定积分与微积分基本定理

1、.定积分与微积分基本定理适用学科数学适用年级高二适用区域通用课时时长（分钟）60知识点定积分的概念与几何意义；微积分基本定理求定积分；定积分的简单应用教学目标1了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念2了解微积分基本定理的含义教学重点教学难点微积分基本定理求定积分微积分基本定理教学过程一、课堂导入.问题：什么是定积分？定积分与微积分基本定理是什么？二、复习预习1被积函数若含有绝对值号，应先去绝对值号，再分段积分2若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量3定积分式子中隐含的条件是积分上限大于积分下限4定积分的几何意义是曲边梯形的面积，但要注意：面积非负，而定积分

2、的结果可以为负.5将要求面积的图形进行科学而准确的划分，可使面积的求解变得简捷三、知识讲解考点 1定积分的概念设函数yfx定义在区间a，b上用分点 a x0x1 x2 xn 1 xnb 把区间a，b 分成 n 个小区间，其长度依次为( ) .xi xi 1 xi ，i 0,1,2， ， n1. 记 为这些小区间长度的最大值，当 趋近于 0 时，所有的小区间长度都趋n 1近于 0，在每个小区间内任取一点 i ，作和式 I n f ( i )xi. 当 0时，如果和式的极限存在，把和式 I n 的极i 0限叫做函数 f ( x) 在区间 a，b 上的定积分，记作bbn 1? a f ( x)d x

3、，即? af ( x)d xlim f ( i ) xi ，其中 f ( x) 叫做被积函 0i 0数， f ( x)d x 叫做被积式， a 为积分下限， b 为积分上限.考点 2定积分的运算性质(1)?bba kf ( x)d x k?af ( x)d x ( k 为常数 ) (2)?b f ( x) g( x)d x?bbaaf ( x)d x?a g( x)d x.bxxcxxbxxa c b(3)?a f()d?af()d?c f()d( ).考点 3微积分基本定理b如果 F(x) f ( x) ，且 f ( x) 在 a，b 上可积，则 ? af ( x)d xF( b) F( a

4、) 其中 F( x) 叫做 f ( x) 的一个原函数四、例题精析.考点一定积分的计算例1若定积分?mx2x x，则 m等于()22d4A 1B 0C1D2【规范解答】 根据定积分的几何意义知，定积分m22? 2x 2xdx 的值就是函数 yx 2x的图象与 x 轴及直线.x 2，xm所围成图形的面积， y x22x是一个半径为1 的半圆，其面积等于 2 ，而 ? m2x22xdx 4 ，即在区间 2，m 上该函数图象应为1个圆，于是得 m 1，故选 A.4【总结与反思】 (1) 计算定积分要先将被积函数化简后利用运算性质分解成几个简单函数的定积分，再利用微积分基本定理求解；(2) 对函数图象

5、和圆有关的定积分可以利用定积分的几何意义求解考点二利用定积分求曲边梯形的面积例2如图所示，求由抛物线y x2x3及其在点 A，3)和点 B处的切线所围成的图形的面积4(0(3,0).【规范解答】 由题意，知抛物线 y x2 4x 3 在点 A 处的切线斜率是 k1y|x 0 4，在点 B 处的切线斜率是 k2 y|x 3 2. 因此，抛物线过点 A 的切线方程为 y4x 3，过点 B 的切线方程为 y 2x 6.y4x3，33设两切线相交于点 M，由x消去 y，得 x2，即点 M的横坐标为 2.y62在区间0，3上，曲线 yx3在曲线 y x2 x3的上方；在区间3， 3 上，曲线 y x6在

6、曲线24422y x24x3 的上方因此，所求的图形的面积是【总结与反思】 对于求平面图形的面积问题，应首先画出平面图形的大致图形，然后根据图形特点，选择相应的积分变量及被积函数，并确定被积区间考点三定积分在物理中的应用vt 曲线如图所示，则该物体在1例 3 一物体做变速直线运动，其2 s 6 s 间的运动路程为 _.2t0 t 121 t 3，【规范解答】 由题图可知， v( t ) 11363tt1因此该物体在 2 s 6 s 间运动的路程为【总结与反思】 定积分在物理方面的应用主要包括：求变速直线运动的路程；求变力所做的功.课程小结1用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F(x) f ( x) 的函数 F( x) ，即找被积函数的原函数，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数