（推荐）第六章-分离性公理

1、4/21/20211 本章介绍分离性公理与可度量化定理, 其中 包含著名的Urysohn引理、Tietze扩张定理和 Urysohn嵌入定理, 这是全书中最难证明的几 个重要定理. 几类分离性公理的刻画及相互关 系(6.1-6.4)是本章的主要内容. 4/21/20212 定义定义6.1.16.1.1 X称为T0空间, 若X中任两个不同点中必有 一点有一个开邻域不包含另一点, 即xyX, 或者有开 邻域U不含y, 或者有开邻域V不含x. 定理定理6.1.16.1.1 X是T0 xyX, xy. 证证 “”xyX, 若x有邻域U使yU, 那么xy, 所以xy. 同理, 若y有邻域V使xV, 那么

2、xy. “” xyX, 由于xy, 不妨设x-y, 如果xy, 那么xy, 矛盾, 于是xy, 所以 xy. 4/21/20213 定义定义6.1.26.1.2 X称为T1空间, 若X中任两不同点中每一点有一 个开邻域不包含另一点, 即xyX, x的邻域U使yU. T1T0, 反之不成立, 如X=0, 1, T=, 0, X. 定理定理6.1.26.1.2 X是T1xX, x是闭集. 证证 “”xyX, 存在y的邻域U使xU, 那么yx, 从 而x=x. “” xyX, x有开邻域y使yy, y有开邻域x使 xx. 等价于有限集是闭集, 因为x1, x2, , xn=x1xn. 4/21/20

3、214 定理定理6.1.36.1.3 设X是T1空间, AX. 则xd(A)x的邻域U, UA是无限集. 只须证“”. 若不然, x的邻域U使UA是有限集, 则B=UA-x是闭集, 于是U-B是x的开邻域且(U- B)A=, 矛盾. 定义定义6.1.3 X6.1.3 X称为T2空间或Hausdorff空间, 若X中不同 点存在互不相交的开邻域. 即xyX, 分别x, y的邻域U, V使得UV=. T2T1, 反之不成立. 4/21/20215 例例6.1.16.1.1 含有无限多个点的有限补空间X: T1, 非T2. X的每一有限子集是闭集, 所以X是T1空间. 由于X中任两个非 空开集必定相

4、交, 所以X不是T2空间. 定理定理6.1.5 6.1.5 T2空间中, 任意收敛序列有唯一极限点. 证证 设T2空间X中的序列xiy1, 又有xiy2且y1y2, 分别y1, y2 的开邻域V1, V2使V1V2=, nZ Z+, 使in有xiV1V2, 矛盾. 在T1空间中, 定理6.1.5可以不成立. 如对例6.1.1中的空间X, X 中的任一由两两不同点构成的序列xi收敛于任意xX. 事实上, 设U是x的开邻域, 则U是有限集, nZ Z+, 使当in时有xiU, 所以 xix. 4/21/20216 定义定义6.2.16.2.1(集的邻域) 设A, UX, 若AU, 称U是A的邻域.

5、 若U还是开(闭)集, 称U是A的开(闭)邻域. 定义定义6.2.26.2.2 X称为正则空间, 如果xX, 及X的不含x的闭集 A, 则x与A有不相交的开邻域, 即X的不交开集U, V使xU且 AV. 定理定理6.2.16.2.1 X是正则空间xX及x的开邻域U, 开集V使 xVVU. 证证 “”对x的开邻域U, xU, X的不交开集U1, V1使 xU1, UV1, 从而xU1(U1)(V1)U. “”xX及X的闭集A使xA, 那么xA, 开集V使 xVVA, 令U=V, 则V, U是不交开集且xV, AU. 4/21/20217 定义定义6.2.36.2.3 X称为正规空间, 如果X中不

6、交闭集存在不交 的开邻域, 即若A, B是X的不交的闭集, 存在不交开集U, V 使AU, BV. 定理定理6.2.26.2.2 X是正规空间对X的闭集A及A的开邻域U, 存在开集V使AVVU. 与定理6.2.1的证明类似. 例例6.2.16.2.1 正则+正规 T0. 令X=1, 2, 3, T=, 1, 2, 3, X, 则(X, T)是拓扑空间. 由 于X的开集也是闭集, 所以X是正则, 正规空间. 由两点2, 3可 见, X不是T0空间. 4/21/20218 例例6.2.26.2.2(Smirnov删除序列拓扑) T2, 非正则空间. R R的通常拓扑为T. 令 K=1/n | nZ

7、 Z+, T*=G-E | GT, EK. 可以验证T*是R R上的拓扑且TT*. 于是(R R, T*)是T2空间. 由于(R R, T*)的闭集K与0没有不交的开邻域, 所以(R R, T*)不 是正则空间. 定义定义6.2.46.2.4 T3=正则+T1, T4=正规+T1. T4T3T2. 正则 正规, 关键在于“单点集未必是闭集”. 4/21/20219 定理定理6.2.36.2.3 度量空间T4. 证证 对度量空间(X, ), 先证X是T2. xyX, (x, y)=20, 则B(x, ), B(y, )是x, y的不交的开邻域. 设A, B是X的不交的非空闭集. x, yX, 由

8、定理2.4.9, 如 果xB, 则(x, B)0; 如果yA, 则(y, A)0. 记(x, B)=2(x), (y, A)=2(x), 并令U=xAB(x, (x), V=yBB(y, (y), 则U, V分别是A, B的开邻域. 以下证明 UV=. 若不然, zUV, x1A, y1B, 使zB(x1, (x1)B(y1, (y1), 于是(z, x1)(x1), (z, y1)(y1). 不妨 设(x1)(y1), 于是(x1, y1)(x1, z)+(z, y1)0, B(x, )D. n0使inxi22/2. 于是y=(y1, y2, , yn, 0, 0, )D且 所以yB(x, )D. in, yiQ Q使|xi-yi|/ . 2n (x, y)= =, /2)2n/n(x)y-(x 22 nini 2 i 2 ii 4/21/202122 定理定理6.6.3 6.6.3 下述等价: (1)X是第二可数的T3空间; (2)X可嵌入H H; (3)X是可分的度量空