2021_2022学年新教材高中数学第2章函数习题课_函数性质的综合应用课件北师大版必修第一册

1、习题课习题课函数性质的综合应用函数性质的综合应用 自主自主预习预习新知新知导学导学 合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑 规规 范范 解解 答答 随随 堂堂 练练 习习 课标定位课标定位 素养阐释素养阐释 1.掌握函数奇偶性与单调性的关系掌握函数奇偶性与单调性的关系,能够运用这能够运用这 种关系解决相关问题种关系解决相关问题. 2.掌握抽象函数奇偶性与单调性的判断方法掌握抽象函数奇偶性与单调性的判断方法. 3.掌握函数奇偶性与单调性的综合应用掌握函数奇偶性与单调性的综合应用. 4.感受数学抽象的过程感受数学抽象的过程,提高逻辑推理能力与数提高逻辑推理能力与数 学运算能力学运算能力. 一、函数单调性

2、与奇偶性的关系一、函数单调性与奇偶性的关系 【问题思考】【问题思考】 1.观察偶函数观察偶函数y=x2与与奇函数奇函数 在区间在区间(-,0)和和(0,+)上的单上的单 调性调性,你有何猜想你有何猜想? 提示提示:偶函数偶函数y=x2在区间在区间(-,0)和和(0,+)上的单调性相反上的单调性相反;奇函奇函 数数 在在区间区间(-,0)和和(0,+)上的单调性相同上的单调性相同.猜想猜想:奇函数又奇函数又 在关于原点对称的区间上的单调性相同在关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数又在关于原偶函数又在关于原 点对称的区间上的单调性相反点对称的区间上的单调性相反. 2.填空填空:奇函数在关于原点

3、对称的区间上的单调性奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同相同;偶函偶函 数在关于原点对称的区间上的单调性数在关于原点对称的区间上的单调性相反相反. 3.做一做做一做:已知奇函数已知奇函数f(x)在区间在区间0,+)内单调递增内单调递增,则满足则满足 f(x)f(1)的的x的取值范围是的取值范围是() A.(-,1)B.(-,-1) C.(0,1)D.-1,1) 解析解析:因为函数因为函数f(x)在区间在区间0,+)内单调递增内单调递增,且是奇函数且是奇函数,所以所以 f(x)在在R上为增函数上为增函数, 所以所以f(x)f(1)xf(m+3), 则必有则必有2m-10,求实数求实数a的取值

4、范围的取值范围. 解解:由由f(x)是定义在区间是定义在区间(-1,1)内的奇函数内的奇函数,且且f(1-a)+f(1-2a)0, 得得f(1-a)-f(1-2a)=f(2a-1). 因为因为f(x)在定义域上为减函数在定义域上为减函数, 1.求解函数的单调性和奇偶性的综合问题时求解函数的单调性和奇偶性的综合问题时,要明确奇函数在要明确奇函数在 关于原点对称的区间上的单调性相同关于原点对称的区间上的单调性相同,偶函数在关于原点对偶函数在关于原点对 称的区间上的单调性相反称的区间上的单调性相反. 2.求解有关函数的奇偶性、单调性以及求参数取值范围的综求解有关函数的奇偶性、单调性以及求参数取值范围

5、的综 合问题时合问题时,一般先利用奇偶性得出函数在所给区间上的单调一般先利用奇偶性得出函数在所给区间上的单调 性性,再利用单调性脱去函数的符号再利用单调性脱去函数的符号“f”,转化为解不等式转化为解不等式(组组)的的 问题问题.需要注意的是需要注意的是:在转化时在转化时,自变量的取值必须在同一单调自变量的取值必须在同一单调 区间上区间上;当不等式一边没有符号当不等式一边没有符号“f”时时,需转化为含符号需转化为含符号“f”的的 形式形式. 【变式训练【变式训练1】 已知偶函数已知偶函数f(x)在区间在区间0,+)内单调递减内单调递减,则则 f(1)和和f(-10)的大小关系为的大小关系为()

6、A.f(1)f(-10)B.f(1)f(-10) C.f(1)=f(-10)D.f(1)和和f(-10)关系不定关系不定 解析解析:f(x)是偶函数是偶函数, f(-10)=f(10). 又又f(x)在区间在区间0,+)内单调递减内单调递减,且且1f(10),即即f(1)f(-10). 答案答案:A 探究探究二二 抽象抽象函数奇偶性与单调性的判断函数奇偶性与单调性的判断 【例【例2】 已知定义在已知定义在R上的函数上的函数f(x)满足满足f(x+y)=f(x)+f(y),当当 x0时时,f(x)0.求证求证: (1)f(x)为奇函数为奇函数; (2)f(x)为为R上的增函数上的增函数. 证明证

7、明:(1)令令x=y=0, 则则f(0)=f(0)+f(0),所以所以f(0)=0. 令令y=-x,则则f(0)=f(x)+f(-x), 即即f(-x)=-f(x).故故f(x)为奇函数为奇函数. (2)任取任取x1x2,则则x1-x20. 又又x0时时,f(x)0,f(x1-x2)0. f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2)0, 即即f(x1)f(x2). f(x)为为R上的增函数上的增函数. 1.关于抽象函数奇偶性的判断主要是利用函数的性质和已知关于抽象函数奇偶性的判断主要是利用函数的性质和已知 条件寻求条件寻

8、求f(x)和和f(-x)的关系的关系,从而得到结论从而得到结论.具体判断步骤如下具体判断步骤如下 (1)明确目标明确目标:判断判断f(x)与与f(-x)的关系的关系; (2)用赋值法在已知函数解析式中凑出用赋值法在已知函数解析式中凑出f(x)与与f(-x)的关系的关系; (3)判断判断f(x)与与f(-x)的关系后确定结论的关系后确定结论. 2.抽象函数一般由方程抽象函数一般由方程(不等式不等式)确定确定,这类函数的单调性问题这类函数的单调性问题 一般用单调性的定义来处理一般用单调性的定义来处理,但要注意运用所给条件但要注意运用所给条件,判断出判断出 函数值之间的关系函数值之间的关系.常见思路

9、常见思路:首先在所证区间上设出任意首先在所证区间上设出任意 x1,x2(x10时时,f(x)1.求证求证: (1)y=f(x)-1为奇函数为奇函数; (2)f(x)是是R上的增函数上的增函数. 证明证明:(1)因为定义在因为定义在R上的函数上的函数f(x)对任意对任意x1,x2R,都有都有 f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-1成立成立,所以令所以令x1=x2=0, 得得f(0+0)=f(0)+f(0)-1,即即f(0)=1. 令令x1=x,x2=-x,得得f(x-x)=f(x)+f(-x)-1,所以所以f(x)-1+f(-x)-1=0. 又由题意可知又由题意可知,y=f(x)-1的定义

10、域为的定义域为R, 故故y=f(x)-1为奇函数为奇函数. (2)由由(1)知知y=f(x)-1为奇函数为奇函数, 所以所以f(x)-1=-f(-x)+1. 任取任取x1,x2R,且且x10, 所以所以f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)-1=f(x2)-f(x1)-1=f(x2)-f(x1)+1. 因为当因为当x0时时,f(x)1, 所以所以f(x2-x1)=f(x2)-f(x1)+11, 即即f(x1)f(x2),故故f(x)是是R上的增函数上的增函数. 函数性质的综合函数性质的综合应用应用 (1)确定确定f(x)的解析式的解析式; (2)用定义证明用定义证明:f(x)在区间在区间(

11、-1,1)内是增函数内是增函数; (3)解不等式解不等式:f(2t-1)+f(t)0. (3)解解:由题意可知由题意可知f(x)在区间在区间(-1,1)内是奇函数内是奇函数,则则f(2t-1)- f(t)=f(-t). 因为因为f(x)在区间在区间(-1,1)内是增函数内是增函数, 第第2步步:解方程组求出解方程组求出a,b的值即得函数的解析式的值即得函数的解析式. 第第3步步:根据取值、作差变形、定号、下结论的步骤证明函数根据取值、作差变形、定号、下结论的步骤证明函数 的单调性的单调性. 第第4步步:由由f(x)为奇函数将已知不等式转化为奇函数将已知不等式转化. 第第5步步:由由f(x)为增

12、函数去掉为增函数去掉“f”建立关于建立关于t的不等式的不等式. 第第6步步:得到得到t的取值范围的取值范围. 造成失分的原因主要如下造成失分的原因主要如下 (1)计算出错计算出错,导致解析式错误导致解析式错误; (2)利用函数单调性的定义证明单调性的过程不规范利用函数单调性的定义证明单调性的过程不规范,没有对没有对 作差后的式子进行恰当的变形作差后的式子进行恰当的变形; (3)忽视函数的定义域这一隐含条件忽视函数的定义域这一隐含条件,由由f(2t-1)f(-t)只得到只得到2t- 1-t,从而得到错误结果从而得到错误结果. 【变式训练】【变式训练】 已知函数已知函数y=f(x)是定义在是定义在

13、R上的奇函数上的奇函数,且当且当 x0时时,f(x)=-x2+ax. (1)若若a=-2,求函数求函数f(x)的解析式的解析式; (2)若函数若函数f(x)为为R上的减函数上的减函数, 求实数求实数a的取值范围的取值范围; 若对任意实数若对任意实数m,f(m-1)+f(m2+t)0恒成立恒成立,求实数求实数t的取值范的取值范 围围. 解解:(1)由由a=-2得得,当当x0时时,f(x)=-x2-2x. 设设x0, f(-x)=-x2+2x,又又f(x)为奇函数为奇函数, -f(x)=f(-x)=-x2+2x, f(x)=x2-2x. (2)当当a0时时,函数函数f(x)=-x2+ax图象的对称

14、轴为直线图象的对称轴为直线 f(x)=-x2+ax在区间在区间0,+)内单调递减内单调递减. 由于奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同由于奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同, f(x)在区间在区间(-,0)内单调递减内单调递减. 又在区间又在区间(-,0)内内f(x)0,在区间在区间(0,+)内内f(x)0, 当当a0时时,f(x)为为R上的减函数上的减函数. f(m-1)+f(m2+t)0, f(m-1)-f(m2+t). 又又f(x)是奇函数是奇函数, f(m-1)-t-m2恒成立恒成立, 1.下列函数既是偶函数下列函数既是偶函数,又在区间又在区间(0,+)上单调递增的是上单调递

15、增的是() A.y=x3B.y=|x|+1 C.y=-x2+1D.y=2x+1 解析解析:A项函数为奇函数项函数为奇函数;B,C项函数为偶函数项函数为偶函数;D项函数既不项函数既不 是奇函数是奇函数,也不是偶函数也不是偶函数;C项函数在区间项函数在区间(0,+)上单调递减上单调递减, 故选故选B. 答案答案:B 2.若函数若函数y=f(x)是定义在是定义在R上的偶函数上的偶函数,在区间在区间(-,0上单调递上单调递 减减,且且f(2)=0,则使函数值则使函数值y0的的x的取值范围为的取值范围为() A.(-,2)B.(2,+) C.(-,-2)(2,+)D.(-2,2) 解析解析:由于由于f(

16、x)是偶函数是偶函数,且且f(2)=0,故故f(-2)=0,根据已知条件根据已知条件,可可 画出函数画出函数y=f(x)的示意图的示意图(图略图略).图象关于图象关于y轴对称轴对称,由图象可由图象可 知知,使函数值使函数值y0的的x的取值范围为的取值范围为(-2,2). 答案答案:D 3.已知已知y=f(x)是定义在是定义在R上的奇函数上的奇函数,当当x0时时,f(x)=x+2,那么不那么不 等式等式2f(x)-10的解集是的解集是() 答案答案:B 4.若函数若函数f(x)是是R上的偶函数上的偶函数,且在区间且在区间0,+)上单调递减上单调递减,则则 满足满足f()f(a)的实数的实数a的取值范围是的取值范围是. 解析解析:若若a0,由函数由函数f(x)在区间在区间0,+)上单调递减上单调递减,且且f()f(a), 得得0a. 若若a0,因为因为f(x)为偶函数为偶函数,则由函数则由函数f(