不定积分与定积分期末复习,

1、海量资源，欢迎共阅不定积分与定积分数学分析第四版上册、重中之重：(1) 原函数 加上 C(2) 最后的结果一定要将变量带回去(3) 去根号时，注意变量的取值范围 (是否要分类讨论 ) dx例： 2 、 |x 1|dx(连续点 x=1 处，原函数须相等 )详情见 P181(4) 记得验算几遍二、基本思路 三、常见的不定积分 四、方法总结1、三角换元 = 去根号2、分部积分法的递推3、分母变为一项或多因式，从而进行列项成多个项来求 例： 1 sin x dx =上下同时乘以 1 sinx 4、巧妙运用 sin2 x cos2 x 1例：dxsin xcosx= 带入分子后，拆分即可2 2 25、巧

2、妙运用 sec x 1 tan x sec xdx d(tan x)海量资源，欢迎共阅4sec2 xtan4 xtan4 x 1 1例 1 ：tan xdx 2 dx 2d (tan x)sec2 x1 tan2 x1 tanx tanx 2 还有 1 tanxdx和 tan2x tanx 1dx(上下同时乘以 sec x)注 1 ：方法可能不是最简单的，但提供了一种常用的思路 注 2 ：其他的题目可以尽量往 secx 和 tanx 方面去化简dx 2 例： 2 = 上下同时乘以 sec2 x 2 sin x五、解题技巧1、换元法(1)解：(2)x2n 1xn 1dx淡定 ，然后令 t xn

3、,带入即可In2xdxxIn4x解：(3)1In2x Inx In2dx d(Inx) ，再让即可xIn4x Inx In43 1 4 x 6x dx=令 t6 1 4 x (使分子，分母均为有理数 ) 2、分部积分法3解： (1) sec x secxd (tan x) secx tan x tanxd(secx)(2) tanxd(secx) (1 cos2 ) sec3 xdx sec3 xdx secxdx(3) 再将左边的式子相同的部分移到右边计算即可海量资源，欢迎共阅In(1 x)(2) 1 x2 分部积分过程中， 一般可以抵消掉不可计算 的部分3、万能公式(1)11 sin xd

4、x和11 cosxdx解答：可以用万能公式， 也可以将分母变为一项 ( 从而便于列 项出来 )1 sinx dx(3) dxsin x(1 cosx) 5 3cosx4、欧拉变换(1) 出现如 11 xx ， 1x x2 之类的dx 2例： 2 =令t x2 x 带入即可x2 x(2) 依然可以配方后，用三角代换 详情请参见 P1985、典型例题1 2 2 2 解： 1 2(1 x2) (1 x2) ，再上下同时处以 x ，分母进行 配方，将分子的原函数”看出来”即可注意：1 x3 dx= 可以分母直接因式分解，再列项即可思路 1 ：配凑拆分 降次思路 2 ：三角换元 t=tanx1 2 2

5、2解 1：分子 1 2(1 x2) (1 x2 ) ，再同时上下处以 x2 即可海量资源，欢迎共阅2解 2 ：带入可得 cos2tdt(1) 当 n 为奇数时，提出一个 -sinx 令-sinxdx=d(cosx), 再 根据sin2 x 1 cos2 x 即可21(2)当 n 为偶数时，令 sin2 x 2(1 cos2x) ，带入展开，再列 项分开来求(1) 运用分部积分法进行递推 (显然只需两次递推 )(2) 详情见 P188dx d(x 1) (x2 2x 2)2 (x 1)2 1)(1) 思路：配凑降次 分开来算2已知 (2x 2)dx d(x2 2x 2) 和6、其他难题(1)见

6、P201 最上面的两道题定积分一、 定义辨析1、定积分和不定积分的区别(1)f 的不定积分是一个函数族 F(x)+C ，而定积分是一个确 切的数，与面积有关(2) 不定积分做变量代换时， 结果要进行还原， 而定积分不需 要，直接得出结果2、海量资源，欢迎共阅三、基本公式1、平面图形的面积aa(1)一般方程： A b f (x)dx b ydxaa(2)参数方程： A | b y(t)d(x(t)| | b y(t)x(t)dt | 1a2(3) 极坐标方程： A 2 b r2( )d 注：求多条曲线所围成的面积，先作图，再求交点，再进行 复合运算2、由平行截面面积求体积(1)截面面积函数 A(x) 是a,b 上的一个连续函数，则立体体 积a2Vb f (x)2dx详情见 P248(2) 旋转体的体积 可知： A(x) f (x)2 所以体积公式为 V f (x)2dx222例：由圆 x (y R) r (0 r R)绕 x 轴旋转一周所得环状 立体的体积。解：详情见 P250 的例 43、平面曲线的弧长与曲率 ( 曲率略 )(1)C 为一条光滑曲线，即连续可微海量资源，欢迎共阅(2) 参数方程：c b x(t)2 y(t)2dt(3) 一般方程：c a 1 f (x)2dx b(4) 极坐标方程： c b r ( ) r( ) d4、旋转曲面的面积(1)