数学-高中必修五-解三角形-经典题目

1、解三角形1.1 正弦定理和余弦定理1.1.1 正弦定理【典型题剖析】考察点 1：利用正弦定理解三角形例 1在 V ABC 中，已知 A:B:C=1:2:3, 求 a :b :c.【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式 a :b :c=sinA: sinB: sinC求解。Q A: B:C 1:2:3,而A B C .解：A,B,C,632a :b :sin A : sin B : sinC sin: sin: sin1 :3 :1 1: 3:2.63222【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例 2在 ABC 中，已知

2、c=2 + 6 ， C=30 ，求 a+b 的取值范围。【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b 表示为某个角的三角函数，然后再求解。解： C=30， c= 2 + 6，由正弦定理得：abc26 ,sin Asin Bsin Csin 30 a=2(2+6 )sinA,b=2(2 + 6 )sinB=2(2+6 )sin（ 150 -A ） .a+b=2(2 +6 )sinA+sin(150 -A)= 2(2 +6) 2sin75 cos(75 -A)=262cos(75 -A)22=8+4 3 ； 当 75 -A=0，即 A=75时， a+b 取得最大值6A=180 -(C+B)=150 -B,

3、 A 150， 0 A 150, -75 75 -A 75， cos75 cos(75 -A) 1，22622 +6 . 26 cos75 = 26=4综合可得a+b 的取值范围为 (2 +6 ,8+43 考察点 2：利用正弦定理判断三角形形状例 3在 ABC中， a2 tanB= b2 tanA ，判断三角形ABC的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断解：由正弦定理变式 a=2RsinA,b=2RsinB 得：ABC的形状。2R sin A2sin B2sin A?cosB2R sin B ?,cos Asin Acos Asin B cos B,即 sin2

4、 Asin 2B ，2A 2B或2A 2B，AB或AB.2 VABC 为等腰三角形或直角三角形。【解题策略】 “在 ABC中，由 sin 2 Asin 2B 得 A= B”是常犯的错误，应认真体会上述解答过程中“A=B 或 A+B=”的导出过程。2例 4在 ABC中，如果 lg alg clg sin Blg 2 ，并且 B 为锐角，试判断此三角形的形状。【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断ABC的形状。解： Q lg sin Blg2.2, sin B2又 B 为锐角， B=45 .由 lg a lg clg 2, 得 c2 .a2由正弦定理，得sin A

5、2,sin C2A 180 45C , 代入上式得：2 sin C2sin 135C2 sin135 cosCcos135 sin C2 cosC2 sin C ,cosC0,C90 ,A45 .VABC 为等腰直角三角形。考察点 3：利用正弦定理证明三角恒等式例 5a2b2b2c2c2a2在 ABC中，求证cos Bcos BcosCcosC0 .cos Acos A【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将a2， b2，c2 转化为 sin2 A,sin 2 B,sin 2 C .证明：由正弦定理的变式a2R sin A, b 2Rsin B 得：a2b2= 4R2

6、sin2 A4R2 sin 2 Bcos Acos Bcos Acos B4R2（ 1-cos2A） -(1-cos2B)cos Acos B(cos2 Bcos2A)4R2 (cos Bcos A)cos AcosBb2c24R2 (cosCcos B),同理 cos BcosCc2a24R2 (cos AcosC ).cosCcos A左边 =4 R2 (cos Bcos AcosC cos Bcos A cosC )0 右边等式成立。【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。例 6在 ABC中

7、， a,b,c 分别是角 A,B,C 的对边， C=2B，求证 c2b2ab .【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.证明：QABC180 ,BC 180A.又 Q C2B,CBB.Q sin( BC )sin(180A) sin A,c2b24R2 (sin 2 Csin 2 B)4R2 (sin Csin B)(sin Csin B)4R2? 2sin B C ? cosCB ? 2cos B C ? sin C2224R2sin(CB)sin( CB)4R2 sin Asin B ab等式成立 .B2右边 .【解题策略】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。（1

8、） ABC, ABC, AB2C ,2A222B22C.(2)sin( AB)sin C,cos( AB)cosC , tan( A B)tan C .(3)sinABcos C ,cos ABsin C , tan AB22222Ccot .2(4)sin(2 A2B)sin 2C,cos(2 A2B)cos 2C,tan(2 A2B)tan 2C.考察点 4：求三角形的面积例 7在 ABC中，a,b,c分别是三个内角A,B,C 的对边， 若 a2, C,cos B25 , 求 ABC425的面积 S.【点拨】先利用三角公式求出sinB,sinA及边 c，再求面积。解：由题意 cos B25

9、，得 cos B2cos2B13 ,2525B 为锐角，sin B4 ,sin A sin(BC )sin( 3B)7 2 ,5410由正弦定理得c10,7S1 acsin B1?2?10?48 .22757【解题策略】在ABC中，以下三角关系式在解答三角形问题时经常用到，要记准、记熟，并能灵活应用，A BABC,sin(AB)sinC,cos(A)cos ;sinBC2cosC ,cos ABsin C .222例 8已知 ABC中 a,b,c分别是三个内角A,B,C 的对边， ABC的外接圆半径为12，且 C,3求 ABC的面积 S 的最大值。【点拨】本题主要考察正弦定理与三角形面积公示的

10、综合应用。解： SV ABC1 absin C1g2R sin Ag2Rsin Bgsin C223R2 sin Asin B3R2 cos( AB)cos( AB)23 R2 cos( AB)1 .22当 cos( AB)1,即 AB时，( SVABC )max33 R233 g1441083.44【解题策略】 把三角形的面积公式和正弦定理相结合，通过讨论三角函数值的取值，求得面积的最大值。考察点 5：与正弦定理有关的综合问题例 9已知 ABC的内角 A,B 极其对边 a,b满足 a b a cot Ab cot B,求内角 C【点拨】本题主要考察解三角形中的正弦定理、和差化积公式等基础知识

11、，考察运算能力、分析能力和转化能力。解法 1：Q aba cot Ab cot B,且ab2R（ R为 ABC的外接圆半径） ，sin Bsin Asin Acos Acos Bsin B,1sin 2 A1cos2B.cos2 A cos2 B 0又 Q sin 2A sin 2B2cos(AB)sin( A B).cos(AB)sin( A B)0,cos(A或sin( A B)0.B) 0又 A,B 为三角形的内角，AB或 AB,2当 AB时， C2；2当 AB 时，由已知得 cot A 1, AB,C.42综上可知，内角 C.2解法 2：由 aba cot Ab cot B 及正弦定理

12、得，sin Asin B=cos AcosB ，sin Acos A cosBsin B ，从而sincoscossincossinsincos ,AA4B4B44即sin()sin().A44B又 0 A+B，A,4B4A B,C.22【解题策略】 切化弦、 边化角是三角关系化简的常用方法，熟练运用三角恒等变换公式是解题的关键。例 10在 ABC中，A，B，C 所对的边分别为a,b,c,且 c=10, cos Ab4 ，求 a,b 及 ABC的内cosBa3切圆半径。【点拨】欲求边，应将已知条件中的边角统一，先求角再求边。解： 由 cos Ab , 可得 cos A = sin B ,cos

13、BacosBsin A变形为 sin Acos Asin B cosB,sin 2Asin 2B又Q a,2A2,AB,bB ABC是直角三角形。2a2b2102由 b4解得 a6, b8.a3,VABC的内切圆半径为 r= ab c 68 10222【解题策略】解此类问题应注意定理与条件的综合应用。高考真题评析例1 （广东高考）已知a ， b ， c分别是ABC 的三个内角A， B， C 所对的边，若a 1,b3, AC2B, 则 sin C _【命题立意】 本题主要考察正弦定理和三角形中大边对大角的性质，解题的关键是确定角C的值。【点拨】在ABC中， A B C,又A C2B， 故 B3，

14、由正弦定理知asin B1 , 又 ab，因此 Asin AB 从而可知 C，即 sin C1 。故填 1.b262【名师点评】 解三角形相关问题时，应灵活掌握边角关系，实现边角互化。例 2（北京高考）如图1-9 所示，在 ABC 中，若 b1,c3, C2,3则 a _.【命题立意】 本题考查利用正弦定理解决三角形问题， 同时要注意利用正弦定理得到的两解如何取舍。【点拨】由正弦定理得，31, sin B1 .sin2sin B23C 为钝角， B 必为锐角，BA. a b1.66故填 1【名师点评】在 0,范围内，正弦值等于1 的角有两个，因为角 C 为钝角，所以角 B 必为锐角，防止2忽略

15、角的范围而出现增解例 （湖北高考）在ABC中， a 15, b 10, A60 ,则cosB等于（）322226D.6A.3B.3C.33【命题立意】本题考查正弦定理及同角三角函数基本关系式，解题的关键是确定角B 的范围。3151010gsin 60103【点拨】由正弦定理得2, sin B1515. a b ，sin 60sin B32A 60 ， B 为锐角。cosB1 sin 2 B136，故选 D33【名师点评】根据三角形性质大边对大角准确判断角B 的范围，从而确定角B 的余弦值。例 4（天津高考）在ABC中， ACcosB .（1）求证 B C ；ABcosC（2）若 cos A1的

16、值。，求 sin 4B33【命题立意】本题主要考察正弦定理、两角和与差的正弦公式、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦等基础知识，同时考察基本运算能力。证明：（ 1）在 ABC中，由正弦定理及已知，得sin BcosBsin C。cosC于是 sin B cosCcosB sin C 0, 即 sin BC 0.因为 B-C，从而 B-C=0，所以 B=C .解：（ 2）由 A BC和（1）得 A12B ，故 cos2Bcos2BcosA3又 0 2B，于是 sin 2B1 cos2 2B2 2.从而 sin 4B 2sin 2B cos 2B4 2，39cos4B cos2 2Bsin

17、 2 2B7。所以 sin 4Bsin 4B cos427 3.93318【名师点评】（ 1）证角相等，故由正弦定理化边为角。（ 2）在（ 1）的基础上找角A与角 B的函数关系，在求2B 的正弦值时要先判断 2B 的取值范围。知能提升训练学以致用1、在 ABC中，下列关系式中一定成立的是（）A a b sin AB.a = b sin AC.a b sin AD.a bsin A2、（山东模拟） ABC中，角 A，B，C的对边分别为a,b,c ， A, a3, b 1，则 c 等3于（）A.1B.2C.3 1D.33、（广东模拟）在ABC中， a15, b10, A 60，则 sin B 等于

18、（）A33B.33C.66D.334、在 ABC中，若abc），则 ABC是（cosAcosBcosCA直角三角形B.等边直角三角形C钝角三角形D.等腰直角三角形5、在锐角 ABC中，若 C=2B，则 c 的范围是（）bA0,2B.2, 2C.2, 3D.1, 36、在 ABC中， a,b3, A45 ，则，满足此条件的三角形有（）A0 个 B.1个C.2个D.无数个7、在 ABC中，若 A： B： C=3： 4： 5，则 a ： b ： c 等于（）A3：4：5B.2:6 :3 1C. 1:3 :2D.2 :3 :3228、（ 2011浙江模拟） 在 ABC中，B 135 , C15 ,a

19、5, 则此三角形的最大边长为 （）A53 B. 43 C.52 D.4 29、在 ABC中 A75 ,B45 , c32, 则 b_ 。10、（2011山东模拟）在ABC中角A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a,b,c， 若a2, b 2,sin Bcos B2 ，则角 A 的大小为 _ 。11、在 ABC中已知 axcm， b2 cm， B45 ，如果利用正弦定理解三角形有两解，那么 x 的取值范围是 _22sin A B13、在 ABC中，角 A， B， C 的对边分别为a,b,c ，求证 a b。c2sin C14、在 ABC中， c22, tan A3,tan B2, 求 a

20、, b 及三角形的面积。15、已知方程 x2b cos A x a cosB0 的两根之积等于两根之和，且A,B为ABC的内角， a,b 分别为 A, B 的对边，判断ABC的形状。1316、在 ABC中， tan A, tan B.45（1）求角 C 的大小；（2）若 ABC的最大边长为17 ，求最小边的长。1.1.2余弦定理典型题剖析 考察点 1： 利用余弦定理解三角形例 1：已知 ABC中， b3,c33, B30 , 求 A， C 和 a 。【点拨】 解答本题可先由余弦定理列出关于边长a 的方程，首先求出边长a ，再由再由正弦定理求角 A，角 C，也可以先由正弦定理求出角C，然后再求其

21、他的边和角。解法 1：由正弦定理 b2a2c22ac cos B, 得32a2322a3 3cos30 ，3a29a180, 解得 a3或 6.当 a3时， A30 ,C120a sin B61当 a6时，由正弦定理得sin A21,A 90,C60 .b3解法 2：由 b c ， B30, b c sin 303133，知本题有两解。322c sin B3313由正弦定理得 sin C2，b32C60或120 ，当 C60时， A90，由勾股定理得：ab2c2323326当 C120 时， A30， ABC为等腰三角形，a3 。【解题策略】 比较两种解法， 从中体会各自的优点， 从而探索出适

22、合自己思维的解题规律和方法。 三角形中已知两边和一角， 有两种解法。 方法一利用余弦定理列出关于第三边的等量关系列出方程， 利用解方程的方法求出第三边的长， 这样可免去判断取舍的麻烦。 方法二直接运用正弦定理，先求角再求边。例 2： ABC中，已知 a26, b62 3, c4 3 ，求 A， B， C考察点 2： 利用余弦定理判断三角形的形状例 3：在 ABC中，已知abcabc3ab, 且 2cos Agsin Bsin C ，试判断 ABC的形状。【点拨】本题主要考察利用正弦定理或余弦定理判断三角形的形状，从问题的已知条出发，找到三角形边角之间的关系，然后判断三角形的形状。例 4：已知钝

23、角三角形ABC的三边 a k, b k2, ck4, 求 k 的取值范围。【点拨】由题意知ABC为钝角三角形，按三角形中大边对大角的原则，结合a,b,c 的大小关系，故必有C 角最大且为钝角，于是可有余弦定力理求出k 的取值范围。解： Q c2a2b22ab cosC , 当 C为钝角时， 2ab cosC 0，a2b2 c2 ，k2k 222 k4 ，解得 -2 k 6. 而 k+k+2 k+4， k 2. 故 2 k 6. 故 k 的取值范围是2,6 .【解题策略】应用三角形三边关系时，应注意大边对大角。考察点3：利用余弦定理证明三角形中的等式问题例 6 在 VABC 中，角 A， B，C的对边分别是 a，b， c。22sin AB（1）求证 ab;c2sin C（2）求证 accosBsin Bbc