导数用于单调性和极值问题

1、专题十四、导数用于单调性和极值问题题型一利用导数判断函数的单调性1. 证明：函数 f ( x) sin x在区间， 上单调递减x2题型二利用导数求函数的单调区间2. 求下列函数的单调区间x x 1.(1) f ( x) x3 x； (2) y e3. 求函数 y x2lnx2 的单调区间题型三已知函数单调性求参数的取值围2 a4. 已知函数 f ( x) x x( x 0，常数 a R) 若函数 f ( x) 在 x 2 ， ) 上是单调递增的，求 a 的取值围5.(1) 已知函数f ( x) x3bx2 cx d 的单调减区间为 1,2 ，求 b， c 的值(2) 设 f ( x) ax3

2、x 恰好有三个单调区间，数a 的取值围题型四用单调性与导数关系证不等式126. 当 x 0 时，证明不等式ln( x 1) x2x .7. 当 0 x 时，求证： x sin x x3.261题型五、函数的极值问题8下列函数存在极值的是()1A y 2xB y xC 31Dx2yxy9设函数f(x) 2 ln，则()xx1A x 2为 f ( x) 的极大值点1B x 2为f ( x) 的极小值点C x 2 为 f ( x) 的极大值点D x 2 为 f ( x) 的极小值点10若函数y f ( x) 是定义在R上的可导函数，则f ( x0) 0是x0 为函数y f ( x) 的极值点的 ()

3、A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件11函数y x ex 的最小值为_12若函数xf ( x) x2 a( a0) 在 1 ， 上的最大值为3，则3a 的值为_题型六、利用极值求参数围313. 已知函数f ( x) asin x bcosx 在x4 时取得极值，则函数y f (4 x) 是()A偶函数且图象关于点( ， 0) 对称B偶函数且图象关于点(3，0) 对称2C奇函数且图象关于点(3， 0) 对称2D奇函数且图象关于点( ， 0) 对称14已知函数f ( x) x3 ax2 bx c， f ( x) 在x 0处取得极值，并且在区间0,2和 4,5上具有相反的

4、单调性(1) 数 b 的值；(2) 数 a 的取值围题型七、导数用于解决实际问题15用边长为48cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截去的正方形的边长为 ()A 6B 8C 10D 1216一工厂生产某型号车床，年产量为N台，分批进行生产，每批生产量相同，每批生产的准备费为C2 元，产品生产后暂存库房，然后均匀投放市场( 指库存量至多等于每批的生产量 ) 设每年每台的库存费为C1 元，求在不考虑生产能力的条件下，每批生产该车床_台，一年中库存费和生产准备费之和最小题型八、图像问题17. 二次函数(

5、x) 的图象过原点且它的导函数yf (x) 的图象是如图所示的一条直线，y fy f ( x) 的图象的顶点在()A第象限B第象限C第象限D第象限18. 设函数 f ( x) 在定义域可导， yf ( x) 的图象如下图所示， 则导函数 y f ( x) 的图象可能是 ()巩固练习：19. 定义域为 R 的函数f(x) 满足f(1) 1，且f(x) 的导函数f(x12f(x) ，则满足2x的 x 的集合为 ()A x| 11B x|x1xC x| x1D x| x1120函数 f ( x) sin x2xf (3 ) ， f ( x) 为 f ( x) 的导函数，令a 2， b log 32，

6、则下列关系正确的是 ()A f ( a) f ( b)B f ( a) f ( b)C(a) ()D(|a|)0 时， 1 2x0 时， ( x k) f ( x) x 10，求 k 的最大值专题十四、导数用于单调性和极值问题参考答案xcos x sin x1. 证明 f ( x) x2，又 x 2 ， ，则 cos x0， xcos x sin x0， f ( x)0 ，则 x ，3和3， ，33令f ( x)0，即 ex 10，x则 x (0 ， ) ；令 y 0，即 e 10， 2x3 a 0， a 2x3 在 x 2 ， ) 上恒成立 a (2 x3) min. x 2 ， ) ， y

7、 2x3 是单调递增的， (2 x3) min 16， a 16.2x316当 a 16 时， f ( x) x2 0( x 2 ， ) 有且只有 f (2) 0， a 的取值围是( ， 16 5. 解(1) 函数 f ( x) 的导函数 f ( x) 3x2 2bx c，由题设知 1x2 是不等式3x2 2bx c0， a f (0) 0 证得12分 ) 规解答 令 f ( x) ln( x 1) x x ， (421x2则 f ( x) 1 x1 x 1x.(6 分 )当 x (0 ， ) 时， f ( x) 0， f ( x) 在 (0 ， ) 上是增函数 (8 分 ) 于是当 x0 时

8、， f ( x) f (0) 0，f ( x) ln( x 1) x 1x2，证明 f ( x) 在 212当 x 0 时，不等式 ln(x1) x2x 成立 (12分 )1 37. 证明 设 g( x) x sinx6x ，x0， 2，122xx 2g ( x) 1 cos x2x 2 sin 2 2. x 0， 2 ， 0sinx x， sin 2x x 2， g ( x) 0， 2 2 g( x) 在 0，上单调递减，2 g( x) g(0) 0， x sin x 61x3.8.答案 D解析画出图像即可知yx2 存在极值 f (0) 0.9.答案 D解析本节考查了利用导数工具来探索其极值

9、点问题2112f ( x) x2 x x(1 x) 0 可得 x 2.当 0x2 时， f ( x)2 时f ( x)0 ， f ( x) 单调递增所以 x 2 为极小值点对于含有对数形式的函数在求导时，不要忽视定义域10. 答案 B解析如 y x3， y 3x2， y | x 00，但 x0 不是函数 y x3 的极值点11. 答案 1e解析 (x 1)e x 0， 1.yx当 x 1 时， y 1 时 y01 ymin f ( 1) e12. 答案 3 1解析f ( x) x2 a 2x2a x2a， ) 上222. 当 x a时 f ( x)0 ， f ( x) 在 (2x ax a是递

10、减的， 当ax0 ，f ( x) 在( a， a) 上是递增的 当 xa时，f ( a)a33 2a 3，a 2 0.因为函数在单调区间0,2和4,5上具有相反的单调性，2所以应有2 3a 4，解得 6 a 3.15. 答案 B解析设截去的小正方形的边长为xcm，铁盒的容积为Vcm3，由题意，得V x(48 2x)2(0x24) ， 12(24 )(8 ) 令 0，则在 (0,24) 有x 8，故当x 8时，VVxxV有最大值CN16.答案 2C1解析设每批生产x台，则一年生产NyC2N批一年中库存费和生产准备费之和1 xCxx(0 xN) 1CNCN22y C x2 . 由 y 0及 0xN

11、，解得 xC1( 台) 根据问题的实际意义，y 的最CN小值是存在的，且y 0 有唯一解故 x2台是使费用最小的每批生产台数C117.答案 A解析设f(x) 2bx ，二次函数y(x) 的图象过原点，c 0，f(x)axcf 2，由yf (x) 的图象可知， 2 0，b4ac b2b20， 0， 0，ax babab2a4a4a故选 A.18.答案 A解析f ( x) 在 ( ，0) 上为增函数， 在 (0 ， ) 上变化规律是减增减，因此 f(x) 的图象在 ( ， 0)上，f( )0 ，在 (0， ) 上f (x) 的符号变化规律是负正x负，故选 A.19.答案 B1解析令 g( x) 2

12、f ( x) x 1， f( x) 2， g ( x) 2f ( x) 10， g( x) 为单调增函数， f (1) 1， g(1) 2f (1) 1 1 0，当 x1 时， g( x)0 ，即 2f ( x) x 1，故选 B.20. 答案 Af ( x) cos x 2f (解析3 ) ， f ( 3 ) cos 3 2f ( 3 ) ， 1 即 f ( 3 ) 2. f ( x) sin x x.又 f ( x) cos x 1 0，故 f ( x) 在 R 上递减1又 2 f (log32) ，即 f ( a) f ( b) 21.答案 A解析令 f ( x) x3 3x m，则 f

13、( x) 3x23 3( x1)(x 1) ，显然当 x1 时，f (x)0 ，(x) 单调递增，当 1 1 时，f (x)0 ，() 单调递减，在xfxfx1 时， f ( x) 取极大值 f ( 1) m2，在 x 1 时， f ( x) 取极小值 f (1) m 2. f ( x) 0 在 0,2f10，fm 20， 2m 2.2 m0，6322.答案 ( 5， 16)解析f (x) 2ax2 (x1)(x2)，axaa由 f ( x) 的图象经过四个象限知，若a0，则f 20，此时无解；若a0，则f 20，f10，6363 5a16，综上知， 5a 16.23.答案 ( 3， 2)解析

14、f (x) 32 3，设切点为(0， 0) ，则切线方程为y (x3x2x03 0) (30 3)(xP xyx x ) ，切线经过点A(1 ，m) ， m ( x3) 232 3x0(3 x 3)(1 x ) ， m 2x 3x 3，m0000002 6x0，当 0x01 时，此函数单调递增，当x0 1 时，此函数单调递减，当6x0x0 0 时， 3，当x0 1 时， 2，当 3 0 时， e2x1， f ( x) 2(1 e2x )0 时， f ( x)0 时， 1 2x e2x0，即 1 2x0，x1 f ( x) 在 (0 ， ) 递增令 g( x) ax2 2( a1) x a 4(

15、 a 1) 2 4a2 8a42 当 a0 时 ，a 1 2a 10 ， 此 时 g( x) 0 的 两 根 x1 a， x2 a 12a 1a a0， x10， x20 ， x (0 ， ) ， f ( x)0故 f ( x) 在 (0 ， ) 递增13当 a0，即 1a0，x1ax2 a1 2a 10a令 f ( x)0 ， x( x1， x2) ，f ( x)0 ，x (0 ， x1) ( x2， ) f ( x) 在 ( x1， x2) 递增，在 (0 ， x1) 和 ( x2， ) 上递减综上所述：当 a 0 时， f ( x) 在 (0 ， ) 递增1当 2a0 时， f ( x)

16、 在 ( x1， x2) 递增， a 1 2a 1 a 1 2a1在 (0 ，x1) 和 ( x2， ) 递减 ( 其中 x1a，x2a) 1当 a 2时， f ( x) 在(0 ， ) 递减26. 分析 如图，设出AD的长，进而求出| AB| 表示出面积S，然后利用导数求最值 解析 设矩形边长为 AD2x，则 | AB| y 4 x2，则矩形面积 S 2x(4 x2)(0 x2) ，即 S 8x2x3， S 8 6x2，2 2令 0，解得x1，2(舍去)S3x322x2 时， S 0，当 0x0；当33当 x 2时， S取得最大值，此时， S最大 323， y 8.393438即矩形的边长分

17、别为3、 3时，矩形的面积最大点评本题的关键是利用抛物线方程，求出矩形的另一边长27. 解析 (1)函数 f ( x) 的定义域为 (0 ， ) ，1a11f ( x) 4 x2 x，由导数的几何意义，且切线与y 2x 垂直15得 f (1) 4 a 1 2， a 4.x53(2) 由 (1)知 f ( x) 4 4 ln x 2，x15 1x2 4x 5 f ( x) 4 4x2 x4x2.令 f ( x) 0 解得 x 1 或 5， 1 不在定义域之故舍去当 x (0,5) ， f ( x)0 ， f ( x) 在 (5 ， ) 递增513 f ( x) 在 x 5 时取极小值 f (5) 44 ln5 2 ln5.28. 分析 解析 (1) f ( x) 的定义域为 ( ， ) ，f ( x) ex a.若 a 0，则 f ( x)0 ，所以 f ( x) 在 ( ， ) 单调递增若 a0，则当 x ( ， ln a) 时， f ( x)0 ，所以 f ( x) 在 ( ， ln a) 单调递减，在 (ln a， ) 单调递增(2) 由于 a 1，所以 ( x k) f ( x) x 1 ( x k)(e x 1) x 1.故当 x0 时， ( x k) f ( x)