数值分析课后题答案

1、数值分析第二章2 当 x1, 1,2 时， f ( x)0, 3,4 ,求 f (x) 的二次插值多项式。解：x0 1,x11, x2f ( x0 ) 0, f (x1)l 0(xx1)( x( x)x1)( x0( x0( xx0 )( xl1( x)x0 )( x1( x1l 2( xx0 )( x( x)x0 )( x2( x22,3, f ( x2)4;x2 )1 ( x1)(x 2)x2)2x2 )1(x 1)( x2)x2 )6x1 )11)( x1)x1)( x3则二次拉格朗日插值多项式为2L2 ( x)ykl k ( x)k03l0 (x)4l2 ( x)1 ( x 1)(x

2、2)4 (x1)(x 1)235x23x76236 设 xj , j0,1,L, n 为互异节点，求证：nxkjl j ( x)xk（1 ）( k0,1,L ,n);j0nx)k l j ( x) 0（2 ）(xj(k 0,1,L, n);j0证明（1 ）令 f (x)xknxkjl j ( x) 。若插值节点为 xj , j0,1,L, n ，则函数 f ( x) 的 n 次插值多项式为 Ln ( x)j0插值余项为 Rn ( x)f ( x)f ( n 1)()Ln ( x)n 1( x)(n1)!又Q kn,f ( n 1) ()0Rn (x)0nxkjl j ( x)xkj 0( k

3、0,1,L,n);nx)k l j (x)(2)(xjj0nnCkj xij ( x)k i )l j ( x)(j 0i0nnCki(x) ki (xij l j (x)i 0j0又 Q 0in由上题结论可知nxkjl j ( x)xij 0n原式Cki (x)ki xii0( xx) k0得证。7 设 f (x)C 2 a, b 且 f (a)f (b) 0, 求证：max f ( x)1(ba) 2 max f( x).a x b8a x b解：令 x0a, x1b ，以此为插值节点，则线性插值多项式为xx1xx0L1 ( x)f ( x0 ) x0x1f ( x1 ) xx0=f (a

4、) xbf (b) xaabxa又 Q f (a)f (b)0L1 ( x) 0插值余项为 R( x)f (x) L ( x)1 f ( x)( x x)( xx )12011f ( x)f(x)( xx0 )( x x1)2又 Q ( xx0 )( xx1)1 (x2x0 )(x1x)21(x1x0 ) 241 (ba) 24max f ( x)1 (ba)2 max f( x).ax b8a xb8 在 4 x 4 上给出 f (x)ex 的等距节点函数表，若用二次插值求ex 的近似值，要使截断误差不超过10 6 ，问使用函数表的步长h 应取多少？解：若插值节点为xi1, xi和 xi 1

5、 ，则分段二次插值多项式的插值余项为R2 (x)1 f ()( xxi1)( xxi )( xxi 1)3!R2 ( x)1 ( xxi1)( xxi )( xxi1) maxf ( x)64 x 4设步长为 h ，即 xi1xih, xi 1xihR2 ( x)1 e432 h33 e4 h3 .6327若截断误差不超过10 6，则R2 ( x)10 63 e4h310 627h0.0065.9 若 yn2n , 求4 yn及4 yn . ，解：根据向前差分算子和中心差分算子的定义进行求解。yn2n4 yn( E1)4 yn4(1)j4E4jynj0j4(1)j4y4njjj04j44j(1

6、)2ynjj0(21)4 ynyn2n114 yn( E 2E 2 )4 yn1(E 2 )4(E1)4 ynE 24 ynyn22n216 f (x)x7x43x1,求F 20,21, ,27及F01,28。2 ,2LL解： Q f (x) x7x43x 1若 xi2i ,i0,1,L,8则 f x0 , x1 ,L , xnf (n) ()n!f x0, x1 ,L , x7f (7) ()7!7!17!f x0 , x1 ,L , x8f (8) ()08!19求一个次数不高于 4次 的 多 项 式 P （ x ）， 使 它 满 足P(0)P (0)0, P(1)P (1)0, P(2)

7、0解法一：利用埃米尔特插值可得到次数不高于4 的多项式x00, x11y00, y11m00,m1111H 3 ( x)j 0y jj ( x)j 0mjj (x)0 ( x) (1 2 x x0 )( x x1 )2x0x1x0x1(12x)( x1)21 ( x) (1 2 x x1 )( x x0 )2x1x0x1x0(32x) x20 (x)x( x1)21 ( x)(x1)x2H 3 ( x) (3 2x) x2( x 1)x2x32x2设 P( x) H 3( x) A( x x0 ) 2 ( x x1) 2其中， A 为待定常数Q P(2)1P( x)x32x2Ax2 (x1)2

8、A141 x2 (x 3)2从而 P(x)4解法二 :采用牛顿插值，作均差表：xif ( xi )一阶均差二阶均差00111210-1/2p(x)p(x0 ) (x x0 ) f x0 , x1 (x x0 )( x x1 ) f x0 , x1 , x2 ( ABx)( xx0 )( xx1 )( xx2 )0xx(x 1)(1/ 2)( A Bx )x(x 1)( x 2)又由 p (0)0, p (1)1,A3 , B1 ,得44p( x)x23)2.(x所以4第四章1. 确定下列求积公式中的特定参数， 使其代数精度尽量高， 并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度：h(1)f ( x)

9、dxA 1 f (h)A0 f (0)A1 f ( h);h(2)2hA 1 f (h)A0 f (0) A1 f (h);f (x)dx2h1(3)f ( x)dx f ( 1)2 f ( x1) 3 f ( x2 )/ 3;1(4)hh f (0)f (h)/ 2ah2 f (0) f (h);f ( x)dx0解：求解求积公式的代数精度时，应根据代数精度的定义，即求积公式对于次数不超过m 的多项式均能准确地成立，但对于m+1次多项式就不准确成立，进行验证性求解。h1 f (A0 f (0) A1 f (h)（1 ）若 (1)f ( x)dxAh)h令 f (x) 1 ，则 2h A 1A

10、0A1令 f (x)x ，则 0A 1hA1h令 f (x)x2 ，则 2 h3h2 A 1 h2 A13A04 h3从而解得 A11h3A 11 h3令 f (x)x3hhx3dx 0，则f (x)dxhhhf ( x)dx A 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h)故hhh2h5f ( x)dxx4dxhh5A 1 f (h)A0 f (0) A1 f (h)2 h53A 1 f ( h)A0 f (0)A1 f (h)0成立。令f (x)x4，则h故此时，f (x)dxA 1 f ( h)A0 f (0)A1 f (h)hhA 1 f (A0 f (0)A1 f (h)故f (

11、x)dxh)h具有 3次代数精度。2 hA 1 f ( h)A0 f (0) A1 f (h)（2 ）若f ( x)dx2h令 f (x)1 ，则 4h A 1A0A1令 f (x)x ，则 0A 1h A1h令 f (x)x2 ，则 16 h3h2 A 1h2 A13A04 h3A18从而解得h3A 18 h3x3 ，则2 h2 hA 1 f ( h) A0 f (0) A1 f (h) 0令 f (x)2 hf ( x)dxx3 dx02 h2 hf ( x)dxA 1 f (h)A0 f (0)A1 f ( h) 成立。故2hx4 ，则f ( x)dxx4 dx64h5令 f (x)2h

12、2h2h2h516A 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h)h532h故此时，f ( x)dx2h2h因此，f (x)dx2h1（3 ）若f ( x)dx11A 1 f ( h)A0 f (0)A1 f (h)A 1 f (h)A0 f (0)A1 f (h)具有 3 次代数精度。 f ( 1)2 f ( x1 )3 f (x2 )/ 3令 f (x)1 ，则f (x)dx2 f ( 1) 2 f ( x1 ) 3 f (x2 )/ 31令 f (x)x ，则01 2x1 3x2令 f (x)x2 ，则2 1 2x123x22x10.2899x10.6899从而解得或x20.5266x

13、20.1266x3 ，则11x3dx令 f (x)f ( x)dx10 f (1) 2 f ( x1 )3 f (x2 )/3 0111) 2 f ( x1 )3 f (x2 )/3 不成立。因此，原求积公式具有故f (x)dx f (2 次代数精度。1hf ( x)dxh f (0) f (h)/ 2ah2 f (0) f(h)（4 ）若0令 f (x) 1hh,h f (0)f (h)/2ah2 f (0)f(h)h，则f (x)dx0令 f (x)x ，则hh1 h2f (x)dxxdx002h f (0)f ( h)/2ah2 f(0)f(h)1 h22令 f (x)x2 ，则hh1

14、h3f ( x)dxx2dx003h f (0)f (h)/2ah2 f(0)f(h)1 h32ah 22故有1 h31 h32ah232a112令 f (x)x3 ，则hh1 h4f ( x)dxx3dx004h f (0)f (h)/21 h2 f (0)f(h)1 h41 h41 h412244令 f (x)x4 ，则hh4dx1 h5f (x)dxx005h f (0)f (h)/21 h2 f (0)f(h)1 h51 h51 h512236故此时，h1h2 f (0) f ( h),f (x)dx h f (0) f (h)/ 20121hh2 f (0) f (h)因此，f (

15、x)dx h f (0) f (h)/ 2012具有 3次代数精度。17 。若用复化梯形公式计算积分Iexdx ，问区间 0,1 应多少等分才能使截断误差不超过010 6？解：采用复化梯形公式时，余项为Rn ( f )b a h2 f ( ),( a, b)12又Q I1故 f ( x) ex , f (x) ex ,a 0, b 1.ex dx0R ( f )1 h2 f ( )e h2n1212若 Rn f10 6，则当对区间 0,1进行等分时， h1 ,n故有 ne 106476 等分时可以满足误差要求因此，将区间12第五章2. 用改进的欧拉方法解初值问题y x y,0 x 1; y(0

16、) 1,取步长 h=0.1 计算，并与准确解 yx 1 2ex 相比较。近似解准确解近似解准确解0.11.111.110340.62.040862.044240.21.242051.242810.72.323152.327510.31.398471.399720.82.645582.651080.41.581811.583650.93.012373.019210.51.794901.797441.03.428173.436563 、解： 改进的欧拉法为yyn1 h f ( xn, yn)f ( x, ynhf (x , yn)n 12n 1n将 f (x, y)x2xy 代入上式，得2h 1

17、h xn 1 xn 1 xn 1 xn 1y1 h hynn 122同理，梯形法公式为y2h ynh xn (1 xn ) x(1 x )n 12h2 hn 1n 1将 y 00,h0.1代入上二式， ，计算结果见表9 5表 95x n改进欧拉 yn0 100055000 20 0219275000 300501443880 400909306710 50144992257可见梯形方法比改进的欧拉法精确。4 、用梯形方法解初值问题| y( xn )yn | 梯形法 yn0.3374180361030 0052380950 0214058960.6582530781030 0493672390

18、0899036920.96260818210 30 1437223880.12507167210 202yy0;| y( xn )yn |0.75513278110 403030.22373844310 30.25304808710 3y(0)1,证明其近似解为2nhyn,2h并证明当 h0 时，它原初值问题的准确解 ye x 。证明： 梯形公式为yn 1yh f (x, yn)f ( xn 1, yn 1)nn2代 f ( x, y)y 入上式，得yn 1 ynh ynyn 12解得yn 1( 2h) yn( 2h

19、 )2 yn 1( 2h)n 1 y02h2h2h因为 y01，故y ( 2h )nn2h对x 0 ， 以 h为 步 长 经 n步 运 算 可 求 得 y( x) 的 近 似 值 yn ， 故xnh, nx , 代入上式有hyn(2h) hx2h2hx2hx2h2 h 2h xe xlim ynlim() hlim(1) hlim(1) 2h 2 h hh 0h 0 2hh 02 hh 02 h10. 证明解 yf (x, y) 的下列差分公式yn 11 ( ynyn 1 )h ( 4yn 1 yn 3yn 1 )24是二阶的，并求出截断误差的首项。yn 1yn(1)h2hyn2yyhy(1)

20、h2n 1nn25 h3 yn(3)o(h3 )8yn(2)h3yn(3)o(h3)6yn(2)h3yn(3)o(h3 )6，o(h2 )，截断误差首项为y n 1(1)(2)h2(3)o(h2)，ynhyn2yn，y y(1)hy(2) h2y(3)o(h2 )n 1nn2n，代入得5 h3 yn(3)8 。12. 将下列方程化为一阶方程组：y3y 2 y0,1 ） y(0)1, y ( 0)1;(1) y z, z 3z 2 y ，其中 y(0) 1, z(0) 1 。y0.1(1y 2 ) yy0,2 ） y(0)1, y (0)0;(2)y z, z0.1(1y2 )z y ，其中 y

21、(0)1, z(0) 0 。第六章1 、用二分法求方程的正根,要求误差小于 0.05.解 设 ,故 1,2为的有根区间 .又 ,故当时 ,单增 ,当时单增 .而 ,由单调性知的惟一正根. 根据二分法的误差估计式(7.2) 知要求误差小于 0.05,只需 , 解得 , 故至少应二分 6 次 .具体计算结果见表 7-7.表 7-70121.5-11.521.75+21.51.751.625+31.51.6251.5625-41.56251.6251.59375-51.593751.6251.609375-即.3 、为求在附近的一个根, 设将方程改写成下列等价形式,并建立相应的迭代公式:(1), 迭

22、代公式 ;(2), 迭代公式 ;(3), 迭代公式 .试分析每种迭代公式的收敛性, 并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根.解 取的邻域 1.3,1.6来考察 .( x)111.3,1.6,|(x) |2|2L1x2x33(1) 当时 ,1.3, 故迭代公式在上整体收敛 .(2) 当时( x)(1x2 )1/31.3,1.6|( x) |2 |x2|21.62L0.52213(1 x2 ) 33 (1 1.32 )3故在 1.3,1.6 上整体收敛 .(x)1,|( x) |13/2 |11x12(1.61)(3)2( x1)故发散 .由于 (2) 的 L 叫小 ,故取 (2) 中迭代式计算 .要求结果具有四位有效数字,只需即取计算结果见表7-8.表 7-811.48124803441.46704797321.47270573051.46624301031.4688