专题训练23：相似三角形-2021年中考数学一轮复习知识点课标要求

1、2021年中考数学一轮复习知识点课标要求专题训练23：相似三角形（含答案）一、知识要点：1、相似多边形定义1：形状相同的图形叫做相似图形。定义2：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。性质相似多边形的对应角相等，对应边成比例。2、相似三角形的判定定义：三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形相似。定理：平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。推论：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。判定1：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原

2、三角形相似。判定2：三边成比例的两个三角形相似。判定3：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。判定4：两角分别相等的两个三角形相似。3、相似三角形的性质相似三角形的对应角相等，对应边成比例；相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比；相似三角形对应线段的比等于相似比；相似三角形周长的比等于相似比；相似三角形面积的比等于相似比的平方。4、位似图形定义：如果两个图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心。这时的相似比又叫位似比。二、课标要求：1、了解比例的基本性质、线段的比、成比例的线段；通过建筑、艺术上的实例了解黄金分割。

3、2、通过具体实例认识图形的相似。了解相似多边形和相似比。3、掌握基本事实：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。4、了解相似三角形的判定定理：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。5、了解相似三角形的性质定理：相似三角形对应线段的比等于相似比；面积比等于相似比的平方。6、了解图形的位似，知道利用位似可以将一个图形放大或缩小。7、会利用图形的相似解决一些简单的实际问题。8、在直角坐标系中，探索并了解将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点、有一条边在横坐标轴上)分别扩大或缩小相同倍数时所对应的图形与原图形是位似的。三、常见考点：

4、1、比例的基本性质、线段的比、成比例的线段。2、相似多边形的性质。3、相似三角形的性质及判定。4、相似三角形的性质和判定在几何问题中的综合运用。5、位似图形及坐标的位似。四、专题训练：1两个相似三角形面积比是4：9，其中一个三角形的周长为18，则另一个三角形的周长是（）A12B12或24C27D12或272如图，在ABC中，AC4，D是AC上一点，AD1，M、N分别是BD、BC的中点，若ABDACB，则的值是（）ABCD3已知等腰ABC的底角为75，则下列三角形一定与ABC相似的是（）A顶角为30的等腰三角形B顶角为40的等腰三角形C等边三角形 D顶角为75的等腰三角形4如图，在ABC中，D、

5、E分别是AB、BC边上的点，连接DE并延长，与AC的延长线交于点F，且AD3BD，EF2DE，若CF2，则AF的长为（）A5B6C7D85如图，矩形ABCD中，AB4，BC2，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，如图所示CD所在直线与AE、GF交于点H、I，CHIH则线段HI的长度为（）A3B2C5D6如图，l1l2l3，直线a，b与l1，l2，l3分别交于点A、B、C和点D、E、F，若AB：BC2：3，EF6，则DE的长是（）A8B9C4D107如图，在ABCD中，点O是对角线BD上的一点，且，连结CO并延长交AD于点E，若COD的面积是2，则四边形ABOE的面积是

6、（）A3B4C5D68如图，在ABC中，BDAC于点D，AEBC于点E，交BD于点F，下列三角形中不一定与BCD相似的是（）ABFEBAFDCACEDBAE9如图，ABC的两个顶点B、C均在第一象限，以点A（0，1）为位似中心，在y轴左侧作ABC的位似图形ADE，ABC与ADE的位似比为1：2若点C的纵坐标是m，则其对应点E的纵坐标是（）AB2m+3C（2m+3）D2m+310如图，点A在O上，BC为O的直径，AB8，AC6，D是的中点，CD与AB相交于点P，则CP的长为（）AB3CD11如图，ABBC，DCBC，点E在BC上，AEDE，DC1，BE3，BC5，则AB 12生活中到处可见黄金分

7、割的美如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近黄金比，可以增加视觉美感若图中b为2米，则a约为 米13如图，在平行四边形ABCD中，E是BC上一点，BE：EC1：2，AE与BD相交于F，则SADF：SEBF 14如图，ABCDEF，ABAC5，BCEF6，点E在BC边上运动（不与端点重合），边DE始终过点A，EF交AC于点G，当AEG是等腰三角形时，AEG的面积是 15已知（x，y，z均不为零），则 16如图，二次函数y2的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点C，连接BC，在线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线交二次函数的图象于点N，交x轴于点M

8、，若CPN与BPM相似，则点P的坐标为 17如图，ABC中，AB3，AC4，D是AB的中点，在边AC上确定点E的位置，使得ADEACB，则AE的长为 18如图，在ABC中，D在AC边上，AD：DC1：2，O是BD的中点，连接AO并延长交BC于点E，若BE3，则EC的长为 19如图，在等腰ABC中，ABAC1，AD平分BAC，点E在BA的延长线上，EDEC，DE交AC于点F，则图中与AFE相似的三角形为 ；AF的长为 20如图，O是ABC的外接圆，D是的中点，连接AD，BD，BD与AC交于点E，请写出图中所有与ADE相似的三角形 21如图，在ABC中，点D是AB上一点（不与A、B重合），过点D作

9、DEBC，交AC于点E连接CD，若ACDB（1）求证：CD2DEBC；（2）若DE3，BC4，求的值22如图，正方形ABCD的边长为2，点P是BC边上的一个动点（点P不与点B、C重合），连接AP，过点P作PQAP交DC于点Q（1）求证：ABCQPBPC；（2）当CQ最大时，求BP的长23如图，在ABC中，ABAC5，BC6，D是BC上一点，BD2，E、F分别是AB、AC边上的动点，且EDFB（1）找出图中与BDE相似的三角形，并说明理由；（2）是否存在这样的位置，使DEEF？若存在，求出BE的长；若不存在，说明理由24如图，AB是O的直径，CD是O的切线，C在AB的延长线上（1）求证：CADC

10、DB；（2）若C30，AC9，求DBC的面积25如图，已知等边ABC的边长为8，点M、N分别在AB、AC边上，CN3（1）把ABC沿MN折叠，使得点A的对应点是点A落在AB边上（如图1），求折痕MN的长度；（2）如图2，若点P在BC上运动，且始终保持MPN60请判断MBP和PCN是否相似？并说明理由；当点P在何位置时线段BM长度最大，并求出线段BM长度的最大值26如图1，已知ABC、DBE都是等腰直角三角形，ACBDEB90，BC2，E为BC的中点，将DEB绕点B顺时针旋转角（0360），如图2，连接AD，CE（1）求证：ADBCEB（2）当60时，求AD的值（3）当A、D、E三点在同一直线上

11、时，求CE的长27如图，AB是O的直径，C、D是圆上两点，CDBD，过点D作AC的垂线分别交AC，AB延长线于点E，F（1）求证：EF是O的切线；（2）若AE3，sinEAF，求O的半径参考答案1解：两个相似三角形面积比是4：9，两个相似三角形相似比是2：3，两个相似三角形周长比是2：3，一个三角形的周长为18，设另一三角形周长为x，18：x2：3或x：182：3，解得：x12或27，另一个三角形的周长是12或27，故选：D2解：M、N分别是BD、BC的中点，AM，AN分别是ABD，ABC的中线，ABDACB，BADCAB，ABDACB，AB2，故选：C3解：等腰ABC的底角为75，等腰ABC

12、的三角分别为30，75，75，一定与ABC相似的是顶角为30的等腰三角形，故选：A4解：过点F作FGAB，交BC延长线于点G，则BEDGEF，即FG2BD，AD3BD，AB4BD，AB2FG，FGAB，ACBFCG，2，AC2CF4，AFAC+CF6，故选：B5解：如图，连接AI，AC，以点A为旋转中心将矩形ABCD旋转，旋转后的矩形记为AEFG，AGAD，GAEDAB90，在RtAGI和RtADI中，RtAGIRtADI（HL），GAIDAI，90GAI90DAI，IAHAID，IHAH，又IHHC，IHHCAH，IAC90，DAI+DAC90，又DAC+DCA90，DAIDCA，又ADIA

13、DC90，ADICDA，DI1，CIID+CD5，IHIC，故选：D6解：l1l2l3，AB：BC2：3，EF6，DE4，故选：C7解：，COD的面积是2，BOC的面积为4，四边形ABCD是平行四边形，ADBC，SABDSBCD2+46，DOEBOC，（）2，SDOE1，四边形ABOE的面积615，故选：C8解：BDAC，AEBC，BDCAEC90，DBC+CEAC+C90，DBCEAC，ACEBCD，又ADFBDC90，AFDBCD，FBEDBC，BEFBDC90，BFEBCD，一定与BCD相似的是BFE，AFD，ACE，故不一定与BCD相似的是BAE故选：D9解：设点C的纵坐标为m，则A、

14、C间的纵坐标的长度为（m1），ABC放大到原来的2倍得到ADE，E、A间的纵坐标的长度为2（m1），点E的纵坐标是2（m1）1（2m3）2m+3故选：D10解：如图，过点P作PHBC于H，ACDBCD，BC是直径，BAC90，PAAC，PHBC，PAPH，在RtPCA和RtPCH中，RtPCARtPCH（HL），ACCH6，BC10，BH4，设PAPHx，则PB8x，在RtPBH中，PB2PH2+BH2，（8x）2x2+42，解得x3，PA3，CP3，故选：B11解：ABBC，DCBC，BC90，BAE+AEB90，AEDE，AED90，AEB+DEC90，DECBAE，ABEECD，AB6，

15、故答案为：612解：雕像的腰部以下a与全身b的高度比值接近黄金比，ab2（1）米，故答案为：（1）13解：四边形ABCD是平行四边形，ADBC，ADBC，ADFEBF，BE：EC1：2，BE：BC1：3，BE：AD1：3，AD：BE3：1，SADF：SEBF32：129故答案为：914解：AEFBC，且AGEC，AGEAEF，AEAG；当AEEG时，则ABEECG，CEAB5，BEBCEC651，过点AMBC于点M，ABAC5，BC6，BM3，AM4，SABESCEG142，SAEGSABC2SABE64228，当AGEG时，则GAEGEA，GAE+BAEGEA+CEG，即CABCEA，又CC

16、，CAECBA，CE，BE6，CEGBAE，ABEECG，CG，AG5，EAGAEGBC，GAEABC，SEAG12故答案为：8或15解：（x，y，z均不为零），设x6k，则y4k，z3k，故答案为：16解：对于抛物线y2，令x0，得到y2，可得C（0，2），令y0，可得02，解得x3或，A（，0），B（3，0），直线BC的解析式为yx2，设P（m，m2），BPMCPN，当CNAB时，PBMPCN，此时PCNPBM，N（，2），P（，），当NCBC时，PCNPMB90，此时PCNPMB，过点N作NHy轴于HN（m，m2m2），OCB+NCH90，OCB+OBC90，OBCNCH，tanNCHt

17、anOBC，m，P（，），综上所述，满足条件的点P的坐标为（，）或（，），故答案为：（，）或（，）17解：AB3，D是AB的中点，ADAB，当ADEACB时，则AE：ABAD：AC，即AE：3：4，AE，故答案为：18解：过D点作DFCE交AE于F，如图，DFBE，O是BD的中点，OBOD，DFBE3，DFCE，AD：DC1：2，AD：AC1：3，CE3DF339故答案为919解：（1）ABAC，EDEC，ABCACB，EDCECD，EDCABC+BED，ECDACB+ACEECAFEA，FAEEAC，AFEAEC（2）如图，作EGCD交CD于点G，EDEC，ADEG，2，解得，AFEAEC，

18、解得故答案为：20解：，ABDDBC，DAEDBC，DAEABD，ADEADB，ADEBDA，DAEEBC，AEDBEC，AEDBEC，故答案为：CBE，BDA21（1）证明：DEBC，EDCDCB，又ACDB，DECCDB，CD2DEBC；（2）解：CD2DEBC，DE3，BC4，CD212，CD2（负值舍去），DECCDB，DEBC，22（1）证明：四边形ABCD是正方形，BC90PQAP，APB+QPC90，APB+BAP90，BAPQPC，ABPPCQ，ABCQPBPC；（2）解：设BPx，CQy，由（1）得2yx（2x），开口向下，对称轴是x1，且x的范围是0x2，当x1时，y有最大

19、值为，即当CQ最大时，BP123解：（1）CFDBDE，理由如下：ABAC，BC，EDCEDF+FDCB+BED，EDFB，FDCBED，CFDBDE；（2）存在理由如下：如图，过点A作AHBC于点H，ABAC5，BC6，BHBC63，DEFAHB90，EDFB，ABHFDE，DE：BHDF：AB，DE：3DF：5，DE：DF3：5，CFDBDE，BE：CDDE：DF3：5，BD2，BC6，CD4，BE：43：5，BE24（1）证明：如图，连接OD，OBOD，ODBABD，CD是O的切线，ODC90，ODB+CDB90，AB 是O的直径，ADB90，ABD+BAD90，CADCDB，又CC，CADCDB；（2）解：ODC90，C30，OC2OD，AB是O的直径，AC9，OAOBODBCAC3，由（1）得：CADCDB，CD：CBCA：CD，CD2CBCA3927，CD3，OCD的面积ODCD33，又BCOB，DBC面积OCD的面积25解：（1）等边ABC的边长为8，ABC60，ABBCAC8，CN3，AN5，把ABC沿MN折叠，点A的对应点A恰好落在AB边上，NMA90