高中数学选修不等式选讲

1、不等式选讲（高考试题汇编）一、知识点整合：1 含有绝对值的不等式的解法(1)|f( x)|a(a0) ? f(x)a 或 f(x) a；(2)|f( x)|0) ? af(x)a.(3) 对形如 |xa| |x b| c， |xa| |x b| c 的不等式，可利用绝对值的几何意义求解2 含有绝对值的不等式的性质|a| |b| |ab| |a| |b|.3 柯西不等式(1)设 a，b， c， d 均为实数，则 (a2b2)(c2 d2) (ac bd)2，当且仅当 ad bc 时等号成立*n2nn2a1a2anii2i i jj(2)ii)，当且仅当 0时，认为 0， j若 a， b(i N

2、)为实数，则 ( a )( b) ( a bbbb(当某 bai 1i 1i 1n12 1,2， ， n)时等号成立(3)柯西不等式的向量形式：设， 为平面上的两个向量，则| | |，当且仅当这两个向量共线时等号成立4 不等式的证明方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等二、典型题型题型一含绝对值的不等式的解法例 1(2013 课标全国 )已知函数 f(x) |2x 1| |2x a|，g(x) x3.(1) 当 a 2 时，求不等式f(x) 1，且当 x 2， 2 时， f(x) g(x)，求 a 的取值范围审题破题(1)可以通过分段讨论去绝对值；(2)

3、 在 xa， 1时去绝对值，利用函数最值求a 的范围2 2解 (1) 当 a 2 时，不等式 f(x)g(x)化为 |2x 1| |2x2| x 30.设函数 y |2x 1| |2x 2| x 3， 5x， x1，其图象如图所示，由图象可知，当且仅当x (0,2)时， y0，所以原不等式的解集是 x|0x 1，则 20 的解集；(2) 若关于 x 的不等式 f(x) 2 的解集是 R，求 m 的取值范围题型二 不等式的证明例 2(2012 福建 )已知函数f(x) m |x 2|， m R，且 f(x 2) 0 的解集为 1,1(1) 求 m 的值；(2) 若 a，b， c R ，且 1 1

4、 1 m，求证： a 2b 3c 9. a 2b 3c审题破题(1)从解不等式f(x 2) 0 出发，将解集和 1,1对照求 m； (2)利用柯西不等式证明(1) 解因为 f(x2) m |x|，f(x 2) 0 等价于 |x| m.由 |x|m 有解，得m 0，且其解集为 x| m x m 又 f(x 2) 0 的解集为 1,1，故 m 1.1111，(2) 证明由 (1) 知a2b3c又 a， b， cR ，由柯西不等式得1 1 1 a 2b 3c (a 2b 3c) a 2b3c12b1 3c12 9. a2b3ca反思归纳不等式证明的基本方法是比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法和数

5、学归纳法，其中以比较法和综合法最为基础，使用综合法证明不等式的关键就是通过适当的变换后使用重要不等式，证明过程注意从重要不等式的形式入手达到证明的目的变式训练 2已知 f(x) |x 1| |x1|，不等式 f(x)4 的解集为 M.(1) 求 M；(2) 当 a，b M 时，证明： 2|ab|0 时， 4a x 2a，得 a 2.x(2) 记 h(x) f( x) 2f 2 ，1， x 1，则 h( x) 4x3， 1x0) (1) 当 a1 时，解不等式 f(x) 8；(2) 若 f(x) 6 恒成立，求正实数a 的取值范围三、专题限时规范训练一、填空题1 不等式 |x 3| |x 2|

6、3 的解集为x y2 设 x0， y0， M，N_x y ，则 M、 N 的大小关系为 _ 2x 2 y3 对于实数x， y，若 |x 1| 1， |y 2| 1，则 |x 2y 1|的最大值为 _4 若关于 x 的不等式 |a| |x 1| |x2|存在实数解，则实数a 的取值范围是_二、解答题5 设不等式 |2x 1|a 2|1 对于一切非零实数x 均成立，求实数a 的取值范围7 (2012 江苏 )已知实数 x， y 满足： |x y|1， |2x y|1，求证： |y| 5.36188 已知函数f(x) |x a|.(1) 若不等式 f(x) 3 的解集为 x| 1 x 5 ，求实数

7、a 的值；(2) 在 (1)的条件下，若 f(x)f(x 5) m 对一切实数 x 恒成立，求实数 m 的取值范围9 已知函数f(x) |2x 1| |2x 3|.(1) 求不等式 f(x) 6 的解集；(2) 若关于 x 的不等式 f(x)|a 1|的解集非空，求实数a 的取值范围10设 a， b， c 为正实数，求证：13 13 13 abc 23.abc一、填空题1（ 2013 年 高 考 湖 北 卷 （ 理 ） 设 x, y, z R ,且 满 足 : x2y2z21 , x2 y 3z14,则x y z _.二、解答题2（ 2013 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯

8、WORD版含答案）选修 45; 不等式选讲设 a, b,c 均为正数 , 且 abc 1, 证明 :( )1a2b2c2; ().ab bcca3bc1a3（ 2013 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD版）选修4-5: 不等式选讲已知函数 f xx a ,其中 a1.(I)当 a=2 时 ,求不等式 fx4x4的解集;(II)已知关于 x 的不等式f2xa2 f x2 的解集为 x |1x 2, 求 a 的值 .4（ 2013 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题）不等式选讲: 设不等式 x 2a(aN* ) 的解集为A,且3A ,1A .22(1)求 a 的值

9、;(2)求函数 f (x)xa x 2 的最小值 .56（ 2013 年高考湖南卷（理） ）在平面直角坐标系xOy 中 , 将从点 M出发沿纵、横方向到达点N 的任一路径成为 M到 N 的一条“L 路径” . 如图 6 所示的路径MM 1M 2 M3 N与路径 MN1N 都是 M到 N 的“L路径” . 某地有三个新建的居民区, 分别位于平面 xOy 内三点 A(3, 20), B(10,0), C (14,0) 处 . 现计划在 x 轴上方区域 ( 包含 x轴 ) 内的某一点P 处修建一个文化中心 .(I) 写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式 ( 不要求证明 );(I

10、I)若以原点O为圆心 , 半径为 1 的圆的内部是保护区 , “L 路径”不能进入保护区, 请确定点P 的位置 , 使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小 .四，高考试题汇编1 (2013重庆 )若关于实数 x 的不等式 |x 5| |x 3|0, 求证 : 2a3b32ab 2a2 b4 (2012东山 )若不等式 |kx 4| 2的解集为 x|1x 3，则实数 k _.| x y |1 ，| 2xy | 1 ，| y |55.（ 2012、江苏）已知实数 x， y 满足：36 求证：18 6 (2011 湖南 )设 x， y R，且 xy0，则 x2 y12 x12 4y2 的最小值为

11、 _1.(2011山东 )不等式 | x5| x3|10 的解集为（ A ） -5.7（ B ） -4,6（C） (,57,)（D） (, 46,)2.(2011年高考天津卷理科13)AxR | x3x49 , BxR | x1(0, )4t, t已知集合t，则集合 A B =_.3.对于实数 x， y，若 x 11， y 21，则 x2y1 的最大值为.4.(2011 年高考广东卷理科9) 不等式 x1 x 30 的解集是 _.4(2011 年高考陕西卷理科15)（不等式选做题）若关于x 的不等式 ax 1 x 2 存在实数解，则实数a 的取值范围是5 (2011 年高考辽宁卷理科 24)（

12、本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲已知函数 f （x） =|x-2|-|x-5|.（ I ）证明： -3 f （x） 3；（ II ）求不等式 f （ x） x2-8x+15 的解集 .6. (2011 年高考全国新课标卷理科 24)（本小题满分 10 分） 选修 4-5 不等选讲设函数 f (x) x a3x, a0（ 1）当 a 1时，求不等式f ( x) 3x2 的解集；(2) 如果不等式 f ( x)0 的解集为 x x1 ，求 a 的值。7.(2011 年高考江苏卷21)选修 4-5：不等式选讲（本小题满分10 分）解不等式：x| 2x1|38 (2011 年高考福建卷理

13、科21)（本小题满分7 分）选修4-5：不等式选讲设不等式2x -11的解集为 M （ I）求集合 M ；（ II ）若 a， bM ，试比较 ab+1 与 a+b 的大小9（ 2010 年高考陕西卷理科15） (不等式选做题)不等式的解集为.10（ 2010 年高考福建卷理科21）（本小题满分7 分）选修4-5：不等式选讲已知函数。（）若不等式的解集为，求实数的值；（）在（）的条件下，若对一切实数 x 恒成立，求实数m 的取值范围。12（ 2010 年高考辽宁卷理科24）（本小题满分10 分）选修4-5：不等式选讲已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。ax 2x | a1 | |

14、a | 013（ 2008 广东， 14）（不等式选讲选做题）已知R ，若关于 x 的方程4有实根，则a 的取值范围是。14（ 2007 广东， 14）（不等式选讲选做题）设函数f ( x)| 2x 1| x 3,则 f (2) =；若 f (x)5 ，则 x 的取值范围是。4设函数 f（ x） =|x+1|+|x-a|的图象关于直线 x=1 对称，则 a 的值为16（ 2007 海南、宁夏，22C， 10 分）（选修 4 5：不等式选讲 ）设函数 f ( x)| 2x 1 | | x 4 | .（ 1）解不等式f ( x)2 ；（ 2）求函数 yf ( x) 的最小值。17（ 2008 山东高考题）若不等式| 3xb | 4 的解集中的整数有且仅有1 、 2 、 3 ，则 b 的取值范围为。| x1 |118. （ 2009 广东 14)不等式 | x2 |的实数解为.19（ 2009 福建选考 21（ 3）解不等式 2x-1 0 的解集为 _.4 江西 15.（ 2）（不等式选做题）在实数范围内，不等式|2x-1|+|2x+1| 6的解集为 _。5 辽宁 24.（本小题满分10 分）选修4