正弦定理和余弦定理习题与答案

1、正弦定理和余弦定理测试题一、选择题：1在 ABC中， a15，b10，A60，则 cosB()22226A 3B.3C3D.632在 ABC中，角 A，B，C的对边分别是 a，b，c. 若 a2b23bc，sin C23sin B，则 A()A30B60C 120D1503E，F 是等腰直角 ABC斜边 AB上的三等分点，则tan ECF()16233A. 27B. 3C.3D.44ABC中，若 lg alg clgsin B lg2且 B 0， 2 ，则 ABC的形状是 ()A等边三角形B 直角三角形C 等腰三角形D 等腰直角三角形5 ABC中， a、b、c 分别为 A、 B、 C 的对边，

2、如果 a、b、c成等差数列， B30， ABC的面积为 0.5 ，那么 b 为()A1 3B3 3C.3 3D2 336已知锐角 A是 ABC的一个角， a、b、c 是三角形中各角的对应边，若 sin2 cos2 1，则 ()AA2A bc2a B bc2aCb c2a D bc2a7、若 ABC 的角 A 满足 sin 2 A2 ，则 sin A cos A3A. 153B153C 5D 5338、如果A1B1C1 的三个角的余弦值分别等于A2 B2C2 的三个角的正弦值，则A A1B1C1 和A2B2 C2 都是锐角三角形B A1 B1C1 和A2 B2C 2 都是钝角三角形CA1 B1C

3、1 是钝角三角形，A2 B2C2 是锐角三角形D A1B1C1 是锐角三角形，A2 B2 C2 是钝角三角形9、VABC的三角A, B, C 所 对 边 的 长 分 别 为 a,b, c 设 向 量urrurrp (ac, b) , q (b a, ca) , 若 p / q , 则角 C 的大小为(A)(B)(C)(D)2336210、已知等腰 ABC 的腰为底的 2 倍，则顶角 A 的正切值是（） 3 3 15 1528711、 ABC 的角 A、B、C的对边分别为a、b、c，若 a、b、c 成等比数列，且 c2a ，则 cosBA 1B 3C 2444D2312、在ABC中，角 A、B、

4、C的对边分别为 a、b、c, A=, a= 3 , b=1，3则 c=(A)1（B）2（C） 3 1（D）3二、填空题：13 、 在 ABC 中 ， 若 sin A:sin B :sin C5:7:8 ， 则B的大小是_.14、在 ABC中，已知 a3 3，则.b 4 A30sinB415、在 ABC中，已知 BC12，A60， B45，则 AC16、已知 ABC的三个角 A、B、C成等差数列，且 AB1，BC4，则边 BC上的中线 AD的长为三、解答题：1117。、已知 ABC的角 A，B 及其对边 a，b 满足 abatan Abtan B，求角 C.18、在ABC中，a，b，c 分别为角

5、 A，B，C的对边，且 2asin A(2 b c)sin B(2 cb)sin C.(1) 求 A 的大小； (2) 若 sin Bsin C1，试判断 ABC的形状19、如图，在 ABC中，已知 B45，D是 BC边上的一点， AD10，AC14，DC6，求 AB的长20、已知 ABC 的周长为21，且 sin Asin B2 sin C （I ）求边 AB的长；（II ）若 ABC 的面积为 1 sin C ，求角 C 的度数621、 ABC中，角 A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列， cos B3 .4uuur uuur3 ，求 ac 的值 .（）求 cot

6、 A+cot C的值； （）设 BA BC222、 某海轮以 30 海里 / 小时的速度航行，在 A点测得海面上油井 P 在南偏东 60 ，向北航行 40 分钟后到达 B点，测得油井 P 在南偏东 30 ，海轮改为北偏东 60 的航向再行驶 80 分钟到达 C点，求 P、C间的距离答案ab1. 解析：依题意得 0B60，由正弦定理得 sin Asin B得 sin Bbsin A326a 3 ，cosB1sinB3，选D.2. 解析：由 sin23sinB可得c2 3 ，由余弦定理得cos CbAb2c2a2 3bcc232bc2bc 2 ，于是 A30，故选 A.123. 解析：设 AC1，

7、则 AEEFFB3AB 3 ，由余弦定理得 CECF522222CECFEF AEAC2ACAEcos45 3 ，所以 cosECF2CECF4 5，4 2sin ECF1 53答案： D所以 tan ECF4 .cosECF45a2a4. 解析：lg alg clgsin B lg2，lg clgsinBlg 2 . c2sin B 2 . 0， ，由c2a， 得 a2c2 b2B2B4cosB2ac3222ab22a2 2 . a2b2， ab.答案： D1112222225. 解析： 2bac，2ac22? ac2，a c4b 4，b a c3?24233 3答案： C2acb3? b3

8、.222116. 解析：由 sinAcosA2，得 cos2A 2，又 A 是锐角，所以A60，于是 BC120.bcsin Bsin C所 以2a 2sin ABCBC2sin2 cos2BC3cos2 1，bc2a.答案： c7. 解：由 sin2A 2sinAcosA0，可知 A 这锐角，所以 sinA cosA0，又 (sin A cos A)21sin 2A5，故选 A38. 解： A1B1C1 的三个角的余弦值均大于 0，则 A1B1C1 是锐角三角形，sin A2cos A1sin(2A1)A2A12若 A2 B2C2 是锐角三角形，由sin B2cosB1sin(2B1) ，得

9、 B2B1 ，2sinC2cosC1sin(2C1 )C2C12那么， A2 B2C2，所以 A2 B2C2 是钝角三角形。故选 D。urr2(a c)(c a)b(ba) b2a2c2ab ，利用余弦定理9. 【解析】 p / q1可得 2cosC1，即 cosCC，故选择答案 B。23【点评】本题考查了两向量平行的坐标形式的重要条件及余弦定理和三角函数，同时着重考查了同学们的运算能力。10.解：依题意，结合图形可得tan A15，故2152tan A21515，选 D15tanA212A1 ( 15)27tan21511. 解： ABC 中， a、b、c 成等比数列，且 c2a ，则 b=

10、 2 a，cosBa2c2b2= a24a22a23，选 B.2ac4a2412. 解：由正弦定理得 sinB 1 ，又 a b，所以 A B，故 B30 ，所2以 C90 ，故 c2，选 B二、填空13.解： sin A :sin B :sin C5:7:8a b c5 7 8设 a5k，b7k，c8k 由余弦定理可解得B 的大小为 .314.解：由正弦定理易得结论 sinB 3 。215.【正确解答】由正弦定理得，AC oBCo 解得 AC 4 6sin 45sin 60【解后反思】解三角形：已知两角及任一边运用正弦定理，已知两边及其夹角运用余弦定理16.解析: 由ABC 的三个角 A、

11、B、 C 成等差数列可得 A+C=2B而A+B+C= 可得B3AD为边 BC上的中线可知 BD=2,由余弦定理定理可得 AD3 。本题主要考察等差中项和余弦定理 , 涉及三角形的角和定理, 难度中等。三、解答题： (17-21 题 12 分， 22 题 14 分，写出证明过程或推演步骤 )117。、已知 ABC的角 A，B 及其对边 a，b 满足 abatan A1btan B，求角 C.11解：由 abatan Abtan B及正弦定理得sin Asin B cosAcosB，即 sin AcosAcosBsin B， 从而 sin Acos 4 cosAsin 4 cosBsin4sinB

12、cos4，即sinA4sin4 B.又 0AB，故 A44B，AB2，所以C2.18、在 ABC中， a，b，c分别为角A，B，C的对边，且2asinA(2 bc)sinB(2 cb)sinC.(1)求 A 的大小； (2)若sinBsinC1，试判断ABC的形状解：(1) 由已知，根据正弦定理得2a2(2 bc) b(2 cb) c，即a2b2c2bc.2221由余弦定理得a b c 2bccosA，故 cosA ，又 A (0 ， ) ，故 A120.(2) 由(1) 得 sin 2Asin 2Bsin 2Csin Bsin C. 又 sin Bsin C11，得 sin Bsin C2.

13、因为 0B90，0C90，故 BC. 所以 ABC是等腰的钝角三角形19、如图，在 ABC中，已知 B45， D是 BC边上的一点， AD10，AC14，DC6，求 AB的长解：在 ADC中， AD10，AC14，DC6，由余弦定理得222ADDCAC 10036196 1 cos ADC 2ADDC 2106 2， ADC120，ADB60.在 ABD中，AD10，B45， ADB60，由正弦定理得ABADADsin ADB，ABsin Bsin ADB sin B310sin60 10 2sin45 256.220、已知 ABC 的周长为2 1，且 sin Asin B2 sin C （I

14、 ）求边 AB的长；（II）若 ABC 的面积为 1 sin C ，求角 C 的度数6解：（I ）由题意及正弦定理， 得 ABBCAC21，BCAC2AB，两式相减，得 AB1（II）由 ABC 的面积 1 BC gACgsin C1 sinC ，得 BCgAC1 ，由余弦定263理，得cosCAC 2BC 2AB 2(AC BC)22AC gBCAB21，所以 C60o 2 AC gBC2AC gBC221、 ABC中，角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知 a，b，c 成等比数列， cos B3 .4uuuruuur3 ，求 ac 的值 .（）求 cot A+cot C的值； （）设

15、 BA BC2分析：本题是正、余弦定理与向量、等比数列等知识的交汇，关键是用好正弦定理、余弦定理等解：（）由 cosB3 , 得 sin B1(3)27 , 由 b2=ac 及正弦定理444得sin 2B sin A sin C .11cos AcosCsin C cosA cosC sin Asin( AC)则 cot A cotCsin Asin Csin Asin C2Btan A tan Csinsin B147.sin 2 Bsin B 7uuur uuur3 ，得 ca?cos B3，由 B3，可得 ac2，（）由 BA BC224即 b22由余 弦定 理 b2=a2+c2 2ac+cosB ，得a2+c2=b2+2ac cosB=5.(ac) 2a 2c22ac549,ac322、 某海轮以 30 海里 / 小时的速度航行，在A点测得海面上油井P在南偏东 60 ，向北航行 40 分钟后到达 B点，测得油井 P 在南偏东 30 ，海轮改为北偏东 60 的航向再行驶80 分钟到达 C点，求 P、C间的距离解：如图，在 ABP中， AB = 30 40 = 20 ，6