概率论与数理统计公式总结

1、概率论与数量统计第一章P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)特别地，当 A、 B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式P( AB)P(A| B)P(B)概率的乘法公式P( AB)P( B)P( A | B)P( A)P( B | A)全概率公式：从原因计算结果nP( A)P( Bk ) P(A | Bk )k 1Bayes 公式：从结果找原因P( Bk | A)P( Bi ) P( A | Bi )nP(Bk ) P( A | Bk )k 1第二章二项分布（ Bernoulli分布） XB(n,p)P(Xk) Cnk pk(1 p)n k，(k 0,1,.,n)泊松

2、分布 XP()kP( Xk)e ， (k0,1,.)k!概率密度函数f ( x) dx1怎样计算概率P( aXb)P(a X b)bf ( x)dxa均匀分布 XU(a,b)f ( x)1(axb)ab指数分布 XExp ( )f ( x)1x /(x0)eF ( x)f (x)。分布函数F ( x)P( Xx)P( Xk )对离散型随机变量kxx对连续型随机变量F ( x)P( Xx)f (t )dt分布函数与密度函数的重要关系：F ( x) P( X x)xf (t )dt二元随机变量及其边缘分布分布规律的描述方法联合密度函数f (x, y)0 F ( x, y)1联合分布函数F ( x,

3、 y)F ( x, y) P Xx,Y yf (x, y) 0f ( x, y) dxdy1联合密度与边缘密度f X (x)f (x, y)dyfY (y)f (x, y)dx离散型随机变量的独立性P X i ,Yj P X i PYj连续型随机变量的独立性f ( x, y)f X (x) fY ( y)第三章数学期望E(X)xkPk离散型随机变量，数学期望定义k连续型随机变量，数学期望定义E(X)xf ( x)dxE(a)=a ，其中 a 为常数E(a+bX)=a+bE(X) ，其中 a、 b 为常数E(X+Y)=E(X)+E(Y) ， X、 Y 为任意随机变量精选资料，欢迎下载。随机变量

4、g(X) 的数学期望E( g( X )g (xk ) pkk协方差的性质常用公式Cov ( X , X ) E ( X 2 ) E( X ) 2D(X)E(X)xi pijE(X)xf (x, y)dxdyabCov( X ,Y)ijCov(aX ,bY)Cov ( X Y, Z)Cov ( X , Z ) Cov (Y, Z )E(XY)xi yj pijijE(XY)E(X )E(Y)E (XY )xyf ( x, y)dxdy当X与Y独立时 ,E( XY)E( X )E(Y)独立与相关独立必定不相关相关必定不独立不相关不一定独立第四章正态分布X N(,2 )( x)2122f ( x)e

5、2E(X), D(X)2(a)1(a)方差标准正态分布的概率计算定义式标准正态分布的概率计算公式D(X )x E( X ) 2f ( x)dxP(Za)P(Za)(a)常用计算式D(X) E(X 2) E(X ) 2P(Za)P( Z a)1(a)常用公式P(aZb)(b)(a)D(X Y)D( X ) D(Y)2E( X E( X )(Y E(Y)P( aZa)(a)(a)2(a) 1当 X、 Y 相互独立时：一般正态分布的概率计算D(X Y) D(X) D(Y)X N(,2 )ZX N (0,1)方差的性质D(a)=0 ，其中 a 为常数一般正态分布的概率计算公式D(a+bX)=b2D(X

6、) ，其中 a、 b 为常数当 X、Y 相互独立时， D(X+Y)=D(X)+D(Y)协方差与相关系数EXE(X ) YE(Y)E(XY)E(X )E(Y)P( Xa)P( Xa)( a)P( Xa)P( Xa)1(a)Cov ( X ,Y )E( XY )E( X )E (Y)Cov(X,Y)baP(aXb)()()XYD(X)D(Y)精选资料，欢迎下载。第五章卡方分布n2 2 (n)若X N (0,1)，则X ii 121n22若YN( ,),Yi( n)则2i1t 分布若X N(0,1), Y 2 (n), 则X t (n)Y / n若 U 2 (n1 ), V 2 (n2 ),则 U

7、/ n1 F ( n1 ,n2 )V / n2F 分布正态总体条件下样本均值的分布：2X N(0,1)XN(,)/ nn样本方差的分布：(n 1) S22X t (n 1)2( n 1)s/n两个正态总体的方差之比S12 / S22 F (n1 1, n2 1)12/ 22p(1p)pz / 2np 样本比例n 样本容量 (大样本要求 n 50) z / 2 正态分布的分位点小样本、正态总体、标准差已知xz / 2n小样本、正态总体、标准差未知x t/ 2 (n 1) snt / 2 (n1) 自由度为 n 1的 t分布的分位点( n 1) S2,(n1) S2S2 样本方差222 卡方分布的

8、分位点/ 2/ 2/ 21正态总体方差的区间估计两个正态总体均值差的置信区间大样本或正态小样本且方差已知22x1 x2z/ 212n1n2第六章点估计：参数的估计值为一个常数矩估计最大似然估计似然函数nnLp(xi ; )Lf (xi ; )i 1i 1均值的区间估计 大样本结果xz / 2nx 样本均值 标准差 (通常未知，可用样本标n 样本容量 (大样本要求 n 50) z / 2 正态分布的分位点两个正态总体方差比的置信区间S12 / S22S12/ S22F / 2 (n1 1, n2 1),1, n2 1)F / 2 (n1第七章假设检验的步骤根据具体问题提出原假设H0 和备择假设H

9、1根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。不可避免的两类错误第 1 类 ( 弃真 ) 错误：原假设为真，但拒绝了原假设第 2 类 ( 取伪 ) 错误：原假设为假，但接受了原假设单个正态总体的显著性检验单正态总体均值的检验大样本情形 Z 检验准差 代替正态总体小样本、方差已知Z检验s)精选资料，欢迎下载。正态总体小样本、方差未知 t检验单正态总体方差的检验正态总体、均值未知 卡方检验单正态总体均值的显著性检验统计假设的形式(1)H 0 :0H 1 :0(2)H 0 :0H 1 :0(3)H 0 :0H 1 :0单正态总体均值的Z 检验双边检验左边检验右边检验X0（大样本情形未知时用 S代替）Zn/拒绝域的代数表示双边检验ZZ / 2左边检验ZZ右边检验ZZ比例 特殊的均值的Z 检验pp0p0