初中数学锐角三角函数的单元检测附答案

1、初中数学锐角三角函数的单元检测附答案一、选择题1如图， AB 是垂直于水平面的建筑物为测量AB的高度，小红从建筑物底端 B点出发，沿水平方向行走了 52 米到达点 C，然后沿斜坡 CD前进，到达坡顶 D 点处，DC BC 在点 D处放置测角仪，测角仪支架 DE高度为 0.8 米，在 E点处测得建筑物顶 端 A 点的仰角 AEF 为 27（点 A，B，C，D，E 在同一平面内） AB 的高度约为（ ）斜坡 CD 的坡度（或坡比） i 1: 2.4 ，那么建筑物cos270.89 ， tan270.51)A65.8 米 【答案】 B 【解析】 【分析】B 71.8 米C 73.8 米D 119.8

2、 米过点 E作 EMAB 与点 M，根据斜坡 CD的坡度（或坡比）1:2.4 可设 CDx ，则CG 2.4 x ，利用勾股定理求出 长由矩形的判定定理得出四边形 由锐角三角函数的定义求出 AM 【详解】EG的EG ，再x 的值，进而可得出 CG与 DG 的长，故可得出 EGBM是矩形，故可得出 EM BG， BM 的长，进而可得出结论解：过点 E作EM AB与点 M，延长 ED交BC于 G， 斜坡 CD的坡度（或坡比） i 1: 2.4， BC CD 52米， 设 DG x，则 CG 2.4 x在 Rt CDG 中， DG2 CG2 DC2，即 x2 （2.4 x） 2 522 ，解得 x=

3、 20， DG20米， CG48米， EG20 0.8 20.8 米，BG52 48 100 米 EMAB ， ABBG，EGBG，四边形EGBM是矩形， EMBG 100 米，BMEG20.8米在 Rt AEM 中， AEM 27 ， AM?EM ? tan 271000.5151米， AB AM BM 51 20.8 71.8 米故选 B度本题考查的是解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三 角形是解答此题的关键2在半径为 1的eO中，弦 AB 、 AC的长度分别是 3， 2，则 BAC 为（A 75 【答案】 CB15或 30C 75或 15D15或 45到 0.

4、1米，参考数据： sin400.64， cos40 0.77， tan40 0.84 )解析】分析】根据题意画出草图，【详解】因为 C 点位置待定，所以分情况讨论求解3，AE222sinAOD= 3， AOD=60；22sin AOE=， AOE=45 ；2 BAC=75当两弦共弧的时候就是 15故选： C【点睛】 此题考查垂径定理，特殊三角函数的值，解题关键在于画出图形如36米，）（精确3在课外实践中，小明为了测量江中信号塔A离河边的距离 AB ，采取了如下措施图在江边 D处，测得信号塔 A的俯角为 40 ，若 DE 55米， DE CE， CECE平行于 AB， BC的坡度为 i 1: 0

5、.75，坡长 BC 140米，则 AB的长为 （C 78.8 米D 78.9 米【答案】 C【解析】【分析】AB的长如下图，先在 RtCBF中求得 BF、CF的长，再利用 RtADG 求 AG的长，进而得到 度【详解】如下图，过点 C作 AB的垂线，交 AB延长线于点 F，延长 DE交 AB延长线于点 GBC 的坡度为 1:0.75设 CF为 xm，则 BF 为 0.75xmBC=140m在 RtBCF中， x2220.75x 1402 ，解得： x=112CF=112m， BF=84m DECE，CEAB，DGAB， ADG 是直角三角形 DE=55m， CE=FG=36mDG=167m，B

6、G=120m 设 AB=ym DAB=40DG 167 tan40 =0.84AG y 120 解得： y=78.8 故选： C【点睛】 本题是三角函数的考查，注意题干中的坡度指的是斜边与水平面夹角的正弦值4如图，点 E从点 A出发沿 AB方向运动，点 G从点 B 出发沿 BC方向运动，同时出发 且速度相同， DE GF AB （ DE 长度不变， F 在 G 上方， D 在 E 左边），当点 D 到 达点 B 时，点 E停止运动在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是A一直减小B一直不变C先减小后增大D先增大后减小【答案】 B【解析】【分析】连接GE，过点 E作EMBC于M，过点

7、G作GNAB于N，设 AE=BG=x，然后利用锐角三 角函数求出 GN 和 EM，再根据 S 阴影=SGDE SEGF即可求出结论【详解】解：连接 GE，过点 E作 EMBC于 M，过点 G作 GNAB于N设 AE=BG=x，则 BE=AB AE=ABxGN=BG sinB=x sinB，EM=BE sinB=（ ABx） sinB S 阴影 =SGDE SEGF11= DEGN GFEM2211= DE（ xsinB） DE（AB x） sinB221= DEx sinB（ AB x） sinB21= DEABsinB2DE、AB和 B都为定值S 阴影也为定值故选 B【点睛】 此题考查的是锐

8、角三角函数和求阴影部分的面积，掌握利用锐角三角函数解直角三角形和 三角形的面积公式是解决此题的关键5如图，在 ABC中， AC BC， ABC 30 ，点 D是 CB延长线上的一点，且 BD BA， 则 tanDAC 的值为（ ）A2 3B 2 3C 3 3D 3 3【答案】 A【解析】【分析】【详解】设 AC=x，在 RtABC中， ABC=30，即可得 AB=2x，BC= 3 x，所以 BD=BA=2x，即可得 CD= 3 x+2x=( 3 +2) x，在 RtACD中， tan DAC=CD ( 3 2)x 3 2 ，AC x 故选 A.A 与点 B6直角三角形纸片的两直角边长分别为6，

9、8，现将 VABC 如图那样折叠，使点)A 7B37C24D【答案】 CBE=AE设 BE=x，则 CE=8-x【解析】 试题分析：根据题意， 在 RtBCE中， x2=(8-x) 2+62，2525 7解得 x= 25 ，故 CE=8-25 = ，44 4tan CBE=CE7 .CB 24故选 C.考点：锐角三角函数 .7如图，为了测量某建筑物 MN的高度，在平地上 A处测得建筑物顶端 M 的仰角为 30，向 N 点方向前进 16m 到达 B处，在 B 处测得建筑物顶端 M 的仰角为 45，则建筑物 MN 的高度等于 ( )C16( 3 1)m【答案】 A【解析】设 MN=xm ，在 Rt

10、BMN 中, MBN=45，BN=MN=x，B 8( 3D 16( 31)m1)m在 RtAMN 中 ,tan MAN= MN ，ANx tan30 =33，16 x 解得： x=8( 3 +1)， 则建筑物 MN 的高度等于 8( 3 +1)m ； 故选 A.要明确哪个角是仰角，哪点睛：本题是解直角三角形的应用，考查了仰角和俯角的问题， 个角是俯角，知道仰角是向上看的视线与水平线的夹角，俯角是向下看的视线与水平线的 夹角，并与三角函数相结合求边的长 .8如图，四边形 ABCD内接于 eO， AB为直径， AD CD，过点 D作DE AB于点E ，连接 AC 交 DE 于点 F .若 sinC

11、AB35，DF 5，则 AB的长为 (B12A10【答案】 D【解析】【分析】连接 BD ，如图，先利用圆周角定理证明 弦的定义计算出 EF 3 ，则 AE 4， 到 BE 16 ，所以 AB 20 DEC16D20ADEDAC 得到 FD FA 接着证明 ADE DBE ，5 ，再根据正 利用相似比得【详解】解：连接 BD ，如图，Q AB 为直径，ADB ACB 90 ，Q AD CD ，DAC DCA ，而 DCAABD ，DACABD ， DE AB ，ABDBDE 90而 ADEBDE90 ，ABDADE ，ADEDAC ，FD FA5，在 Rt AEF中， Q sinCABEF3，

12、AF5，EF 3 ，AE 52232 4 ，DE538，Q ADEDBE，AEDBED ，ADEDBE ，DE : BEAE:DE ，即 8:BE4:8BE 16 ，AB 416 20 故选： D【点睛】 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧 所对的圆心角的一半推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 90 的圆周角所对的 弦是直径也考查了解直角三角形9如图， 4 个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点，己知菱形的一 个内角为 60， A、 B 、 C都是格点，则 tan ABC （ ）AB3C33D答案】 A解析】分析】直接利用菱形的

13、对角线平分每组对角，结合锐角三角函数关系得出EF的, 长，进而利用ECtan ABC EBCE 得出答案由题意可得 :AFC=30, DCAF,设 EC=x,则 EF= x = 3x ,tan30 BF AF 2EF 2 3xEC x 1 3tan ABC,BE 2 3x 3x 3 3 9故选 :A【点睛】EF的长是解题关键此题主要考查了菱形的性质以及解直角三角形，正确得出10如图，一艘轮船位于灯塔 P的北偏东 60方向，与灯塔 P的距离为 30 海里的 A处，轮 船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东 30方向上的 B 处，则此时轮船所在位置 B 与灯塔 P之间的距离为 ( )A

14、60 海里B45 海里C20 3 海里D30 3 海里【答案】 D【解析】【分析】根据题意得出： B=30，AP=30 海里， APB=90，再利用勾股定理得出 BP的长，求出答 案【详解】解：由题意可得： B=30， AP=30海里， APB=90，故 AB=2AP=60（海里），则此时轮船所在位置 B 处与灯塔 P之间的距离为： BP= AB2 AP2 30 3（海里） 故选： D【点睛】 此题主要考查了勾股定理的应用以及方向角，正确应用勾股定理是解题关键11如图，河堤横断面迎水坡 AB的坡比是，堤高 BC=10m，则坡面 AB 的长度是解析】C20mD分析】 【详解】解:RtABC中，

15、BC=10m，tanA=AC= =mAB=m故选 C点睛】本题考查解直角三角形的应用（坡度坡角问题）,锐角三角函数 ,特殊角的三角函数值及勾股定理 ,熟练掌握相关知识点正确计算是本题的解题关键，且12如图，在矩形 ABCD中， AB 4,DE AC ，垂足为 E，设 ADEA3B16C2016D5答案】 C解析】分析】根据同角的余角相等求出ADE=ACD，再根据两直线平行，内错角相等可得BAC=ACD，然后求出 AC【详解】 解： DE AC， ADE+ CAD=90 ， ACD+ CAD=90 ， ACD= ADE=，矩形 ABCD 的对边 ABCD， BAC= ACD，3AB3 cos=

16、， ，5AC55 20 AC=433故选： C【点睛】 本题考查了矩形的性质，勾股定理，锐角三角函数的定义，同角的余角相等的性质， 各性质并求出 BC 是解题的关键13将一副直角三角板如图放置，点C在 FD的延长上， ABCF， F ACB 90， E30， A45，AC12 2 ，则 CD的长为（ ）A4 3B 124 3C12 6 3D 6 3【答案】 B【解析】【分析】过点 B作 BM FD于点 M，根据题意可求出 BC的长度，然后在 EFD中可求出 EDF 60，进而可得出答案【详解】解：过点 B 作 BM FD于点 M，在ACB中， ACB90， A 45，AC12 2 ， BC A

17、C 12 2 BM BCsin45122ABCF，CMBM12， 在EFD中， F 90， E30， EDF 60， MDBMtan604 3 ， CDCMMD12 4 3 故选 B【点睛】 本题考查了解直角三角形，难度较大，解答此类题目的关键根据题意建立直角三角形利用 所学的三角函数的关系进行解答14如图，点 E 是矩形 ABCD的边 AD的中点，且 BE AC于点 F，则下列结论中错误的是 （）1A AF CF2B DCF DFCC图中与 AEF相似的三角形共有 5 个D tan2答案】 D解析】分析】11AE AF 1由 AE= AD= BC，又 ADBC，所以，故 A 正确，不符合题意

18、；22BC FC 21过 D 作 DMBE交 AC于 N，得到四边形 BMDE 是平行四边形，求出 BM=DE= BC，得到CN=NF，根据线段的垂直平分线的性质可得结论，故B 正确，不符合题意；根据相似三角形的判定即可求解，故 C 正确，不符合题意； 由BAE ADC，得到 CD与 AD 的大小关系，根据正切函数可求tanCAD的值，故 D错误，符合题意【详解】 解：A、 ADBC， AEF CBF，AE AFBC FC11AE AD BC，22AF 1 1 ，故 A 正确，不符合题意；FC 2B、过 D 作 DMBE交 AC 于 N， DEBM，BEDM， 四边形 BMDE 是平行四边形，

19、1BM DE BC，BMCM，CNNF，BEAC于点 F， DMBE，2DNCF，DF DC， DCF DFC，故 B正确，不符合题意；C、图中与 AEF相似的三角形有 ACD，BAF，CBF，CAB，ABE共有 5 个，故 C正 确，不符合题意baD、设 ADa， AB b 由 BAE ADC，有 a2tanCAD CD b 2 ，故 D 错误，符合题意AD a 2 故选： D【点睛】 本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，图形面积的计算，正确的作出辅助线 是解题的关键15如图，等边 VABC 边长为 a，点O是VABC 的内心， FOG ，分别交线段 AB、 BC于D、 E两点，连

20、接 DE， VODE 形状不变； VODE 的面积最小不会小于四边形 四边形 ODBE 的面积始终不变；FOG 120 ，绕点 O 旋转给出下列四个结论：ODBE的面积的四分之一； VBDE 周长的最小值为 1.5a 上述结论中正确的3C2D1【解析】【分析】连接 OB、OC，利用 SAS证出 ODB OEC，从而得出 ODE是顶角为 120的等腰三角1形，即可判断 ；过点 O 作 OHDE，则 DH=EH，利用锐角三角函数可得 OH= OE 和23DE= 3 OE，然后三角形的面积公式可得 SODE= 3 OE2，从而得出 OE 最小时， SODE最4小，根据垂线段最短即可求出 SODE的最

21、小值，然后证出 S四边形 ODBE=SOBC= 3 a2即可判断12 和 ；求出 VBDE 的周长 =aDE，求出 DE 的最小值即可判断 【详解】 解：连接 OB、OC VABC 是等边三角形，点 O 是 VABC 的内心， ABC=ACB=60，BO=CO，BO、CO平分 ABC和 ACB11 OBA=OBC= ABC=30， OCA=OCB= ACB=3022 OBA=OCB， BOC=180 OBC OCB=120 FOG 120 FOG BOC FOG BOE= BOC BOE BOD=COE 在ODB 和OEC中BOD COEBO COOBD OCE ODB OECOD=OE OD

22、E是顶角为 120的等腰三角形， VODE 形状不变，故 正确； 过点 O 作 OHDE，则 DH=EH ODE是顶角为 120的等腰三角形1 ODE= OED= （ 180 120） =302 13OH=OEsinOED= OE， EH= OEcosOED= 3 OE 22DE=2EH= 3 OESODE= 1 DEOH= 3 OE2 2 4 OE 最小时， SODE 最小， 过点 O作OEBC于E，根据垂线段最短， OE即为 OE的最小值22在 Rt OBE中OE =BE OtaBnE= 1 a 3 = 3 a2 3 6SODE的最小值为3 OE2= 3 a24 48 ODB OEC13S

23、 四边形 ODBE=SODB SOBE= SOECSOBE=SOBC= BC OE= a 2 2 123 2 1 248 a = 4 12 a1 SODE S 四边形 ODBE4即 VODE 的面积最小不会小于四边形 ODBE 的面积的四分之一，故 正确； S= 3 2 S 四边形 ODBE= a12四边形 ODBE 的面积始终不变，故 正确； ODB OECDB=ECVBDE 的周长 =DBBE DE= ECBEDE=BCDE=aDEDE最小时 VBDE 的周长最小DE= 3 OEOE 最小时， DE 最小 而 OE 的最小值为 OE= 3 a6DE 的最小值为 3 361a= a2 VBD

24、E 的周长的最小值为1a 21a=1.5a ，故 正确；综上： 4 个结论都正确，故选 A【点睛】此题考查的是等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三角函数、三角形的面 积公式和垂线段最短的应用，掌握等边三角形的性质、全等三角形的判定及性质、锐角三 角函数、三角形的面积公式和垂线段最短是解决此题的关键15 ，那么下列等式正确的是（）16已知在 Rt ABC 中， C 90 ，AC 8, BCA sinA 8178B cosA=158C tan A =178D cot A=15答案】 D解析】 【分析】 根据锐角三角函数的定义进行作答详解】由勾股定理知， AB=17；A.sin A BA

25、CB1517AC 8,所以 A错误； B.cos A AACB 187，所以， B错误； C.tan A BACC15 ，所以， C错误；8D.cot A AC = 8 ，所以选 D.BC 15【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握锐角三角函数的定义是本题解题关键17如图，已知 O上三点 A，B，C，半径 OC=1， ABC=30，切线 PA交 OC延长线于点P，则 PA 的长为（BD答案】 B解析】分析】 连接 OA，由圆周角定理可求出 AOC=60 ，再根据 AOC的正切即可求出 PA的值 . 【详解】 连接 OA， ABC=30， AOC=60 ， PA 是圆的切线， PAO=9

26、0 ，PAtan AOC = ,OAPA= tan60 1= 3 . 故选 B.点睛】本题考查了圆周角定理、切线的性质及锐角三角函数的知识，根据圆周角定理可求出 AOC=60是解答本题的关键 .18如图 1，在ABC中， B90， C 30，动点 P从点 B 开始沿边 BA、AC向点 C以 恒定的速度移动，动点 Q 从点 B 开始沿边 BC向点 C以恒定的速度移动，两点同时到达点 C，设BPQ的面积为 y（cm2）运动时间为 x（ s）， y 与 x之间关系如图 2所示，当点 PD 4 3答案】 C解析】分析】 【详解】点 P、Q 的速度比为 3： 3 ，根据 x2，y6 3 ，确定 P、Q运动的速度，即可求解解：设 AB a， C 30，则 AC 2a ， BC 3 a， 设 P、 Q 同时到达的时间为 T，则点 P的速度为 3a，点 Q的速度为 3a ，故点 P、 Q的速度比为 3： 3， TT故设点 P、 Q的速度分别为： 3v