分类计数原理和分步计数原理

1、 甲甲 问题问题1 从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘从甲地到乙地，可以乘火车，也可以乘 汽车。一天中，火车有汽车。一天中，火车有3班，汽车有班，汽车有2班。那么班。那么 一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有一天中，乘坐这些交通工具从甲地到乙地共有 多少种不同的走法？多少种不同的走法？ 乙乙 火火 车车 2 火火 车车 1 火火 车车 3 汽汽 车车 1 汽汽 车车 2 3+2=5（种）（种） 分类计数原理分类计数原理 分类计数原理又称分类计数原理又称“加法原理加法原理” 完成一件事，有完成一件事，有n类办法类办法，在第，在第1类办法中类办法中 有有m1 种不同的方法，在第种不同的方法，在

2、第2类方法中有类方法中有 m2 种种 不同的方法，不同的方法，在第，在第n类办法中有类办法中有mn 种不种不 同的方法，那么完成这件事共有同的方法，那么完成这件事共有 Nm1 m2 mn 种不同的方法种不同的方法 关于分类计数原理的几点注记：关于分类计数原理的几点注记： 各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各各类办法之间相互独立，都能完成这件事，且办法总数是各 类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理；类办法相加，所以这个原理又叫做加法原理； 分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然分类时，首先要在问题的条件之下确定一个分类标准，然 后在确定的分类标准下进行分类；后在确定

3、的分类标准下进行分类； 完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不完成这件事的任何一种方法必属于某一类，且分别属于不 同两类的两种方法都是不同的同两类的两种方法都是不同的不重不漏不重不漏 火火 车车 2 火火 车车 1 火火 车车 3 问题问题2 从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地，从甲地到乙地，要从甲地先乘火车到丙地， 再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有再于次日从丙地乘汽车到乙地。一天中，火车有3 班，汽车有班，汽车有2班，那么两天中，从甲地到乙地共有班，那么两天中，从甲地到乙地共有 多少种不同的走法？多少种不同的走法？ 甲甲 乙乙丙丙 汽汽 车车 2 汽汽 车车 1 种）

4、(623 火车火车1汽车汽车1 火车火车1汽车汽车2 火车火车2汽车汽车1 火车火车2汽车汽车2 火车火车3汽车汽车1 火车火车3汽车汽车2 分步计数原理分步计数原理 完成一件事，需要分成个步骤，做第完成一件事，需要分成个步骤，做第1步有种步有种 不同的方法，做第不同的方法，做第2步有种不同的方法步有种不同的方法做第做第 步有种不同的方法那么完成这件事共有步有种不同的方法那么完成这件事共有 N种不同的方法种不同的方法 1 m 2 m n m n mmm. 21 分步计数原理又叫作分步计数原理又叫作“乘法原理乘法原理” 关于分步计数原理的几点注记关于分步计数原理的几点注记 各个步骤之间相互依存，

5、且方法总数是各个步骤的方法数各个步骤之间相互依存，且方法总数是各个步骤的方法数 相乘，所以这个原理又叫做乘法原理相乘，所以这个原理又叫做乘法原理 ； 分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后分步时首先要在问题的条件之下确定一个分步标准，然后 在确定的分步标准下分步；在确定的分步标准下分步； 完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一完成这件事的任何一种方法必须并且只需连续完成每一 个步骤个步骤 分类计数原理与分步计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别 分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关分类计数原理与分步计数原理，回答的都是有关 做一件事的不同方法总数的问题区别在

6、于：分做一件事的不同方法总数的问题区别在于：分 类计数原理针对的是类计数原理针对的是“分类分类”问题，其中各种方问题，其中各种方 法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件法相互独立，用中任何一种方法都可以做完这件 事；分步计数原理针对的是事；分步计数原理针对的是“分步分步”问题，各个问题，各个 步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才步骤中的方法相互依存，只有各个步骤都完成才 算做完这件事算做完这件事 例题例题 例例1 书架的第书架的第1层放有层放有4本不同的计算机书，本不同的计算机书， 第第2层放有层放有3本不同的文艺书，第本不同的文艺书，第3层放有层放有2本本 不同的体育书。不同的体育

7、书。 （1）从书架上任取一本书，有多少种）从书架上任取一本书，有多少种 取法？取法？ （2）从书架的第）从书架的第1、2、3层各取层各取1本书本书, 有多少种不同的取法有多少种不同的取法? 注意区别注意区别“分类分类”与与“分分 步步” 解解 : (1)从第从第1层任取一本层任取一本,有有4种取法种取法,从第从第2层任取一本层任取一本,有有3 种取法种取法,从第从第3层任取一本层任取一本,有有2种取法种取法,共有共有 4+3+2=9 种取法。种取法。 答：从书架上任意取一本书，有答：从书架上任意取一本书，有9种不同的取法。种不同的取法。 (2) 从书架的从书架的1 、 2 、 3层各取一本书层

8、各取一本书,需要分三步完成需要分三步完成, 第第1 步步,从第从第1层取层取1本书本书,有有4种取法种取法,第第2步步,从第从第2层取层取1本书本书,有有3种种 取法取法,第第3步步, 从第从第3层取层取1本书本书,有有2种取法种取法.由分步计数原理知由分步计数原理知, 共有共有 432=24 种取法。种取法。 答：从书架上的第答：从书架上的第1、2、3层各取一本书，有层各取一本书，有24种不同的取种不同的取 法。法。 分类时要做到不重不漏分类时要做到不重不漏 分步时做到不缺步分步时做到不缺步 例例2 一种号码锁有一种号码锁有4个拨号盘个拨号盘,每个拨号盘上有从每个拨号盘上有从0到到9共共 1

9、0个数字个数字,这这4个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码个拨号盘可以组成多少个四位数字的号码? 本题的本题的特点特点是是数字可以重复使用，数字可以重复使用，例如例如00000000， 11111111，12121212等等，与分步计数原理比较，这里完成每等等，与分步计数原理比较，这里完成每 一步的方法数一步的方法数 m=10m=10，有，有n=4n=4个步骤个步骤, ,结果是总个数结果是总个数 N=10101010=104 解解：由于号码锁的每个拨号盘有：由于号码锁的每个拨号盘有0到到9这这10个数字，每个个数字，每个 拨号盘的数字有拨号盘的数字有10种取法。根据分步计数原理，种取法。根据分

10、步计数原理，4个拨个拨 号盘上各取号盘上各取1数字组成的个数是数字组成的个数是 答：可以组成答：可以组成10000个四位数字号码。个四位数字号码。 N=104 。 一般的，完成一件事有一般的，完成一件事有n个步骤，每一步骤的方法个步骤，每一步骤的方法 数相同，都是数相同，都是m, 则完成这件事共有则完成这件事共有 种不同方种不同方 法。法。 （牢记：（牢记：步骤数步骤数n是指数！是指数！） m n 3. 四名研究生各从四名研究生各从A、B、 C三位教授中选一位三位教授中选一位 作自己的导师，共有作自己的导师，共有_种选法；三名教授种选法；三名教授 各从四名研究生中选一位作自己的学生，共有各从四

11、名研究生中选一位作自己的学生，共有 _种选法。种选法。 2. 在在120共共20个整数中取两个数相加个整数中取两个数相加,使其使其 和为偶数的不同取法共有多少种和为偶数的不同取法共有多少种? 答答.：(109+109)/2=90（种）（种）. 43 1. 某中学的一幢某中学的一幢5层教学楼共有层教学楼共有3处楼梯口处楼梯口,问从问从 1楼到楼到5楼共有多少种不同的走法楼共有多少种不同的走法? 答：答： 3333=34=81（种）（种） 练练 习习 34 例例3 要从甲、乙、丙要从甲、乙、丙3名工人中选出名工人中选出2 名分别上日班和晚班，有多少种不同的名分别上日班和晚班，有多少种不同的 选法？

12、选法？ 解解：从从3名工人中选出名工人中选出2名分别上日班和晚班，名分别上日班和晚班， 可以看成是经过先选可以看成是经过先选1名上日班，再选名上日班，再选1名上名上 晚班这两个步骤完成。先选晚班这两个步骤完成。先选1名上日班，共有名上日班，共有 3种选法；种选法；上日班的工人选定后上日班的工人选定后再再选选1名上晚名上晚 班，上晚班的工人有班，上晚班的工人有2种选法，根据分步计数种选法，根据分步计数 原理原理,所求的不同的选法数是所求的不同的选法数是 . 623N 答：有答：有6种不同的选法。种不同的选法。 日班日班 晚班晚班 甲 乙 丙 丙 乙 甲 乙 甲 丙 相应的排法相应的排法 不同排法

13、如下图所示不同排法如下图所示 甲甲 乙乙 甲甲 丙丙 乙乙 甲甲 乙乙 丙丙 丙丙 甲甲 丙丙 乙乙 日班日班 晚班晚班 练练 习习 P86 练习练习 2、3、4、5 例例4 有数字有数字 1，2，3，4，5 可以组成多少个三位数可以组成多少个三位数 （各位上的数字许重复）？（各位上的数字许重复）？ 解：解：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成：要组成一个三位数可以分成三个步骤完成： 第一步确定百位上的数字，从第一步确定百位上的数字，从5个数字中任选一个个数字中任选一个 数字，共有数字，共有5种选法；种选法； 第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复，这第二步确定十位上的数字，由于数字允许重复

14、，这 仍有仍有5种选法；种选法； 第三步确定十位上的数字，同理，它也有第三步确定十位上的数字，同理，它也有5种选法。种选法。 根据根据分步计数原理分步计数原理，得到组成的三位数的个数是：，得到组成的三位数的个数是： N = 5 5 5 = 53 = 125 答：答：可以组成可以组成125个三位数。个三位数。 例例5 :满足满足 A B=1,2的集合的集合A ,B共有多少种共有多少种? 解析解析: 法一法一 A, B均是均是1,2的子集的子集:,1,2,1,2,但但 不是随便两个子集搭配都行不是随便两个子集搭配都行,本题犹如含本题犹如含A B的的 两元不定方程两元不定方程,其全部解分为四类其全部

15、解分为四类: 1. 当当A=时时,只有只有B=1,2得得1组解组解; 2. 当当A=1时时,B=2或或1,2,得得2组解组解; 3. 当当A=2时时,B=1或或1,2,得得2组解组解; 备选例题备选例题 4. 当当A=1,2时时,B=或或1或或2或或1,2,得得4组解组解 由加法原理由加法原理,共有共有1+2+2+4=9组解组解 法法2: 设设A,B为两个为两个“口袋口袋”,需将两种元素需将两种元素(1与与2)装装 入入,任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事任一元素至少装入一个袋中分两步可办好此事: 第第1步装步装“1”,可装入可装入A不装入不装入B,也可装入也可装入B不装入不装入 A,还

16、可既装入还可既装入A又装入又装入B,有有3种装法种装法; 第第2步装步装“2”,同样有同样有3种装法种装法.由乘法原理由乘法原理,共有共有 3 3=9 种装法种装法 1 一件工作可以用两种方法完成。有一件工作可以用两种方法完成。有5人会用第一种人会用第一种 方法完成，另有方法完成，另有4人会用第二种方法完成。选出一人会用第二种方法完成。选出一 个人来完成这件工作，共有多少种选法？个人来完成这件工作，共有多少种选法？ 2乘积乘积( a1+ a 2+ a 3 )( b1 + b 2 + b3 + b4 )(c1 + c2 + c3 + c4 + 5 )展开后共有项？展开后共有项？ 4 + 5 =

17、9 练习练习2： 1、把四封不同的信任意投入三个信箱中、把四封不同的信任意投入三个信箱中,不同投法种数不同投法种数 是是( ) A. 12 B.64 C.81 D.7 2、火车上有、火车上有10名乘客，沿途有名乘客，沿途有5个车站，乘客下车的个车站，乘客下车的 可能方式有可能方式有 （ ）种）种 A. 510 B. 105 C. 50 D. 以上都不对以上都不对 练习练习1： C A 总结总结： 分类计数原理：分类计数原理：做一件事，完成它可以有做一件事，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法，在第一 类办法中有类办法中有m1种不同的方法，在第一类办法中有种不同的方法，在第一类办法中有m2种不同的方种不同的方 法，法， ，在第，在第n类办法中有类办法中有mn种不同的方法。那麽完成这件事种不同的方法。那麽完成这件事 共有共有 N= m1+ m2+ + mn 种不同的方法。种不同的方法。 分步计数原理：分步计数原理：做一件事，完成它需要分成做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第个步骤，做第 一步有一步有m1种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，种不同的方法，