初中二次函数的解题方法

1、11.1 班沈阳14号初中二次函数的解题方法首先回顾一下初中二次函数的重要性质和基本表达式：一般式 ： y=ax2+bx+c(a 0,a 、 b、c 为常数 ) ，顶点坐标为 (-b/2a,4ac-b2 /4a) ;顶点式 ：y=a(x-h) 2 +k(a 0,a 、h、k 为常数 ), 顶点坐标为 (h,k),对称轴为 x=h，顶点的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax2 的图像相同，有时题目会指出让你用配方法把一般式化成顶点式。交点式 ： y=a(x-x1)(x- x2) (a 0) 仅限于与 x 轴即 y=0 有交点 A(x1 ，0) 和 B(x2 ，0) 的抛物线 , 即b2- 4a

2、c0 ：由一般式变为交点式的步骤：X1+x2=-b/ax1x2=c/ay=ax2 +bx+c=a(x 2 +b/ax+c/a)=ax2 ;-(x1+x2)x+x1x2=a(x-x1)(x-x2)重要概念 ：。1. 二次函数图像是轴对称图形。对称轴为直线x = h或者 x=-b/2a对称轴与二次函数图像唯一的交点为二次函数图像的顶点 P。特别地， 当 h=0 时，二次函数图像的对称轴是 y 轴 ( 即直线 x=0);a,b 同号，对称轴在 y 轴左 b=0, 对称轴是 y 轴;a,b 异号，对称轴在 y 轴右侧2. 二次函数图像有一个顶点 P，坐标为 P ( h,k ) 当h=0 时， P 在

3、y 轴上 ; 当 k=0 时， P 在 x 轴上。 h=-b/2ak=(4ac-b2)/4a3. 二次项系数 a 决定二次函数图像的开口方向和大小。当 a0 时，二次函数图像向上开口 ; 当 a0设抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标分别为x1，x2，即 x1、 x2 为方程 ax2+bx+c=0 的两个根，由题设x1x20 知 c 0，所以 c0，故 b0故选 (A) 例 2已知二次函数f ( x)= ax2+bx+c 的系数 a、b、c 都是整数，并且 f (19)= f (99)=1999 ， | c|1000 ，则 c=解：由已知 f ( x)= ax2+bx+c，且 f (19)= f

4、 (99)=1999 ，因此可设 f ( x)= a( x19)( x99)+1999 ，所以 ax2+bx+c=a( x19)( x99)+1999=ax2(19+99) x+1999 a+1999，故 c=1999+1881a因为 | c|1000 ，a 是整数， a0，经检验，只有a=1 满足，此时 c=19991881=118例 3 已知 a，b，c 是正整数，且抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴有两个不同的交点 A，B，若 A、B 到原点的距离都小于 1，求 a+b+c 的最小值解：设 A、B 的坐标分别为A( x1，0) ，B(x2，0) ，且 x1x2，则x1， x2 是方

5、程 ax2+bx+c=0 的两个根x1 x2b0,ax10，x20， b2 ac|OA|=|x1|1 ， |OB|=| x2|1 ，即 1x1，x20， c =x1x21， c0， a( 1) 2+b( 1)+ c0，即 a+cbb， a+c 都是整数，a+cb+1由，得a+c2ac +1，(ac )21，又由知，ac 1，ac +1，即a(c +1) 2(1 +1) 2=4a5，又b2ac 2 51 4， b5取 a=5， b=5，c=1 时，抛物线 y=5x2+5x+1 满足题意故 a+b+c 的最小值为 5+5+1=11例4如果y=x2( k 1) x k1 与x 轴的交点为A，B，顶点

6、为C，那么ABC的面积的最小值是（）A、1B、2C、 3D、4解：由于 =( k 1) 2+4( k+1)=( k+1) 2+40，所以对于任意实数k，抛物线与x 轴总有两个交点，设两交点的横坐标分别为x1， x2，则：|AB|= ( x1x2 ) 2( x1x2 )24x1 x2k 22k5又抛物线的顶点 c 坐标是 (k1 ,k 22k5 ) ，24因此S =122k5k22k51(k22k5)3kABC248因为 k2+2k+5=( k+1) 2+44，当 k=1 时等于成立，所以， SABC 1431 ，故选 A8例 5y已知二次函数y=x2x 2 及实数 a 2求：(1) 函数在 2

7、x a 的最小值；(2)函数在 ax a+2 的最小值2 1012x2解：函数 y=x x 2 的图象如图1 所示91( ,)(1)若 2a 1 ，24图 12当 x=a 时， y 最小值 =a2a2若 a 1 ，当 x= 1 时， y 最小值 = 9 224(2) 若 2a 且 a+2 1 ，即 2a 3 ，当 x=a+2 时， y 最小值22=( a+2) 2( a+2) 2=a2+3a，若 a 1a+2，即 3a 1，当 x= 1时， y 最小值 = 922224若 a 1 ，当 x=a 时， y 最小值 =a2 a22例6当 | x+1| 6 时 ， 函 数y=x| x| 2x+1 的

8、 最 大 值是解：由 | x+1| 6，得 7 x5，当 0 x5时，y=x2 2x+1=( x 1) 2，此时 y 最大值 =(5 1) 2=1622当 7 x0 (1)设与 x 轴交点分别为x1， x2则 x1+x2=- （k+2）0 （2）x1*x2=k+50（3）解得 -5k-4选 B例 8. 已知二次函数 y=x2 +bx+c 的图像经过点 （ -1,0 ），（1， -2 ），当 y 随 x 的增大而增大时， x 的取值范围是 _3/4 ，+ ） _.解析：把点（ -1,0 ），（ 1， -2 ）代入二次函数数，可解得b=-3/2函数的对称轴为x=- （-3/2 ） /2=3/4a=

9、10，函数开口向上，单调递增区间是3/4 ，+）.例9.二次函数 y=ax2+bx+c ，当 x 取整数时， y 值也是整数，这样的二次函数叫作整点二次函数，请问是否存在a 的绝对值小于0.5的整点二次函数，若存在请写出一个，若不存在请说明理由。解答： （方法 1）（反证法）假设存在 二次项系数 a 的绝对值小于 0.5 的整点二次函数，（ a 0)则当 x=0 时， y=c，即 c 为整数，同理，当 x=1 时， y=a+b+c=m，x=-1 时， y=a-b+c=n ，其中 m、n都应为整数，两式相加， 2a+2c=m+n，推知 2a 也应为整数，而 |a|0.5，即|2a|1 ，矛盾。所

10、以不存在a 的绝对值小于0.5 的整点二次函数。（方法 2）x0 时， y c 是整数x1 时， y ab c 是整数x 1 时， yabc 是整数 (a b c) (a b c) 2a2c 是整数而 2c 是整数例 10.已知 y=x2 - x -12 的图象与 x 轴交于相异两点A，B 另一抛物线 y=ax2 +bx+c 过 A,B，顶点为 P，且 APB是等腰直角三角形，求 a，b，c解答：显然 A,B 坐标为 (-4,0),(4,0).y=ax2 +bx+c 过 A,B, 所以 b=0,c/a=-16,P点坐标为 :(0,-16a)由于 APB是等腰直角三角形 ，所以 AB2=AP2+

11、BP2, 求出 a=1/4.所以 a=1/4,b=0,c=-4或者 a=-1/4,b=0,c=4.例 11.已知 y=x2 - x -12 的图象与 x 轴交于相异两点A，B 另一抛物线 y=ax2 +bx+c 过 A,B，顶点为 P，且 APB是等腰直角三角形 ，求 a，b，c解答：显然A,B 坐标为 (-4,0),(4,0).y=ax2 +bx+c 过 A,B, 所以 b=0,c/a=-16,P点坐标为 :(0,-16a)由于 APB是等腰直角三角形 ，所以 AB2=AP2+BP2, 求出 a=1/4.所以 a=1/4,b=0,c=-4或者 a=-1/4,b=0,c=4.例 12已知 a0，且 b24ac =b 2ac，求 b24ac 的最小值解：令 y=ax2+bx+c，由于 a0，则=b24ac0，C(0，c)所以，此二次函数的图像是如图ABxx1Ox22 所示的一条开口向下的抛物线，且与 x 轴有两个不同的交点 A(x1，0) ，图 2B(x2，0) 因为 x1x2= c 0