M 为直线为直线L上除点上除点A外的任外的任 意一点，连接意一点，连接OM o x A M 在在 中有中有 Rt MOA cosOMMOAOA 即即cosa 可以验证，点可以验证，点A的坐标也满足上式。的坐标也满足上式。 精选课件27 求直线的极坐标方程步骤求直线的极坐标方程步骤 1、根据题意画出草图；、根据题意画出草图； 2、设点、设点 是直线上任意一点；

13、是直线上任意一点；( , )M 3、连接、连接MO； 4、根据几何条件建立关于、根据几何条件建立关于 的方的方 程，并化简；程，并化简； , 5、检验并确认所得的方程即为所求。、检验并确认所得的方程即为所求。 精选课件28 练习：练习：设点设点P的极坐标为的极坐标为A ，直，直 线线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直求直 线线 的极坐标方程。的极坐标方程。 ( ,0)a l l 解：如图，设点解：如图，设点 ( , )M 为直线为直线 上异于的点上异于的点 l 连接连接OM， o M x p 在在 中有中有 MOA sin()sin() a 即即 sin()sina 显然

14、显然A点也满点也满 足上方程。足上方程。 精选课件29 例题例题3设点设点P的极坐标为的极坐标为 ，直线，直线 过点过点P且与极轴所成的角为且与极轴所成的角为 ,求直线求直线 的极坐标方程。的极坐标方程。 11 (,) l l o x M P 1 1 精选课件30 解：如图，设点解：如图，设点 ( , )M 点点P外的任意一点，连接外的任意一点，连接OM 为直线上除为直线上除 则则 由点由点P的极坐标知的极坐标知 ,OMxOM 1 OP 1 xOP 设直线设直线L与极轴交于点与极轴交于点A。则。则在在 MOP 1 ,()OMPOPM 由正弦定理得由正弦定理得 1 1 sin()sin() 11

15、 sin()sin() 显然点显然点P的坐标的坐标 也是它的解。也是它的解。 精选课件31 平行于极轴的直线。、求过点练习) 4 , 2(1 A O H M A ) 4 , 2( ( , ) (2,) 4 2 sin2 4 sin , sin2 (2,) 4 sin2 lM A MH Rt OMHMHOM A 解：在直线 上任意取点 在中， 即 所以，过点平行于极轴的直线方程 为 精选课件32 的直线的极坐标方程。且斜率为、求过2)3 , 2(2A 程这就是所求的极坐标方 得 代入直线方程将 为直线上的任意一点，设 角坐标系内直线方程为解：由题意可知，在直 07sincos2 072 sin,

16、cos ),( 072 yx yx M yx 精选课件33 表示的曲线是、极坐标方程)( 3 1 sin3R A、两条相交的直线、两条相交的直线B、两条射线、两条射线 C、一条直线、一条直线 D、一条射线、一条射线 所以是两条相交直线 两条直线 即所以得 可得解：由已知 042:, 042: 4 2 4 2 tan 3 22 cos 3 1 sin 21 yxlyxl x y 精选课件34 4cos2 4 cos2,sin2 sin2,2sin AB CD 、直线关于直线 对称的直线 方程为 、 、 ( )B 2sin 2 2 化为极坐标方程为即 的对称直线的问题 关于线解：此题可以变成求直 y xyx 精选课件35 3cos3cos 33sin33sin ) 6 sin(12 5 、 、 直线的极坐标方程是 的，则过圆心与极轴垂直 一个圆的方程为、在极坐标系中，已知 DC BA ( ) C 精选课件36 4cos, 4cos 2cos, 2sin sin46 、 、 直线的方程是 相切的一条、在极坐标系中，与圆 DC BA ( )B 2cos2 4)2(04 sin4 2222 化为极坐标方程为 圆的方程为那么一条与此圆相切的 即 的化为直角坐标方程是解：圆 x yxyyx 精选课件37