第二节 聚点,内点,界点

1、第二节 聚点,内点,界点 2. 聚点，内点，界点聚点，内点，界点 系系,存在三种互斥情况存在三种互斥情况: : 设设 E 是是 n 维空间维空间 中的一个点集，中的一个点集， 是是 0 P n R 中的一个定点，中的一个定点，研究研究 与与 E 的关的关 n R我们来我们来 0 P 1 定义定义:聚点，内点，界点聚点，内点，界点,孤立点孤立点 第二节 聚点,内点,界点 第一第一：在：在 p0 点的附近点的附近根本没有根本没有E的点。的点。 第二第二：在：在 p0附近全是附近全是E的点。的点。 第三第三：在：在 p0附近既有属于附近既有属于E的点也有不的点也有不 属于属于E 的点。的点。 第二节

2、 聚点,内点,界点 定义定义1 0 ,. nn PERR P0是是E的的内点内点. 1) 存在点存在点 p0的一个邻域的一个邻域 使使 ,称称 0) (U P 0) (EU P 2) 存在点存在点 p0的一个邻域的一个邻域 使使 ,称称 0) (U P 0) (EU P P0是是E的的外点外点. 第二节 聚点,内点,界点 3) 若若p0 的的任一任一 邻域邻域 内既有内既有E中的点中的点, 0) (U P 又有又有 中的点中的点,即即E 00 )(,U PEU PE且 则称则称P0是是E的的边界点边界点.(界点界点) / 第二节 聚点,内点,界点 定义定义2 0 ,. nn PERR 1) 对

3、点对点p0的的任意任意邻域邻域 中至少含有异于中至少含有异于p0 0) (U P 的E中的一点. 若p0的任意邻域 内部都含有E中的无 0) (U P 限多个点,则称p0是E的聚点. p 第二节 聚点,内点,界点 2 聚点的类型聚点的类型 1) E中无聚点中无聚点 E=1,2,3,，n,、有限集、有限集、 2) E中有有限个聚点中有有限个聚点 1 11 , , 2 3 1, n E 、0是聚点。是聚点。 第二节 聚点,内点,界点 3) E中有无限多个聚点中有无限多个聚点 E=(0，1)、0，1内全体实数都是内全体实数都是E的聚点。的聚点。 注意：注意：聚点聚点p0不一定是不一定是E的中的点。的

4、中的点。 第二节 聚点,内点,界点 定理定理1 下面三个命题是等价的下面三个命题是等价的 (1) p0是是E的聚点的聚点. (2) 对于对于p0的任一邻域内的任一邻域内,至少含有一个至少含有一个 属于属于E而异于而异于p0的点的点. (3) 存在存在E中互异的点所成点列中互异的点所成点列 使使 n P 0( ) n PP n 第二节 聚点,内点,界点 证明：证明： 1)2),显然 3) 1), 显然 2)3)中假设 0101 1,(,),U PPP PE 11 中取出一点 100 1 min ( ,), ,(,) 2 d P PU P 22 在中取出 21202 ,PP PP PE一点 故只须

5、证故只须证 第二节 聚点,内点,界点 320 1 min (,), 3 pp 3 (0,1,2), i ipp 3 pE 03 (,)U p在在取出一点取出一点 0 1 min (,), nn pp n 0 (,) n U p在在取出一点取出一点 (0,1,2,), ni inpp 依次构造出依次构造出E中互异的中互异的 点列点列, n p使使 0( ), n p np 0 1 (,) nn d p n p 第二节 聚点,内点,界点 定义定义 3 设设 E 是是 n R中一点集，中一点集， 0 P为为 n R中一中一 定点，如果定点，如果 属于属于E但不是但不是E的聚点的聚点 0 P 则则 称

6、为称为E 的的孤立点孤立点。 0 P 注意：注意：称为称为E 的孤立点的充要条件的孤立点的充要条件: 0 P(1) 存在存在 的某邻域的某邻域 0 P 0 ),(U P使使 00 ).(EU PP 第二节 聚点,内点,界点 称为称为E 的孤立点的充要条件的孤立点的充要条件: 0 P (1) 存在存在 的某邻域的某邻域 0 P 0 ),(U P使使 00 ).(EU PP 证明证明: 设设P0为为E的孤立点的孤立点,由定义由定义P0E, 但但P0不是不是E的聚点的聚点,再由定理再由定理1知存在知存在P0的邻域的邻域 U(P0),在在U(P0)中除中除P0外不含有外不含有E中任何点中任何点, 从而

7、从而EU(P0)=P0. 反之反之, E U(P0),使得使得U(P0)E=P0 则 则P0E 但但U(P0)中不含中不含E中的点中的点,由定理由定理1知知P0不是聚点不是聚点, 故故P0是是E的孤立点的孤立点. 注注 第二节 聚点,内点,界点 (2) E的界点不是聚点便是孤立点。的界点不是聚点便是孤立点。 点的类型点的类型 内点内点 界点界点 外点外点 或或 聚点聚点 孤立点孤立点 外点外点 第二节 聚点,内点,界点 (2) E的界点不是聚点便是孤立点。的界点不是聚点便是孤立点。 证明证明: 设设P0是是E的边界点的边界点, 若若P0不是不是E 的聚点的聚点, 则存在则存在U(P0)不含有异

8、于不含有异于P0的的E中点中点, 又又P0是是E 的边界点的边界点, 知知P0的任意邻域的任意邻域 U(P0)E,特别对于特别对于U(P0),也有也有 U(P0)E, 故故U(P0)E=P0, 由注由注(1)知知P0是是E的孤立点的孤立点. 注注 第二节 聚点,内点,界点 （1）孤立点是界点）孤立点是界点 （2）内点是聚点）内点是聚点 （3）界点是聚界点或孤立点）界点是聚界点或孤立点 （4）聚点含内点和聚界点）聚点含内点和聚界点 （5）界点和聚点不一点）界点和聚点不一点 因此得出以下几项注意因此得出以下几项注意 第二节 聚点,内点,界点 3 开核、边界、导集、闭包开核、边界、导集、闭包 定义定

9、义 4 设设 E 是是 n R中一点集，有中一点集，有 (1)E 的全体内点所成的集合，称为的全体内点所成的集合，称为E 的的 开核开核。 记为记为; o E (2)E 的全体界点所成的集合，称为的全体界点所成的集合，称为E 的的 边界边界。 记为记为 ;E 第二节 聚点,内点,界点 (3)E 的全体聚点所成的集合，称为的全体聚点所成的集合，称为E 的的 导集导集。 记为记为 ; E 记为记为(4) E E 称为称为E 的的闭包闭包，E。 闭包的其他形式：闭包的其他形式： O EEEEE E E 的全体孤立点的全体孤立点 第二节 聚点,内点,界点 闭包与开核的对偶关系：闭包与开核的对偶关系：

10、O EEEE O ，（） 定理定理 2 设设 AB ，则 则 AB， oo AB，AB 。 定理定理 3.ABAB（） 第二节 聚点,内点,界点 证明：证明： 1)()AAB()AAB 由定理由定理2 ()BAB()BAB ABAB（） 定理定理 3.ABAB（） 第二节 聚点,内点,界点 2)反之设反之设 0 PA B （） ,由由 Th 1在在AB中中 存在互异的点列存在互异的点列, n P有有 0( ). n nPP 若若 0 PA,则则 0 PAB ; 若若 0 PA, 则则 则则Pn中最多有有限个点属于中最多有有限个点属于A,其余的其余的 无限多个点属于无限多个点属于B。 / / 第

11、二节 聚点,内点,界点 再由定理再由定理1(3)得得 0 P B , 故也有故也有 0 PAB.ABAB（） 由由1）2）知）知.ABAB（） 第二节 聚点,内点,界点 非空，非空， 1)A 是孤立点集，是孤立点集，则 则.Aa 2). a A A 3)若若 ,Aa 则则.Aa A例例1： ：设 设求证：求证： R 第二节 聚点,内点,界点 证明：证明： ,xA,(,) , xxx xxAx ,(,) , yyy yyAy (,)(,), xxyy xxyy 1 1 :,AQ ( ) x xr .Aa 集合为至多可数集。集合为至多可数集。 1)A 是孤立点集，是孤立点集，则 则.Aa 对任意对任意 ,yxAyx 有有 取有理数取有理数 )(), 2 , 2 (Axxxr xx x 令令 第二节 聚点,内点,界点 A A 若非空必是孤立点集，若非空必是孤立点集， 由由1) . a A A (),AAAA 由已知由已知 .Aa 由由2) . a A A 则则. () a A AA .Aa 2). a A A 3)若若 ,Aa 则则.Aa 第二节 聚点,内点,界点 定理定理 4 设设