大学高等数学上册：9.3 可降阶的高阶微分方程法

1、9.3 高阶微分方程的降阶法高阶微分方程的降阶法 二阶及二阶以上的微分方程通称为高阶方程二阶及二阶以上的微分方程通称为高阶方程 可降阶的方程可降阶的方程- 通过初等变换降低阶数求解的方程通过初等变换降低阶数求解的方程 的的方方程程形形如如 一一. .)( )( xfy n 通通过过积积分分可可降降阶阶 ， 1 )1( d)(Cxxfy n ， 21 )2( dd)(CxCxxfy n 次次，连连续续积积分分 n 可可求求得得通通解解： nn CxCxCxCxxfy dddd)( 121 的的通通解解求求方方程程例例 22 1 1xyx 解解 将将方方程程化化为为 ， 2 1 1 x y 两两边

2、边积积分分，得得， 1 1 C x xy ， 21 2 ln 2 CxCx x y ， 32 2 1 3 2 ln 6 CxCx C xxx x y 故故通通解解为为 35 2 4 3 ln 6 CxCxCxx x y P.34例例1 的的通通解解求求微微分分方方程程xxey x sin 2 1 22 2 1 cos 2 1 Cxxey x 解解： 21 32 6 1 sin 4 1 CxCxxey x 32 2 1 42 2 1 24 1 cos 8 1 CxCxCxxey x 所所求求方方程程通通解解为为 二二. 不显含因变量的方程不显含因变量的方程 ) ,( yxfy )1( ，令令)(

3、xpy ，则则 x p y d d 式变为式变为于是，于是，)1( ，),( d d pxf x p 化化为为一一阶阶方方程程求求解解，得得到到),( 1 Cxpy 两两边边积积分分，得得到到通通解解 21 d),(CxCxy 代入原方程代入原方程, 得得 解法：解法： 特点：特点： ., )1( k yyy及及不显含未知函数不显含未知函数 )( )( xPy k 令令 ., )()()1(knnk PyPy 则则 ).(,),(,( )1()( xPxPxfP knkn P(x)的的(n-k)阶方程阶方程 ),(xP求得求得 ,)( )( 次次连续积分连续积分将将kxPy k 可得通解可得通

4、解. ),( )1()()( nkn yyxfy一般一般, 型型 .0 )4()5( 的通解的通解求方程求方程 yxy 解解),( )4( xPy 设设 代入原方程代入原方程, 0 PPx xCP 1 解线性方程解线性方程, 得得 两端积分两端积分,得得 原方程通解为原方程通解为 )( )5( xPy ）（0 P , 1 )4( xCy 即即 , 2 1 2 2 1 CxCy , , 26120 54 2 3 3 2 5 1 CxCx C x C x C y 54 2 3 3 2 5 1 dxdxdxdxdy 例例 1 ，满足初始条件满足初始条件求微分方程求微分方程例例1)0(2 )1(2 2

5、 yxyyx 的的特特解解3)0( y 解解 ，令令)(xpy ，则则 x p y d d 原原方方程程可可化化为为，xppx2)1( 2 分分离离变变量量，得得 ， 2 1 d2d x xx p p 两两边边积积分分，得得 ， 1 2 ln)1ln(lnCxp 即即 y )1( 2 1 xCp ，由由3)0( y，得得3 1 C，即即有有)1(3 2 xy 两两边边积积分分，得得， 2 3 3Cxxy ，由由1)0( y，得得1 2 C 故故所所求求特特解解为为13 3 xxy 说明说明 系系数数解解，最最好好将将出出现现的的待待定定对对于于高高阶阶方方程程，若若求求特特 一一解决一一解决

6、的通解的通解求方程求方程例例) (3 2 yy 解解 ，令令)(xpy ，则则 x p y d d 原原方方程程可可化化为为 ，p x p 2 ) d d ( ，即即p x p d d 分分离离变变量量 ，x p p d d 两两边边积积分分，得得 ， 1 2Cxp 2 1) ( 4 1 Cxp 即即 2 1 2 )()1( 4 1 Cx 2 1) ( 4 1 Cxp 于于是是原原方方程程的的通通解解为为 xCxyd)( 4 1 2 1 2 3 1) ( 12 1 CCx 的的通通解解求求方方程程例例1) () (4 22 yy 解解，令令)( xpy ，则则 x p y d d 原原方方程程

7、可可化化为为 ，1) d d ( 22 p x p 即即 2 1 d d p x p ，x p p d 1 d 2 两两种种情情形形分分别别求求解解： ，得得 1 arcsinCxp ；即即)sin( 1 Cxp ，x p p d 1 d 2 ，得得 2 arccosCxp )cos( 2 Cxp 即即) 2 sin( 2 Cx 因此因此 ，)sin( 3 Cxpy ， 43) cos(CCxy 通解为通解为 543) sin(CxCCxy P.35例例2 的的特特解解满满足足初初始始条条件件求求方方程程1)0(, 2)0( yyxyy 1 22 Cxp 所所求求方方程程通通解解为为 , 11

8、)0( 1 Cy得得，由由 1 22 xp1 2 xp ，由由1)0( y 1 2 xp 1 2 xy即即 2 222 )1ln(1 2 1 1Cxxxxdxxy 22)0( 2 Cy得得：由由 2)1ln(1 2 1 1 222 xxxxdxxy 所所求求特特解解为为 pypy 则则令令解解,:xpp 原原方方程程变变为为 xdxpdp 即即 P.36例例3 有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳有一质量均匀分布的不可伸缩的柔软绳 索索,两端固定两端固定,绳索在重力的作用下自然下垂绳索在重力的作用下自然下垂, 求该绳索在平衡状态下的曲线方程求该绳索在平衡状态下的曲线方程. 解解:设设M为绳索上任

9、一点为绳索上任一点, 弧段弧段OM上的受力如图所示上的受力如图所示 gsTHT sin,cos则则 gsTHT sin,cos则则 dx dy a即即 g H adxys dx dy x 令令,)(1,tan 0 2 H gs tan dxy x 0 2 )(1 2 )(1yya 得得 )(xp dx dy 令令 2 1ppa 则则dx a p dp1 1 2 即即 1 C a x arshp 解得解得 00)0( 1 Cp得得由由 a x shp dx dy 2 C a x achy 两边积分得两边积分得 aCy 2 , 0)0(得得由由 )1( a x chaa a x achy (悬链线

10、悬链线) P.37例例4 我舰向正东我舰向正东1km处的敌舰发射制导鱼雷处的敌舰发射制导鱼雷,鱼雷鱼雷 在航行中始终对准敌舰在航行中始终对准敌舰.设敌舰以常速设敌舰以常速v0沿正北方沿正北方 向直线航行向直线航行,已知鱼雷的速度是敌舰速度的已知鱼雷的速度是敌舰速度的2倍倍,求求 鱼雷航行曲线的方程鱼雷航行曲线的方程,并问敌舰航行多远时将被鱼并问敌舰航行多远时将被鱼 雷击中雷击中? 解解:建立坐标如图所示建立坐标如图所示,鱼雷航行鱼雷航行 曲线的方程为曲线的方程为y=y(x).设在时刻设在时刻t, 鱼雷位于点鱼雷位于点P(x,y)处处,敌舰位于点敌舰位于点 A(1, v0t)处处,且且AP是曲线

11、在点是曲线在点A的的 切线切线,即即 x ytv y 1 0 tvdxys x OP0 0 2 2)(1 又又 ydxyyx x 0 2 )(1 2 1 )1( ,yPyP 令令 2 )(1 2 1 )1yyxx 求导，（求导，（两边对两边对 2 1 2 1 )1(PPx dx x P dP )1(2 1 1 2 即即 1 2 ln)1ln( 2 1 )1ln(CxPP 2 1 1 2 )1(1 xCPP 2 2 3 2 1 )1( 3 1 )1(Cxxy 1, 0)0(0 1 CyP）（由由 y xx P 2 )1()1( 2 1 2 1 2 1 212 )1(1)1(xPPPP ，由由 3

12、 2 , 0)0( 2 Cy 3 2 )1( 3 1 )1( 2 3 2 1 xxy 处时，即被鱼雷击中。处时，即被鱼雷击中。所以当敌舰航行到所以当敌舰航行到 ，时时当当 km yx 3 2 3 2 ,1 三三. 不显含自变量的方程不显含自变量的方程 ) ,( yyfy )2( ，令令)(ypy d d y y p y 则则 式变为式变为于是，于是，)2( ，),( d d pyf y p p 化化为为一一阶阶方方程程求求解解，得得到到),( 1 Cypy 分分离离变变量量x Cy y d ),( d 1 y p p d d 解解两两边边积积分分，即即可可得得到到通通 )(yPy 设设, dy

13、 dP P dx dy dy dP y 则则 阶方程，阶方程，的的代入原方程得到新函数代入原方程得到新函数)1()( nyP 求得其解为求得其解为 原方程通解为原方程通解为, ),( 11 n n Cx CCy dy 特点：特点：.x右右端端不不显显含含自自变变量量 解法：解法： ,)( 2 2 2 2 dy dP P dy Pd Py , ),()( 11 n CCyyP dx dy ),( )1()()( nkn yyyfy一般一般, 型型 的通解的通解求方程求方程例例0) ( 5 2 yyy 解解 ，令令)(ypy y则则 y p p d d 原原方方程程化化为为 ，0 d d 2 p

14、y p py 时，时，0 p，有有p y p y d d ，即即 y y p pdd ，得得 1 lnlnlnCyp yCp 1 即即 )0(也包含在内也包含在内显然，显然， p ，于是有于是有yC x y 1 d d ，即即xC y y d d 1 两两边边积积分分，得得， 21 lnlnCxCy 所所以以通通解解为为 xC eCy 1 2 的特解的特解 ，满足初始条件满足初始条件求方程求方程例例 2)0( 1)0(0) ( 6 2 y yyyyy 解解，令令)(ypy y则则 y p p d d 原原方方程程化化为为 ，0 d d 2 pp y p py ，由于由于0 p)2)0( )1(

15、相相矛矛盾盾否否则则，与与 yp ，则有则有1 d d p y p y，即即 y y p pd 1 d 两两边边积积分分得得， 1 lnln)1ln(Cyp ，即即1 1 yCpy ，代入代入2)0( 1)0( yy 得得1 1 C从而从而1 yy ，则则x y y d 1 d ，可可得得 2 ln)1ln(Cxy ；即即1 2 x eCy ，代入代入1)0( y得得2 2 C 故故所所求求特特解解为为12 x ey P.40例例6 的的通通解解求求微微分分方方程程yyyyyln)( 22 2 pu 令令 )ln( 2 1 22 yCyup 解解得得 yyu ydy du ln2 2 得得方方

16、程程 yCyp dx dy 2 1 ln 2 2 1 )lnln(lnCxyCy 所所求求原原方方程程通通解解为为 ppyypy 则则令令解解),(: yyppypln 22 原原方方程程变变为为yyp ydy dp ln2 2 2 2 即即 (一阶线性非齐次一阶线性非齐次) (可分离变量可分离变量) P.41例例7证明：曲率半径为常数证明：曲率半径为常数R的曲线是圆。的曲线是圆。 证明：证明：设曲线方程为设曲线方程为)(xyy 则曲率为则曲率为 Ry y1 )(1 | 322 ，令令)(ypy dy dp py 则则 方程化为方程化为 即即 322 )1( 1 p Rdy dp p dy R

17、p pdp1 )1( 322 两边积分：两边积分： )( 1 1 1 1 2 Cy R p 1 2 1 2 )( Cy CyR dx dy p dxdy CyR Cy 2 1 2 1 )( 两边积分：两边积分：)()( 2 2 1 2 CxCyR 两边平方，整理得两边平方，整理得 22 1 2 2 )()(RCyCx 以上为圆的方程，故曲线为圆。以上为圆的方程，故曲线为圆。 P.42例例8.脱离速度问题脱离速度问题 要使垂直向上发射的物体永远离开地面要使垂直向上发射的物体永远离开地面, 问发射速度问发射速度v0至少应该有多大至少应该有多大? r r F(r) R O 一、求下列各微分方程的通解一、求下列各微分方程的通解: : 1 1、 x xey ； 2 2、 2 1yy ； 3 3、yyy 3 )(； 4 4、0 1 2 2 y y y. . 二、二、 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解求下列各微分方程满足所给初始条件的特解: : 1 1、0,1,01 11 3 xx yyyy； 2 2、1,0,0 00 2 xx yyyay； 3 3、2,1,3 00 xx yyy