专题讲座一知能训练轻松闯关

1、1(2014 高考浙江卷改编 )已知函数 f(x) x3 3|xa|(a0)，若 f(x)在1，1上的最小 值记为 g(a)求 g( a)解： 因为 a0， 1 x 1，所以(1)当 0 a1 时，若 x1，a，则 f(x)x3 3x 3a， f(x) 3x230，故 f(x)在(a，1)上是增函数所以 g(a) f(a)a3.(2)当 a1时，有 xa，则 f(x)x33x3a，f(x)3x230，故 f(x)在(1，1)上是减 函数，所以 g(a)f(1) 23a.a3，0a1，综上， g(a) 2 3a， a 1.2某集团为了获得更大的利润，每年要投入一定的资金用于广告促销经调查，每年投

2、入广告费 t(百万元 )，可增加销售额为 t25t(百万元 )(0 t3)(1)若该集团将当年的广告费控制在三百万元以内，则应投入多少广告费，才能使集团 由广告费而产生的收益最大？(2)现在该集团准备投入三百万元，分别用于广告促销和技术改造经预算，每投入技 术改造费 x(百万元 )，可增加的销售额约为 13x3 x2 3x(百万元 ) 请设计一个资金分配方案，3 使该集团由这两项共同产生的收益最大解： (1)设投入广告费 t(百万元 )后由此增加的收益为 f(t)(百万元 )，则 f(t)(t25t)t t24t (t2)24(0t3)所以当 t2 时， f(t)max 4， 即当集团投入两百

3、万元广告费时，才能使集团由广告费而产生的收益最大(2)设用于技术改造的资金为 x(百万元 )，则用于广告促销的费用为 (3x)(百万元 )，则由此两项所增加的收益为g(x)13x3x23x (3x)25(3x)3 13x34x3(0x3)2对 g(x) 求导，得 gx() x24，令 gx() x2 4 0，得 x2 或 x2(舍去)当 0x0，即g(x)在0，2)上单调递增；当 2x 3 时，g(x)0，即g(x)在(2，3上单调递减当x2 时， g(x)max g(2)253.故在三百万元资金中， 两百万元用于技术改造， 一百万元用于广告促销， 这样集团由此25所增加的收益最大，最大收益为

4、 235百万元3(2015 贵州省六校联盟第一次联考 )已知函数 f(x)2ln xx2ax(aR )(1)当 a2 时，求 f(x)的图象在 x1 处的切线方程；有两个零点，求实数 m 的取值范围1(2)若函数 g(x)f(x)axm 在 e，e22解： (1)当 a2 时， f(x) 2ln xx22x， f(x)x2x 2，切点坐标为 (1，1)，x切线的斜率 k f (1) 2，则切线方程为 y12(x1)，即 y 2x 1.2(2)g( x) 2ln xx m，22(x1)( x1)则 gx() x2x，11xe，e ，当gx()0时，x1.当ex0；当 1xe时， g(x)0.21

5、4 e2 e20，则 g(e)0g1 ，解得 1m2 e12， m 2 20ee实数m 的取值范围是 1，2e121 x4(2015 河南省洛阳市统考 )已知函数 f(x)ln x1.ax(1)若函数 f(x)在1，2上单调递减，求实数 a 的取值范围；1e，e的最大11(2)若 a1，kR 且 ke，设 F(x)f(x)(k1) ln x1，求函数 F(x)在 e， ee值和最小值ax 1解： (1)由题设可得 f(x)的定义域为 (0， )， f(x) 2 ax显然 a 0. 函数 f(x)在 1， 2上单调递减，ax 1当x1，2时，不等式 fx()2 0 恒成立，ax即1x 恒成立 a11a2，0a2，实数a 的取值范围是 0，21x(2)a 1，kR， f(x) x ln x1，1xF(x)f(x)(k1)ln x1 x kln x， xx( 1x) k kx1 F(x)x2kx若 k0，则 Fx() x12，在 1e，1，恒有 F x()0，F(x)在 e， e单调递减，k x 1k x kx2 .1 eF (x)min F(e) e ，F(x) maxFkx1若 k0， F(x) x2x( )若 k0 ，在 1e， e，恒有 k x1k，恒有 x2 0，F(x)在 1e，单调递减，Le=fZIHXeE(x)dL*HO)ZIH