(完整版)极坐标基础

1、1极坐标系(1) 定义在平面内取定点 0,叫做极点，引一条射线 0X叫做极轴，再选定一个长度单位和角的正方向(通常以逆时针方向)，这样就建立了极坐标系；点的极坐标点M在极坐标平面内，|0M|= p,z M0X=，则点M的坐标为M(p,B ) ,p叫做点 M的极径，B叫 做点M的极角.当pV 0时，/ X0P=6，在0P的反向延长线上取一点 M使|0M|=| p |，点M就是坐 标为(p,0 )的点.由于(p,0 +2k n ) , (- p,0 +(2k+1) n )(k Z)都表示同一点，因此在极坐标 平面上点与有序数对不是对应的.但如果限定p 0, 0 0V 2 n或-nVBWn，则除极点

2、外就可以一一对应了；(3) 对称点坐标点M(p,B )关于极轴的对称点为 M; ( p, - 0 ), 点M(p,0 )关于极点的对称点为 M。(- p,0 ), 点M(p,0 )关于过极点与极轴垂直的直线(极垂线)的对称点为M(- p, - 0 );(4) 极坐标内两点的距离公式则网二即岛心财.2. 直角坐标与极坐标的互化(1) 互化条件原点与极点重合，极轴与 x轴正半轴重合，两个坐标系长度单位一致.(2) 互化公式( -円或1丫 #Ix(3) 互化公式所得到的圆锥曲线的方程例题在极坐标系中，点(p, 0)与(-p,n - 0 )的位置是A. 关于极轴所在直线对称；B. 关于极点对称；C.

3、关于直御诗3眾)对称；D. 重合.分析 点(-Q，朮，)与点是同一个点，它与点关于 极轴所在肓线对称，答案选【例2】点A(4,卜 适合的极坐标是,适合此6 -2?贰0的根坐标是.分祈当Q时，点盘导)的极坐标的式为 茹坨心)42_ f 2 kw乙 当k= T时，&二牙冗-2化=-石忙，二嵐啲坐标为4, - T ,_4当p0时，点A的极坐标的一W式为-乞二他+ (2k + l)ieZ,L3J4令-2疋C 了江* (2k +Ch - _245*. 3 = 7t - 3?r = - ?r,_ (5 .点直的坐标为-4, - -x ” L J说明 一般地，为了求出点(p,0 )满足一定条件的极坐标，可先

4、写出它的极坐标的一般形式，再根据P和B的条件确定 k的值，从而得到所要求的坐标.5 1【例Q 已知点盘的极坐标-乳-t ,求它的直角坐标；i j i解 .x - 0, 00 2 n ). 9解= 曾二#一1，且点隹于第7需四象限4r7 1点B的极坐标为22,4 j又= 0,尺0i p = 15二点C的极坐标为(1工芸对于DM2, 5）, p = 13,且点位于第二象限，化&算5-arctan 12二点D的坐标为1攵5)t - arctan 一 I.12【例吕】极坐标方程D二岛&+加殆表示的曲线是A. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线分析 将方程化为直角坐标方程，即可判断曲线形状.因为给定的

5、Q不恒轻于零，可以用叩乘方程两边，得；=備+力遇乩由互化公 式彳辱亡4 y3 = y + 2Z是以h，寸为圆心，为半径的圆.L 2丿Z【例;】二亠H:.,: 什解将/ 二凡x = p如狀入己知方程A2 -P -posd = C 8Pp(p - 1 - cos6) = 0.p =。或Q 1 cos fl* P - 0是极点，包含在1 +皿站中,极坐标方程是p =1+cos 0 （图形是心脏线）.说明通过上两例可看出，化极坐标方程为直角坐标方程有时较容易判断曲线形状,动点旋转运动而产生的，则它的极坐标方程可能比直角坐标方程简单.但如曲线是由乖制】极坐标方程厂士确定哪种鹹写出其直角坐标系中的标推方程

6、-2525-麒113-1.2co,1 121costf1?25ep = 13= y|0)的直线方程为p sin 0 = a; 与极轴垂直(含极轴所在直线)与极点距离为b(b 0)的直线方程 p cos 0 = b;(4) 圆心在极点，半径为 r的圆的极坐标方程为p=r;圆心在 O ( p 0, 0 0)，半径为r的圆的极坐标方程为p2-2 p 0 p cos( 0 - 0 0)+ p 02-r2=0 ;当 =0时 P2-r2 =0.当% = 0 且PD = r时二 jo2 = 2rj)cos = 0 fiPp = 2rcos,当日0=0 且础=匸吋$-2- is)气圆锥曲线的统一方程为pl-e

7、cos当Ov e v l时，方程表示椭圆，当e=1,0M 2k n时方程表示抛物线,当Q1,且-1(“代C-, 0 0时，方程表示双曲线的右支, -ccsKb尺0时，方程表示飓曲銭的左走*(7)等速螺线方程P = Pa 十站OH 0).(二)极坐标习题解法提要(1) 极坐标系是用长度和角度来确定平面内点的位置的一种坐标系，通常点的极坐标(p,0 )中，p取非负值，表示极点 O到点A的距离，极角B采用弧度制必要时，p也可取负值极坐标平面上同一点的极坐标有无数种表示法，即若(p, 0 )是一个点的极坐标，则(p, 2k n + 0 )，卜p, (2k+1)n + 0 (k Z)都是此点的极坐标.(

8、2) 在极坐标系中，由于曲线上同一点有不同的坐标，故对于一条曲线的同一极坐标方程，点的坐标 中有的满足该方程，有的则不一定满足；但曲线上点的极坐标中应至少有一个满足此曲线的这一方 程同一曲线的极坐标方程也可能不止一种形式.(3) 由于极坐标是用长度和角度来表示的，故在求曲线的极坐标方程时，常构造三角形，利用三角形 中的边角关系及三角函数的有关公式求出p和0的关系式，即曲线的方程.求曲线的极坐标方程的基本方法有： 直接法：建立极坐标系，根据动点的运动规律，列出动点的极径p与极角0间的关系式，化简整 理得出极坐标方程p =f( 0 ) 同时应注意0的取值范围. 代入法：若已知 Q点的轨迹方程和动点

9、 P与Q点的相关关系，则可先求出P, Q的极坐标间的关系式，再将关系式代入 Q点满足的极坐标方程中，求出P点的轨迹的极坐标方程. 先求曲线的普通方程，再转化为极坐标方程.(4) 在同一平面内建立的一个极坐标系和一个直角坐标系，当极点与坐标原点重合，极轴与x轴正半轴重合时，平面上任一点P的极坐标(p,0 )与直角坐标(x , y)之间存在下列关系：惡二 P cos B, y = P sin 6 , P Jtg6 =工(#0)(5) 常见曲线的极坐标方程：(i)直线 过极点、倾斜角为a的直线：0= a ( p R) 与极轴垂直的直线：p cos 0 =a 与极轴平行的直线：p sin 0 =a 倾

10、斜角为a、极点到它的距离在d的直线：p sin( a - 0 )=dC* o) (ii)圆圆心在极点、半径为a的圆:=a过极点、圆心为(a, 0)、半径为|a|的圆：p =2acos 0IT iS根点、圆心为乳3、半径为同的圆：P = 2asin 圆心为C( p 0,0 0)，半径为r的圆：p2 + p-2p0pcos（e - 0o） = f2辿(iii) 圆锥曲线的统一的极坐标方程1-ecos B其中e为离心率，p为焦点到对应准线的距离. 当0v ev 1时，方程表示极点为左焦点，极轴所在直线为对称轴的椭圆； 当e=1时，方程表示极点为焦点，开口向右的抛物线；0时，为右支；p1时，方程表示极

11、点为右焦点，极轴所在直线为对称轴的双曲线.p 0时，为左支.椭圆的极坐标方程p=ep/(1-ecos0 )是以左焦点F1为极点O,射线F1F2为极轴，依据椭圆的第二定义得来此时极点到椭圆的左准线是p,椭圆的任意点P (p,0 )满足p /(p+ p cos 0 )=e- p =ep+e p cos 0- p (1-ecos 0 )=ep- p =ep/(1-ecos 0 )(0e1就是双曲线方程】懈锥嵐蛛世坐标碍二严百求椭國双ft线中有关几Kecos 匕何量一般有两种方法：c b2(I?由 = - , p =,求出乩C;令0 =Q和口求出曲线在极轴上的截距贝0极坐标双基知识导学1 .点的极坐标

12、： 点M( p,0 )的极坐标通式是(p,0 +2n n )或(-p,0 +2n n + n ) , n Z.限定p 0,0 0 2n或-nVBWn,那么除极点外，平面内的点和极坐标(p, 0 )对应.2. 极坐标和直角坐标互化公式是r 白2 二藍+y2,|x = p ,i7仆)y = P sin 6 ;(习 jtg = * (s尹0).这两组公式必须满足下面的“三同条件”才能使用：原点与极点重合；x轴正半轴与极轴重合；长度单位相同.3. 曲线极坐标方程的特性：点M的一个概坐标满足方程血P, 8 ) = 0是点在曲线弹(P, 6)=0上的充分不必要条件.4. 直线、圆的极坐标方程：(1) 直线

13、：0 = a,p COS 0 =a,p sin 0 =a,p COS( 0 - a )=P ,p Sin( 0 - a )=P .(2) 圆：p = a,p = a COS 0,p = a Sin 0,p = a COS( 0 - a ) , p = a Sin( 0 - a )，1高考命题分析主要考极坐标与直角坐标的互化，以及对直线和圆的极坐标方程的理解和掌握。2典型题例析【例1】在极坐标系中，点(p,0 )与(-p,n - 0)的位置是 。A. 关于极轴所在直线对称B. 关于极点对称7TG关于直线。(PER)对称D.重合分解点(-p,n - 0)与点(p, - 0)是同一个点，它与点(p,

14、0 )关于极轴所在直线对称,所以选Ao匚例21点aL适合qo, -nen的楓坐标是LJ J，适合p 0, -2 n0 0的极坐标是 解当时，点A 4.紳的极坐标的一般形式为 j42,kz,当k=-l吋.9-27T =-兀，所臥点也的坐标(4, -jjrjo当P4令-27r-K 十(2k+ 13 0,得k = -245所以E =- K -371 =-JT3 3所以点包的坐标为-4, - |兀。LJ J说明一般地，为了求出点(P,9 )满足一定条件的极坐标，可写出它的极坐标的一般形式，再根据P和B的条件确定 k的值，从而得到所要求的坐标。【例3】如图13-2所示，点A在直线x=5上移动，等腰 OPA的顶角/ OPA为120( O, P, A按顺时针方向排列)，求点P的轨迹方程。解 取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=5的方程为p cos 0 =5设 P (p,0), A (p 0