定积分应用经典例题

1、定积分应用 面积，弧长， 旋转体体积， 旋转曲面表面积 例例1. 求由摆线)cos1 (, )sin(tayttax)0( a 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . )cos1 (tadA解解:ttad)cos1 ( ttad)cos1 ( 2 0 22 t t ad 2 sin4 2 0 42 ) 2 ( t u 令uuadsin8 0 42 uuadsin16 2 0 42 2 16a 4 3 2 1 2 2 3 a 2 0 A 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y o a2 例例2. 求连续曲线段tty x dcos 2 解解:,0cosx 22 x xysd1 2 2 2 的弧

2、长. xxd)cos(12 2 0 2 x x d 2 cos22 2 0 0sin222 2 2 x 4 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算由椭圆1 2 2 2 2 b y a x 所围图形绕 x 轴旋转而 转而成的椭球体的体积. 解解: 方法方法1 利用直角坐标方程 )( 22 axaxa a b y 则 xxa a b a d)(2 2 0 2 2 2 (利用对称性) 32 2 2 3 1 2xxa a b 0 a 2 3 4 ab o a V 0 2xy d 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 xa y x b 方法方法2 利用椭圆参数方程 tby tax sin

3、cos 则xyV a d2 0 2 ttabdsin2 32 2 2 ab 3 2 2 3 4 ab 1 0 2 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 . 3 4 3 a 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4. 求曲线13 2 xy 与 x 轴围成的封闭图形 绕直线 y3 旋转得的旋转体体积. 解解: 利用对称性 , y 10 x,2 2 x 21 x,4 2 x 故旋转体体积为 V432xxd)2(32 1 0 22 xxd)1 (236 1 0 22 xxd) 1(2 2 1 22 xxd) 1(2 2 0 22 15 448 在第一象限 机动 目录 上页 下页 返回

4、结束 xxd)4(32 2 1 22 3 A ox 12 y B C 旋转体的侧面积旋转体的侧面积 设平面光滑曲线, ,)( 1 baCxfy 求 上的圆台的侧面积位于d,xxx sySd2d 积分后得旋转体的侧面积 xxfxfS b a d)(1)(2 2 ,0)(xf且 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: )(2xf xxfd)(1 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )(xfy a b xx y oa bx y oa b sySd2d 侧面积元素 xyd2 sd xd xyd2因为 的线性主部 . 若光滑曲线由参数方程 )( )( )( t ty tx

5、给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 不是薄片侧面积S 的 )(2t tttd)()( 22 S 机动 目录 上页 下页 返回 结束 注意注意: 侧面积为 x y o )(xfy a b x 例例5. 计算圆上绕在, 21 222 RRxxxRyx x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解解: 对曲线弧 , 21 22 xxxxRy 应用公式得 2 1 2 x x S 22 xR 2 1 22 xR x xd 2 1 d2 x x xR)(2 12 xxR 当球台高 h2R 时, 得球的表面积公式 2 4RS 机动 目录 上页 下页 返回 结束 o z y x 1 x 2 x xR

6、y o 设平面图形 A 由xyx2 22 与 xy 所确定 , 求 图形 A 绕直线 x2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示：提示： 选 x 为积分变量. 旋转体的体积为 V 1 0 2 d)2)(2(2xxxxx 3 2 2 1 2 例例6. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 若选 y 为积分变量, 则 V 1 0 22 d)11 (2yy 1 0 2 d)2(yy y x 1 y ox21 向量代数及解析几何 数量积，向量积，混合积， 平面，直线，曲线曲面，二次曲面 22 3 4 3 cos322)2( 17 例例1. 已知向量的夹角 且 解：解： , 4 3 机动 目录 上页 下页

7、返回 结束 17ba 22 cos2bbaa bbba2aa )()(baba 2 ba , 3|b, 2|a . |ba 求 ba , )1 ,2, 1(A , 1 1 23 1 : 1 zyx L i L设直线 解：解： , 2 上在因原点LO 12 : 2 z y x L相交,求此直线方程 . 的方向向量为 过 A 点及 的平 2 L 面的法向量为则所求直线的方向向量 方法方法1 利用叉积. 所以 一直线过点 且垂直于直线 又和直线 例例2 O 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2 s A 2 L n kji333 121 112 kji OAsn 2 , 1 nss, n ),2,

8、1( isi 设所求直线与的交点为 5 1 2 2 3 1 zyx 12 0 0 0 z y x 0000 ,2yzyx 待求直线的方向向量 方法方法2 利用所求直线与L2 的交点 . 即 故所求直线方程为 2 L),( 000 zyxB 则有 ),( 000 zyxB 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )523(3kji 333 123 kji nss 1 2 L ) 1 , 2 , 1 (A 0) 1()2(2) 1(3 000 zyx 7 8 , 7 16 , 7 8 000 zxy 5 1 2 2 3 1 zyx 0000 ,2yzyx将代入上式 , 得 由点法式得所求直线方程 而)

9、 1, 2, 1( 000 zyx )5,2,3( 7 3 1 L 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ),( 000 zyxB 2 L ) 1 , 2 , 1 (A ) 7 15 , 7 6 , 7 9 ( AB AB 例例3. 将曲线L化为参数方程表示.在曲线L上求一 点P，使得在该点P处的切线的方向向量与三个坐 标轴正向的夹角都相等。 22 1 : 0 xy L xz 解解: 根据方程引入参数t , txcos tysin coszt 得所求为 )20(t 机动 目录 上页 下页 返回 结束 由于切向量与三个坐标轴的夹角都相等，则 000 000000 , cos ,sin,cos .

10、xyz xtytzt 设P点坐标 曲线在P点的切线的切向量 000 sin,cos, sinTttt 000 37 sincos ,. 44 tt tor 例例4. 求与两平面 x 4 z =3 和 2 x y 5 z = 1 的交线 提示提示: 所求直线的方向向量可取为 利用点向式可得方程 4 3x ) 1,3,4( 401 512 3 2 y 1 5 z 平行, 且 过点 (3 , 2 , 5) 的直线方程. 21 nns kji 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5. 求过点( 2 , 1 , 3 ) 且与直线 12 1 3 1 zyx 垂直相交的直线方程. 提示提示: 先求二直线

11、交点 P. 0)3() 1(2)2(3zyx 化已知直线方程为参数方程, 代入 式, 可得交点 ),( 7 3 7 13 7 2 P 最后利用两点式得所求直线方程 4 3 1 1 2 2 zyx 的平面的法向量为故其方程为 ),(312 ),(011 ),(123 过已知点且垂直于已知直线 , ) 1,2,3( P 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 设一平面平行于已知直线 05 02 zyx zx 且垂直于已知平面,0347zyx求该平面法线的 的方向余弦. 提示提示: 已知平面的法向量 求出已知直线的方向向量 取所求平面的法向量 , 51 3 cos 50 4 cos, 50 5

12、 cos 1 nsn )4, 1,7( 1 n )2,1,1 (s 机动 目录 上页 下页 返回 结束 417 211 kji )4,5,3(2 所求为 思路: 先求交点 例例7. 求过点) 1 , 1 , 1 ( 0 M, 1 2 : 1 xz xy L 且与两直线 12 43 : 2 xz xy L都相交的直线 L. 提示提示: 21 ,LL将的方程化为参数方程 12 43:, 1 2: 21 tz ty tx L tz ty tx L L 1 L 2 L 0 M 1 M 2 M 设 L 与它们的交点分别为 . ) 12,43,( 2222 tttM 再写直线方程. ;, 21 MM ),

13、1,2,( 1111 tttM 机动 目录 上页 下页 返回 结束 2,0 21 tt )3,2,2(, ) 1,0,0( 21 MM 2 1 1 1 1 1 : zyx L 210 ,MMM 1) 12( 1) 1( 1)43( 12 1 1 2 1 2 1 2 1 t t t t t t 三点共线 2010 /MMMM L 1 L 2 L 0 M 1 M 2 M 机动 目录 上页 下页 返回 结束 r 例例8.直线 110 1 : zyx L 绕 z 轴旋转一周, 求此旋转 转曲面的方程. 提示提示: 在 L 上任取一点), 1 ( 000 zyM 轴绕为设zMzyxM 0 ),(旋转轨迹

14、上任一点, L x o z y 0 M M 则有 00 zy z 22 yx 2 0 1y 得旋转曲面方程 1 222 zyx r ，代入第二方程将zy 0 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元微分法 一元微分与多元微分的相同，不同； 求偏导数，全微分（含隐函数的高阶偏 导数），方向导数，梯度，散度； 极值（含条件极值），有界闭区域上连 续函数的最大值，最小值； 几何应用（曲线的切线，法平面；曲面 的切平面，法线）。 例例1. 设设,sinyxvyxuvez u , |,|. xxxx zz xy 求 解解: x z veusin )cos()sin(yxyxye yx y z )cos(

15、)sin(yxyxxe yx veusin x u u z x v v z veucos y u u z y v v z veucos y1 x1 z vu yxyx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 设,04 222 zzyx 解法解法1 利用隐函数求导 0422 x z x z zx z x z 2 2 2 z x x z 2 2 2 )( 2 x z 2 2 2 x z z 04 2 2 x z 2 )(1 x z 3 22 )2( )2( z xz . 2 2 x z 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导 解法解法2 利用公式 设zzyxzyxF4),(

16、222 则 ,2xFx z x F F x z 两边对 x 求偏导 ) 2 ( 2 2 z x x x z 2 )2( )2( z x z xz 3 22 )2( )2( z xz 2 z x z x 2 42 zFz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 设设, v zuuxyvxy ,. zz dz xy 求 解解: x z 1 1 ln1 ln vv x yx y vuyuu xyxyyxyxy y z 1 1 ln ln vv xyxy xy vuxuu xyxyxxyxy dzz dxz dy x u u z x v v z y u u z y v v z 机动 目录 上页

17、下页 返回 结束 例例4. 设是曲面n 在点 P(1, 1, 1 )处 指向外侧的法向量, 解解: 方向余弦为, 14 2 cos, 14 3 cos 14 1 cos 而 Px u , 14 8 Py u 14 Pz u Pn u 同理得 ) 1,3,2(2 632 222 zyx 方向的方向导数. P zyx)2,6,4( 14 6 7 11 1143826 14 1 Pyxz x 22 86 6 z yx u 22 86 在点P 处沿求函数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 n n 例5. 设函数 z yxzyxf 2 ),( (1) 求函数在点 M ( 1, 1, 1 ) 处沿曲线

18、12 3 2 tz ty tx 在该点切线方向的方向导数; (2) 求函数在 M( 1, 1, 1 ) 处的梯度梯度与(1)中切线方向切线方向 的夹角 . 2. 求函数 在椭球面 上点 处沿外法线方向的方向导数 机动 目录 上页 下页 返回 结束 222 uxyz 222 222 1 xyz abc 0000 (,)Mxyz ,),( 2z yxzyxf曲线 12 3 2 tz ty tx 1. (1)在点 )3,4, 1 ( 1d d , d d , d d tt z t y t x )1 , 1 , 1( coscoscos zyx M fff l f 26 6 解答提示解答提示: 机动

19、目录 上页 下页 返回 结束 函数沿 l 的方向导数 l M (1,1,1) 处切线的方向向量 )0,1,2(grad)2( M f M M f l f grad 130 6 130 6 arccos M fgrad 机动 目录 上页 下页 返回 结束 l cos M fgrad l 4 2 0 4 2 0 4 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 0 c z b y a x c z z b y y a x x n u M 4 2 0 4 2 0 4 2 0 2 c z b y a x 2. 例例6. 求曲线0,6 222 zyxzyx 在点 M ( 1,2,

20、 1) 处的切线方程与法平面方程. M zy GF ),( ),( 切线方程 121 zyx 解法解法1 令, 222 zyxGzyxF则 即 02 02 y zx 切向量 ;0 ),( ),( M xz GF M zy 11 22 M zy)(2;6 06 x yz 6 机动 目录 上页 下页 返回 结束 6 ),( ),( M yx GF )6,0, 6(T 法平面方程0) 1(6)2(0) 1(6zyx 即0 zx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x x z z x y y d d d d 解法解法2. 方程组两边对 x 求导, 得 1 d d d d x z x y 11 11 d

21、 d zy xy x z 11 d d zyx y 曲线在点 M(1,2, 1) 处有: 切向量 解得 11 zx , zy xz zy yx )1,0, 1 ( MM x z x y T d d , d d ,1 切线方程 121 zyx 即 02 02 y zx 法平面方程 0) 1() 1()2(0) 1(1zyx 即 0 zx 点 M (1,2, 1) 处的切向量 011 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )1,0, 1(T 例例7. 求曲线 04532 03 222 zyx xzyx 在点(1,1,1) 的切线 解解: 点 (1,1,1) 处两曲面的法向量为 )2,2, 1( 因此

22、切线的方向向量为 )1,9,16( 由此得切线: 111 zyx 1691 法平面: 0) 1() 1(9) 1(16zyx 024916zyx 即 与法平面. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ) 1 , 1 , 1 (1 )2,2,32(zyxn )5,3,2( 2 n 21 nnl 已知平面上两定点 A( 1 , 3 ), B( 4 , 2 ), 试在椭圆 圆周上求一点 C, 使 ABC 面积 S最大. 解答提示解答提示: C B A o y xE D 设 C 点坐标为 (x , y), 例例8 2 1 031 013 yx kji )103, 0,0( 2 1 yx )0, 0(1

23、49 22 yx yx 则 ACABS 2 1 103 2 1 yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 设拉格朗日函数 解方程组 得驻点对应面积 而比较可知, 点 C 与 E 重合时, 三角形 面积最大. ) 49 1 ()103( 22 2 yx yxF 0 9 2 )103(2xyx 0 4 2 )103(6yyx 0 49 1 22 yx 646. 1S , 5 4 , 5 3 yx ,5 . 3,2 CD SS 点击图中任意点 动画开始或暂停 机动 目录 上页 下页 返回 结束 重积分 二重积分，三重积分的计算：换为二次积 分，三次积分； 二重积分，三次积分不同坐标系下计算； 计算技

24、巧：对称性应用，重心的应用，交 换积分次序，先二后一； 记住 n I 例例1.计算三重积分 2 () d ,yzv 其中是由 xoy平面上曲线xy2 2 所围成的闭区域 . 提示提示: 利用柱坐标 sin cos rz ry xx 绕 x 轴旋转而成的曲面与平面 5 2 2 1 xr 100 r 20 : z x y o 5 机动 目录 上页 下页 返回 结束 5x 2 22 22 () d (2)d ()d yzv yzyzv yzv 5 2 2 d r xrr d 10 0 3 2 0 d 3 250 例例2. 计算二重积分,dd)( 22 2 yxeyxxI yx D 其中: (1) D

25、为圆域; 1 22 yx (2) D由直线1,1,xyxy 解解: (1) 利用对称性. y o x1 D yxxI D dd 2 0dd)( 2 1 22 yxyx D 1 0 3 2 0 dd 2 1 rr 4 yxeyx D yx dd 22 围成 . 机动 目录 上页 下页 返回 结束 1 1 1x y o 例例3. 计算二重积分 ,dd)sgn() 1 ( 2 yxxyI D ,dd)22()2( 22 yxxyyxI D 1 22 yx在第一象限部分. 解解: (1) 2 xy 21, D D 两部分, 则 1 dd D yxI 11 1 2 dd x yx 3 2 2 D 2 d

26、d D yx 2 0 1 1 dd x yx 1011:yxD， 其中D 为圆域 把与D 分成 1 D 作辅助线 机动 目录 上页 下页 返回 结束 x y 1 o 1 xy (2) 提示提示: 21 , DD 两部分 1 D yxyx D dd)(2 2 yxyx D dd)2( 说明说明: 若不用对称性, 需分块积分以去掉绝对值符号. xy 作辅助线 2 D 将D 分成 D yxdd2 yxxyyxI D dd)22( 22 2 ) 12( 3 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 b a xxfd)() )(tx tttfd)()( 定积分换元法 二重积分换元法二重积分换元法 ),(

27、),( : vuyy vuxx TDDvu ),( 满足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一阶导数连续; 雅可比行列式 上在D)2( ;0 ),( ),( ),( vu yx vuJ (3) 变换 DDT: 则 D yxyxfdd),( D vuyvuxf),(),( 定理定理:,),(上连续在闭域设Dyxf变换: 是一一对应的 , vuvuJdd),( o v u D o y x D T 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例4. 设 , 1 ,0)(Cxf且,d)( 1 0 Axxf 求 .d)()(d 11 0 yyfxfxI x 提示提示: 交换积分顺序后, x , y互换

28、o y x 1 xy 1 y x Ixyfxf y d)()( 0 1 0 d yyyfxf x d)()( 0 1 0 d x I2 yyfxfx x d)()(d 11 0 yyfxf x d)()( 0 1 0 d x 1 0 d xyyfxfd)()( 1 0 1 0 1 0 d)(d)(yyfxxf 2 A 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例5，上连续在设,)(baxf证明 b a b a xxfabxxfd)()(d)( 22 证证: :左端yyfxxf b a b a d)(d)( yxyfxf D dd)()( 22 2baab 利用 yxyfxf D dd)()( 22

29、2 1 2 1 xxfy b a b a d)(d 2 yyfx b a b a d)(d 2 2 ab xdxf b a )( 2 xdxfab b a )()( 2 bya bxa D: = 右端 ydyf b a )( 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算其中D 是 x 轴 y 轴和直线 2 yx 所围成的闭域. 解解: 令,xyvxyu则 2 , 2 uv y uv x ),( ),( vu yx J yxe D xy xy dd vuev u D dd 2 1 2 0 d 2 1 v vveed)( 2 1 1 2 0 1 ee 2 yx D xo y 2 1 2

30、1 2 1 2 1 2 1 v v v u ue d xy xy e ,ddyx )(DD D D 2v vu vu uo v 机动 目录 上页 下页 返回 结束 ybx 2 yax 2 D o y x xqy 2 xpy 2 , 22 y x v x y u 例例7. 计算由, 22 xqyxpyybxyax 22 , )0,0(baqp所围成的闭区域 D 的面积 S . 解解: 令 D u v o pq a b 则 bva qup D :D ),( ),( vu yx J ),( ),( 1 yx vu 3 1 D yxSdd b a q p vudd 3 1 vuJ D dd )( 3

31、1 abpq 机动 目录 上页 下页 返回 结束 曲线、曲面积分 第一类曲线、曲面积分计算公式。对称性 、重心的应用。 第二类曲线、曲面积分计算公式； 格林公式，高斯公式。注意条件，如不满 足条件，可添辅助曲线或曲面； 平面上曲线积分与积分路径无关的四个等 价 条件，会求原函数。 例例1. 计算,d 2 sx 其中为球面 2222 azyx 被平面 所截的圆周. 0zyx 解解: 由对称性可知 sx d 2 szyxsxd)( 3 1 d 2222 sa d 3 1 2 aa2 3 1 2 3 3 2 a sy d 2 sz d 2 机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考思考: 例1中 改为

32、 0 )1()1( 2222 zyx azyx 计算?d 2 sx 解解: 令 1 1 zZ yY xX 0 : 2222 ZYX aZYX , 则 sx d 2 sXd) 1( 2 sXd 2 3 3 2 a )1 3 1 (2 2 aa sX d2 sd a2 圆的形心 在原点, 故 0X aX22 , 如何 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2. 计算,d)( 22 SyxI其中 是球面 22 yx 利用对称性可知 SzSySxddd 222 SzSySxddd SzyxId)( 3 2 222 Szyxd)( 3 4 Sxd4 Sxd4 48)3(414 2 解解: 显然球心为

33、, ) 1 , 1 , 1 ( 半径为 3 x 利用重心公式 Sxd Sd ).(2 2 zyxz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例3. 计算其中 L 为 ,:, 0aaxy y BA oaa x (1) 半径为 a 圆心在原点的 上半圆周, 方向为逆时针方向; (2) 从点 A ( a , 0 )沿 x 轴到点 B ( a , 0 ). 解解: (1) 取L的参数方程为 ,d 2 xy L 0:,sin,costtaytax xy L d 2 ttadsin2 2 0 33 3 2a (2) 取 L 的方程为 xy L d 2 ta 2 0 2 sin ttad)sin( 1 3 2

34、 3 3 4 a a a xd00 则 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解: 把 分为上下两部分 22 1 1:yxz 根据对称性0dd yxxyz 思考思考: 下述解法是否正确: 例例4. 计算曲面积分,dd yxxyz 其中 为球面 2 x 外侧在第一和第八卦限部分. o z y x 1 1 2 yx D 0,0 1 :),( 22 yx yx Dyx yx 22 2 1:yxz 1 22 zy 机动 目录 上页 下页 返回 结束 yx D yxyxyxdd 12 22 22 1cossin2rr yx D rrrd1 2 1 0 3 15 2 2 0 d2sin o z y x

35、 1 1 2 yx D yxzyxdd 2 ddyxzyx 1 ddyxzyx yx D yxxydd )1( 22 yx yx D yxxydd 22 1yx ddrr 机动 目录 上页 下页 返回 结束 22 1 cos yx x 例例5. 计算曲面积分 其中 解解: 利用两类曲面积分的联系, 有 zyxzdd)( 2 )( 2 xzSdcos yxdd cos cos o y x z 2 原式 = )( x )( 2 xzyxzdd ,dddd)( 2 yxzzyxz 旋转抛物面 )( 22 2 1 yxz介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )( 2 xz 22 1 1

36、 cos yx 机动 目录 上页 下页 返回 结束 )( xx yx D 222 )( 4 1 yx o y x z 2 原式 = )( 22 2 1 yx yxyxx yx D dd)( 22 2 1 2 rrrrd)cos( 2 2 1 2 2 0 2 2 0 d 8 yxdd 得代入将,)( 22 2 1 yxz 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6. 计算, dd 22 L yx xyyx 其中L为一无重点且不过原点 的分段光滑正向闭曲线. 解解: 令 ,0 22 时则当 yx 222 22 )(yx xy x Q 设 L 所围区域为D,)0 , 0(时当D 由格林公式知 0 d

37、d 22 L yx xyyx , 22 yx y P 22 yx x Q y P y xo L 机动 目录 上页 下页 返回 结束 d sincos 2 0 2 2222 r rr 2 ,)0 , 0(时当D 在D 内作圆周,: 222 ryxl取逆时 针方向, 1 D, 对区域 1 D应用格 L yx xyyx 22 dd l yx xyyx 22 dd lL yx xyyx 22 dd 0dd0 1 yx D lL yx xyyx yx xyyx 2222 dddd L 1 D l o y x 记 L 和 l 所围的区域为 林公式 , 得 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例7. 设 ,4:, 1: 222 4 1 2