2.4圆锥曲线参数方程2012（经典实用）

1、椭圆的参数方程椭圆的参数方程 2.4圆锥曲线参数方程2012 1、 圆的参数方程圆的参数方程 sin ,cos ry rx （1）圆心在原点半径为）圆心在原点半径为r的圆的参数方程的圆的参数方程 （2 2）圆心在（）圆心在（a a，b b），），半径为半径为r的圆参数方程的圆参数方程 sin cos rby rax 2.4圆锥曲线参数方程2012 引例、引例、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0） 为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过与小圆的交点，过 点点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足

2、为，垂足为M， 求当半径求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. O A M x y N B 分析：分析： 点点M的横坐标与点的横坐标与点A的横坐标相同的横坐标相同, 点点M的纵坐标与点的纵坐标与点B的纵坐标相同的纵坐标相同. 而而A、B的坐标可以通过引进参的坐标可以通过引进参 数建立联系数建立联系. 设设XOA= 2.4圆锥曲线参数方程2012 O A M x y N B 解：解：设设XOA=, M(x, y), 则则 A: (acos, a sin), B: (bcos, bsin), 由已知由已知: 即为即为点点M M的轨迹的轨迹参数方程参数方程. . si

3、nby cosax ()f为参数 消去参数得消去参数得: : , b y a 1 2 2 2 2 x 即为即为点点M M的轨迹的轨迹普通普通方程方程. . 引例、引例、如下图，以原点为圆心，分别以如下图，以原点为圆心，分别以a，b（ab0） 为半径作两个圆，点为半径作两个圆，点B是大圆半径是大圆半径OA与小圆的交点，过与小圆的交点，过 点点A作作ANox，垂足为，垂足为N，过点，过点B作作BMAN，垂足为，垂足为M， 求当半径求当半径OA绕点绕点O旋转时点旋转时点M的轨迹参数方程的轨迹参数方程. 2.4圆锥曲线参数方程2012 cos , sin . xa X yb 焦点在 轴 （1） cos

4、 , sin . xb Y ya 焦点在 轴 （2） 1 2 2 2 2 b y a x 1 2 2 2 2 b x a y 普通方程普通方程 2、 椭圆的参数方程椭圆的参数方程 在椭圆的参数方程中，常数在椭圆的参数方程中，常数a、b分别是椭圆分别是椭圆 的长半轴长和短半轴长的长半轴长和短半轴长. ab 称为称为离心角离心角,规定参数规定参数 的取值范围的取值范围 是是 另外另外, 0,2 ) 说明：说明： 2.4圆锥曲线参数方程2012 O A M x y N B 辨析：辨析： 椭圆的标准方程椭圆的标准方程: :1 2 2 2 2 b y a x 椭圆的参数方程中参数椭圆的参数方程中参数的几

5、何意义的几何意义: : )( sinby cosa 为为参参数数 x x y O 圆的标准方程圆的标准方程: : 圆的参数方程圆的参数方程: : x2+y2=r2 )( siny cos 为为参参数数 r rx 的几何意义：的几何意义：AOP= P A 椭圆的参数方程椭圆的参数方程: : 是是AOX=,不是不是MOX=. 2.4圆锥曲线参数方程2012 【例例1】把下列普通方程化为参数方程把下列普通方程化为参数方程. 22 1 49 xy 2 2 1 16 y x (1)(2) 3 cos 5 sin x y 8 cos 10 sin x y (3)(4) 把下列参数方程化为普通方程把下列参数

6、方程化为普通方程 2 cos (1) 3sin x y cos (2) 4sin x y 2 2 64100 (4)1 y x 2 2 925 (3)1 y x （5）已知椭圆的参数方程为）已知椭圆的参数方程为 ( 是参数是参数) ， 则此椭圆的长轴长为（则此椭圆的长轴长为（ ），短轴长为（），短轴长为（ ），焦），焦 点坐标是（点坐标是（ ) ，离心率是（，离心率是（ ）。）。 2cos sin x y 42 3 2 3,0 2.4圆锥曲线参数方程2012 例例2、如图，在椭圆如图，在椭圆x2+8y2=8上求一点上求一点P，使，使P到到 直线直线 l：x-y+4=0的距离最小的距离最小. x

7、 y O P 分析分析1：平移直线平移直线 l 至首次与椭圆至首次与椭圆 相切，切点即为所求相切，切点即为所求. 分析分析2：),sin,cos(P 22设设 2 22|4sincos| d则则 小结：小结：借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一借助椭圆的参数方程，可以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决。 2.4圆锥曲线参数方程2012 例例3、已知椭圆已知椭圆 有一内接矩形有一内接矩形ABCD， 求矩形求矩形ABCD的最大面积。的最大面积。 22 1 10064 xy :10cos ,8sinA解 设 20cos,1

8、6sin 2016sincos 160sin 2 ADAB S ,ABCD160所以 矩形最大面积为 y XO A2A1 B1 B2 F1F2 A B C D y X 2.4圆锥曲线参数方程2012 引申引申1:已知已知A,B两点是椭圆两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点与坐标轴正半轴的两个交点,在第一象限的椭在第一象限的椭 圆弧上求一点圆弧上求一点P,使四边形使四边形OAPB的面积最大的面积最大. 2 2 94 1 y x 2.4圆锥曲线参数方程2012 引伸2：P、Q是抛物线y2 = x与圆 (x-3)2+y2=1上 的两动点，求PQ的最小值 x y A P Q 引伸3 点P在椭圆 上运动

9、， 点Q在圆 上运动，求PQ的最大值 1 4 2 2 y x 4 1 2 3 2 2 xy X y P Q O A 1 2 PQPAAQPA所以只要求|PA|的最大值 2.4圆锥曲线参数方程2012 练习练习1 1.动点动点P(x,y)在曲线在曲线 上变化上变化 ，求，求2x+3y的最的最 大值和最小值大值和最小值 22 y 1 94 x .,2626最小值最小值最大值最大值 2、取一切实数时，连接取一切实数时，连接A(4sin,6cos)和和B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆圆 B. 椭圆椭圆 C. 直线直线 D. 线段线段 B 析析:设中

10、点设中点M (x, y) x=2sin-2cos y=3cos+3sin 22 y 2 49 x 2.4圆锥曲线参数方程2012 的取值范围求满足实数yxx-9yyx, 2 ,. 1 ，并画出草图变化时，求圆心的轨迹a当 的取 值取值范a数表示的 图示的图形为圆04 3a2aa2ayx2ayx已知方程2. 24222 3.已知椭圆C的参数方程是 5cos , ,02 4sin x y q qp q = 0,b0)的参数方程为： b 3 ,2 ) 22 o 通常规定且，。 双曲线的参数方程可以由方程双曲线的参数方程可以由方程 与三角恒等式与三角恒等式 22 22 1 xy ab 22 sec1t

11、an 相比较而得到，所以双曲线的参数方程相比较而得到，所以双曲线的参数方程 的实质是三角代换的实质是三角代换. 说明：说明： 这里参数这里参数 叫做双曲线的离心角与直线叫做双曲线的离心角与直线OM的倾斜角不同的倾斜角不同. 2.4圆锥曲线参数方程2012 sec , tan . xa X yb 焦点在 轴 （1） tan , sec . xb Y ya 焦点在 轴（2） 22 22 1 xy ab 22 22 1 yx ab 普通方程普通方程 22 1 sec,sectan1 cos 其 中则 3、 双曲线的参数方程双曲线的参数方程 1 .在双曲线的参数方程中，常数在双曲线的参数方程中，常数a

12、、b分别是双分别是双 曲线的实半轴长和虚半轴长曲线的实半轴长和虚半轴长. a、b0 2. 称为称为离心角离心角,规定参数规定参数 3 22 0,2 ) 2.4圆锥曲线参数方程2012 例例 22 22 100 xy Mab ab OM A BMAOB (,) 如如图图，设设为为双双曲曲线线任任意意一一点点， 为为原原点点，过过点点作作双双曲曲线线两两渐渐近近线线的的平平行行线线，分分别别与与 两两渐渐近近线线交交于于 ， 两两点点。探探求求平平行行四四边边形形的的面面积积， 由由此此可可以以发发现现什什么么结结论论？ O B M A x y 2.4圆锥曲线参数方程2012 . b yx a 双

13、曲线的渐近线方程为： 解：解： tan(sec ).M b ybxa a A 不妨设M为双曲线右支上一点，其坐标为, 则直线的方程为 （asec ,btan ） ： b 将y=x代入，解得点A的横坐标为 a A a x = （sectan ） 2 . B a x = （se同理可得，点B的横坐cta 2 标n为）. b a 设 AOx= ,则tan. 2.4圆锥曲线参数方程2012 解：解： MAOB所以的面积为 MAOB S=|OA|OB|sin2 = AB xx sin2 coscos 222 2 a (sec-tan) =sin2 4cos tan. 2 bab a 22 aa = 22

14、 MAOB由此可见，平行四边形的面积恒为定值， 与点M在双曲线上的位置无关。 2.4圆锥曲线参数方程2012 o y x ) H M(x，y) 2 抛物线y =2px(p0)的参数方程为: 1 其中参数t=(0), tan 几何意义为： , () . ttR y 2 x=2pt 为参数， 2pt 抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数。 . x 即P(x,y)为抛物线上任意一点,则有t= y 4、 抛物线的参数方程抛物线的参数方程 2.4圆锥曲线参数方程2012 2 2., 2(0) , OA B ypx p OAOB OMABABM M 例例如如图图是是直直角角坐坐标标原原点点是是抛抛物物线线 上上异异于于顶顶点点的的两两动动点点, ,且且