微积分无穷级数

1、1 第七章 无穷级数 2 齐诺悖论齐诺悖论阿基里斯与乌龟阿基里斯与乌龟 公元前五世纪，以诡辩著称的古希腊哲学家齐 诺(Zeno)用他的无穷、连续以及部分和的知识， 引发出以下著名的悖论： 如果让阿基里斯(Achilles，古希腊神话中善跑的英雄)和乌龟 之间举行一场赛跑，让乌龟在阿基里斯前头1000米开始，假定 阿基里斯能够跑得比乌龟快10倍，也永远也追不上乌龟.齐诺的 理论依据是：当比赛开始的时候，阿基里斯跑了1000米，此时 乌龟仍然前于他100米；当阿基里斯跑了下一个100米时，乌龟 仍然前于他10米， 如此分析下去，显然阿基里斯离乌龟越来越近，但却是永远 也追不上乌龟的.这个结论显然是

2、荒谬的，但奇怪的是，这种推 理在逻辑上却没有任何毛病.那么，问题究竟出在哪儿呢？ 3 第一节第一节 无穷级数的概念无穷级数的概念 无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数 的性质以及进行数值计算的一种工具。 计算圆的面积 R 正六边形的面积 正十二边形的面积 1 a 21 aa 正 形的面积 n 23 n aaa 21 n aaaA 21 即即 4 1 1、级数的定义：、级数的定义： n n n uuuuu 321 1 (常数项)无穷级数 n i inn uuuuS 1 21 , 11 uS , 212 uuS , 3213 uuuS , 21nn uuuS 通项 级数的前

3、 n 项部分和数列 n S 5 2 2、级数的收敛与发散：、级数的收敛与发散： 对对于于级级数数 1n n u, ,如如果果它它的的前前 n 项项部部分分和和数数列列 n S收收敛敛 如如果果数数列列 n S没没有有极极限限, ,则则称称该该无无穷穷级级数数发发散散. . 即即 SSn n lim, , Su n n 1 定义 (设极限为S ) ， 则称该无穷级数收敛， 且称 S 为该级数的和，并记为 6 解 )1( 1 nn un, 1 11 nn )1( 1 32 1 21 1 nn Sn ) 1 11 () 3 1 2 1 () 2 1 1( nn 1 1 1 n ,)(1 n 例1 讨

4、论无穷级数 )1( 1 32 1 21 1 nn 的收敛性. 所以级数收敛，且和为 1。 7 讨讨论论级级数数 1 ) 1 1ln( n n 的的敛敛散散性性. . 解 例2 ) 1 1ln( n un )1ln( n nnSnln) 1ln(2ln3ln1ln2ln n 所以级数发散. ,ln)1ln(nn 所以 8 解 ，如如果果1 q 12 n n aqaqaqaS ， q qaa n 1 ,1|时时当当 q0lim n n q q a Sn n 1 lim ,1|时时当当 q n n qlim n n Slim 收敛 发散 例3 讨论等比级数(几何级数) 12 1 1n n n aqa

5、qaqaaq)0( a 的收敛性. 9 ，如如果果1| q ,1时时当当 q ,1时时当当 q anSn 发散 aaaa级级数数变变为为 ,lim 不不存存在在 n n S 发散 综上所述， q a 1 发散发散当当 收敛收敛当当 时时 时时 ,1| ,1| 1 1 q q aq n n 12 1 1n n n aqaqaqaaq )0( a ， 为为偶偶数数 为为奇奇数数 n na Sn , 0 , 10 齐诺悖论齐诺悖论阿基里斯与乌龟阿基里斯与乌龟 阿基里斯是希腊传说中跑得最快的人。 一天他正在散步，忽然发现在他前面一 千米远的地方有一只大乌龟正在缓慢地向前爬。乌龟说：“阿 基里斯，谁说你

6、跑得最快？你连我都追不上！”阿基里斯说： “胡说！我的速度比你快何止上百倍！就算刚好是你的十倍， 我也马上就可以超过你！”乌龟说：“就照你说的，咱们来试 一试吧！当你跑到我现在这个地方，我已经向前跑了一百米。 当你向前跑过这一百米时，我又爬到前面去了。每次你追到我 刚刚爬过的地方，我都又向前爬了一段距离。你只能离我越来 越近，却永远也追不上我！”阿基里斯说：“哎呀，我明明知 道能追上你，可是你说的好像也有道理耶。这到底是怎么回事 呢？ 11 A B 假定阿基里斯现在A处，乌龟现在B处. 为了赶上乌龟，阿 基里斯先跑到乌龟的出发点B，当他到达B点时，乌龟已前进 到B1点；当他到达B1点时，乌龟又

7、已前进到B2点，如此等等。 当阿基里斯到达乌龟前次到达过的地方，乌龟已又向前爬动 了一段距离.因此，阿基里斯是永远追不上乌龟的！ BB1 B1B2 12 如果我们从级数的角度来分析这个问题，齐诺的这个悖论就会不攻自破。 101001000 这这是是一一个个公公比比为为1 10 1 q的的几几何何级级数数, ,易易求求得得它它的的和和为为 ， 9 1 1111 9 10000 10 1 1 1000 设阿基里斯的速度为乌龟速度的10倍，则他跑完1000米时，乌龟又爬了100米；等 阿基里斯跑完这段路，乌龟又向前爬了10米，依次类推，阿基里斯需要追赶的 全部路程为 13 也就是说也就是说, ,如果

8、赛程比这个距离短如果赛程比这个距离短, ,则乌龟胜； 如果赛则乌龟胜； 如果赛 程恰好等于这个距离程恰好等于这个距离, ,则双方平分秋色；否则则双方平分秋色；否则, ,阿基里斯阿基里斯 就要在距离起点就要在距离起点 9 1 1111处追上并超过乌龟处追上并超过乌龟. . ， 9 1 1111 9 10000 10 1 1 1000 思考题：还有没有其他方法解此题？ ,100010tt , 9 1000 t. 9 10000 10 ts 这里已经假定可以追上。 14 把循环小数把循环小数232323. 0表示成分数表示成分数 解 例4 232323. 0 32 100 23 100 23 100

9、 23 (公公比比为为 100 1 的的等等比比级级数数,收收敛敛) 100 1 1 100 23 . 99 23 小课题：请编写一套把循环小数转化为分数的方法。 324 . 0 990 4423 . 990 419 15 循环小数转化为分数的方法：循环小数转化为分数的方法： 第一型： n aaa 21 . 0 n n n n aaaaaa 2 2121 1010 n n n aaa 10 1 1 10 21 110 21 n n aaa . 999 21 个个n n aaa 个个n n n aaa aaa 999 . 0 21 21 16 , 9 7 70. , 99 23 320. . 9

10、99 457 7540. 例如： 个个n n n aaa aaa 999 . 0 21 21 17 第二型： nm aaabbb 2121 . 0 nm n nm n m m aaaaaabbb 2 212121 101010 n nm n m m aaa bbb 10 1 1 10 10 21 21 mn n m m aaabbb 10 1 11010 2121 个个个个mn n n m aaabbb 000999 )110( 2121 . 000999 212121 个个个个mn mnm bbbaaabbb 18 例如： 个个个个mn mnm nm bbbaaabbb aaabbb 000

11、999 . 0 212121 2121 124 . 0 , 990 417 990 4421 38756. 0 , 99900 56727 99900 5656783 612045. 0 . 999000 45171 999000 4545216 19 第二节第二节 无穷级数的基本性质无穷级数的基本性质 设级数设级数 1n n u、 1n n v及及 1 )( n nn vu的部分和分别为的部分和分别为 nnn BA 及及, ， 如果级数如果级数 1n n u、 1n n v都收敛都收敛, ,则则 1 )( n nn vu .)( 111 n n n n n nn vuvu 也收敛，且有 性质

12、1 证 且且 ,lim,limBBAA n n n n n i iin vu 1 )( n i i n i i vu 11 n n lim)(lim nn n BA ,limlimBABA n n n n .)( 111 n n n n n nn vuvu此此即即 , nn BA 20 说明： (1) 不不能能由由 1 )( n nn vu收收敛敛推推出出 1n n u、 1n n v收收敛敛； (2) 若若 1n n u收敛收敛,而而 1n n v发散发散,则则 1 )( n nn vu必发散必发散. 证 假假设设 1 )( n nn vu 收收敛敛, 由由 nnnn uvuv )(, ,

13、而已知而已知 1n n u收敛收敛, , 由由上上述述性性质质得得 1n n v收收敛敛, , 矛盾. 所以所以 1 )( n nn vu 发散发散. . 21 设设 k 是非零常数是非零常数, 则级数则级数 1n n u与级数与级数 1n n uk具有相具有相 同的敛散性，且当同的敛散性，且当 1n n u收敛时，等式收敛时，等式 11n n n n ukuk成立成立 性质2 证 设级数设级数 1n n u收敛收敛, 且且Su n n 1 , 又设又设 1n n u与与 1n n uk的部分和分别为的部分和分别为 nn S 及及， n i in uk 1 n i i uk 1 , n Sk

14、n n n n Sk limlim ,limSkSk n n 22 n i in uk 1 n i i uk 1 , n Sk n n n n Sk limlim ,limSkSk n n 所以级数所以级数 1n n uk收敛，且收敛，且 11n n n n ukuk 反之，若反之，若 1n n uk收敛（收敛（0 k） ，） ， 则则 11 1 n n n n uuk k 也收敛也收敛 23 性质3 去掉、添加或改变级数中的有限项，不会影响它的敛散性. 这是因为，去掉、添加或改变级数中的有限项后所得数列的部分和数列与原级数 的部分和数列只相差一个常数，所以具有相同的敛散性。 注意：原级数若收

15、敛，则改变级数中的有限项后，一般要改变它的和. 24 性质4 收敛级数任意加括号后仍收敛，且其和不变. 证 记记级级数数 1n n u的的部部分分和和数数列列为为 n k kn uS 1 , , 加加括括号号后后的的级级数数的的部部分分和和数数列列记记为为 n A, , )()()( 987654321 uuuuuuuuu , 21 SA , 52 SA , 93 SA 例如， , 25 证 则则 n A实实际际上上是是 n S的的一一个个子子数数列列, , 故故由由 n S的的收收敛敛性性可可知知 n A的的收收敛敛性性, ,且且其其极极限限不不变变. . 记记级级数数 1n n u的的部部

16、分分和和数数列列为为 n k kn uS 1 , , 加加括括号号后后的的级级数数的的部部分分和和数数列列记记为为 n A, , 性质4 收敛级数任意加括号后仍收敛，且其和不变. 注 收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛. )11()11( 推论 发散级数去括号仍发散。 例如 26 性质5 (级数收敛的必要条件) 若若级级数数 1n n u收收敛敛, ,则则必必有有0lim n n u. . 证 , 1 nnn SSu )(limlim 1 nn n n n SSuSS .0 1 limlim n n n n SS 设设 1n n u的的部部分分和和数数列列为为 n S，且且SSn n lim

17、， 此此定定理理说说明明，0lim n n u是是级级数数 1n n u收收敛敛的的必必要要条条件件. . 27 说明： 1、如果级数的一般项不趋于零，则级数发散； 1 )1( 4 3 3 2 2 1 1 n n n 例例如如 级数发散； ,0 n u所以所以,1| n u n 2 cos 8 cos 4 cos 2 cos ，再如再如 ,01 2 coslim n 级数发散。 若若级级数数 1n n u收收敛敛, , 则则必必有有0lim n n u. . ? 1 )1( 1 n n n 28 2、必要条件不充分： 若若0lim n n u, ,级数却不一定收敛级数却不一定收敛. . 再举一

18、个重要例子： 1 1 3 1 2 1 1 1 n nn , , 0 1 lim n n , ,但但级级数数是是否否收收敛敛? ? 如如 1 ) 1 1ln( n n ： , )(0) 1 1ln( n n 但级数发散。 调和级数 调和级数增加的速度非常缓慢，例如 ,30 1 10 10 10 1 10 n n S,300 1 100 100 10 1 10 n n S 那么调和级数到底的收敛还是发散？ 调和级数 1 1 3 1 2 1 1 1 n nn 30 证明：调和级数发散。 nn SS 2 n n 2 ）（ nn n SS 2 limSS 0 于是 矛盾， 调和级数 , 2 1 假设调和

19、级数收敛，其和为 S ， 所以级数发散。 nnn2 1 2 1 1 1 1 1 3 1 2 1 1 1 n nn , 2 1 证 因为 进一步的研究可以发现，虽然调和级数发散到正无穷大，但其发散的速度却是惊 人的缓慢。 这说明调和级数发散到正无穷大实在不是直接的计算所能得到的，由于调和级数发 散到正无穷大的缓慢性，我们也可形象地称调和级数为一“坚韧不拔”的级数，另 一方面它又提醒我们：人不可“貌相”，级数的敛散性不可凭“想象”，需要严格 的证明。 调和级数 1 1 3 1 2 1 1 1 n nn 32 1. 0 ) 4 5 3 1 ( n nn 6 49 . . 例1 判断下列级数的敛散性：

20、 因为 , 3 1 0 n n 0 4 1 n n 都收敛，故原级数收敛，解 且和为 0 ) 4 5 3 1 ( n nn 00 4 1 5 3 1 n n n n 4 1 1 5 3 1 1 1 33 2. 1 100 5 1 10321 n n 3. n2 1 6 1 4 1 2 1 1 1 2 1 n n 收敛； 发散。 例1 判断下列级数的敛散性： 34 第三节第三节 正项级数正项级数 1、定义： ，中中各各项项均均有有如如果果级级数数0 1 n n n uu 这种级数称为正项级数。 2、正项级数收敛的充要条件： 定理 (一) 正项级数的收敛问题 正正项项级级数数收收敛敛的的充充分分必

21、必要要条条件件是是它它的的部部分分和和 数数列列 n S有有上上界界. . 这是因为这是因为0 n u, ,所以所以 n S单调不减单调不减, ,因此它有极限当因此它有极限当 且仅当它有上界且仅当它有上界. . 35 ( (二二) )比较判别法比较判别法 且且), 2, 1( nvu nn , 证明 , 1 n k kn uS设设 , nn vu . 1 也收敛也收敛从而从而 n n u 均均为为正正项项级级数数，和和设设 11n n n n vu 则则 (1) 若若 1n n v收敛收敛,则则 1n n u收敛；收敛； (2) 若若 1n n u发散，则发散，则 1n n v发散发散. 定理

22、 , 1 n k kn vT , nn TS (1) ), 2 , 1( n 因因为为 1n n v收收敛敛，所所以以 n T有有上上界界 M， , MTS nn 所所以以 n S也也有有上上界界 M， 36 (一)比较判别法 证明 则则 (1) 若若 1n n v收敛收敛,则则 1n n u收敛；收敛； (2) 若若 1n n u发散，则发散，则 1n n v发散发散. (2)是(1)的等价命题。 从某项起从某项起, ,恒有恒有 nn vku , ,)0( k. . 注：定理的条件可放宽为： 均均为为正正项项级级数数，和和设设 11n n n n vu且且), 2, 1( nvu nn ,

23、定理 37 判断级数判断级数 1 2 1 sin n n 的收敛性的收敛性. . 因因为为 nn 2 1 2 1 sin0 , , 而而 1 2 1 n n 收敛收敛, , 解 例1 所以原级数收敛. , |sin|xx Rx 38 讨论讨论 p- -级数级数 1 1 n p n 的收敛性的收敛性( (0 p).). o y x )1( 1 p x y p 1234 当当1 p时时, , 而而调调和和级级数数 1 1 n n 发发散散, , 当当1 p时时, ,用用积积分分判判别别法法： 当当nxn 1时时, , pp xn 11 , , n n pp n x n 1 d1 n n p x x

24、 1 d 解 例2 ， nn p 11 故原级数发散； 于是有 39 故故当当1 p时时, , 1 1 n p n 收敛收敛. . n n pp n x n 1 d1 n n p x x 1 d 所以 n k k k p n k p x xk 2 1 2 d 11 x x n p d 1 1 ) 1 1( 1 1 1 p np , 1 1 p 于是 , 1 1 1 1 1 pk S n k p n 即即 n S有有上上界界， 40 总结总结: : 发散发散 收敛收敛 10 1 1 1 p p n n p 重要参考级数：几何级数，p - 级数，调和级数。 比较： 发散发散 收敛收敛 ， ， 10

25、 1 d 1 1 p p x x p 41 因因为为 nn 1 1 1 , , 而而 2 1 n n 发发散散, , （但但 2 1 1 n n 如如何何？） 因因为为 22 1 1 1 nn , , 而而 1 2 1 n n 收收敛敛, , （但但 2 2 1 1 n n 如如何何？） 解 例3 2 1 1 n n 例4 1 2 1 1 n n 解 所以原级数发散。 所以原级数收敛。 42 设设N ，当，当Nn 时，恒有时，恒有0 n u、0 n v，则，则 (1) 若若 0lim l v u n n n ，则正项级数，则正项级数 1n n u与与 1n n v同敛散；同敛散； (2) 若若

26、0lim n n n v u ，则则当当 1n n v收收敛敛时时， 1n n u也也收收敛敛； (3) 若若 n n n v u lim，则当，则当 1n n v发散时，发散时， 1n n u也发散也发散. 比较判别法的极限形式：比较判别法的极限形式： 43 证明 ,0lim )1( l v u n n n 由由, 0 2 l 取取 ,N ,时时当当Nn ，有有 2 | l l v u n n , 22 l l v ul l n n )( 2 3 2 Nnv l uv l nnn 即即 44 )( 2 3 2 Nnv l uv l nnn 即即 可知两级数有相同的敛散性。 )( 2 3 Nn

27、v l u nn 由由 )( 2 Nnuv l nn 由由 则由则由 1n n v收敛，可推出收敛，可推出 1n n u也收敛；也收敛； 则由则由 1n n u收敛，可推出收敛，可推出 1n n v也收敛；也收敛； 45 由由极极限限定定义义, ,取取1 , ,存存在在自自然然数数N, , 当当Nn 时时, ,恒恒有有1 n n v u , , 即即 nn vu , , 当当 1n n v收敛时收敛时, , 1n n u也收敛。也收敛。 证明 ,0lim )2( n n n v u 若若 由比较判别法可知， (注意：单向) ,lim )3( n n n v u 若若,0lim n n n u

28、v 则则 由(2)即得结论。 46 而而 2 1 n n 发散发散, , 例5 1 1 1 n n ，1 1 1 1 lim nn n 例6 2 2 1 1 n n ，1 1 1 1 lim 22 nn n 所以原级数发散。 而而 1 2 1 n n 收收敛敛, , 所以原级数收敛。 解 解 47 例7 1 2 1 1 n n n ，1 1 1 1 lim 2 n n n n 例8 1 2 ) 1 1ln( n n ，1 1 ) 1 1ln(lim 22 nn n 发散 解 而而 2 1 n n 发散发散, , 所以原级数发散。 解 而而 1 2 1 n n 收收敛敛, , 所以原级数收敛。

29、?) 1 1ln( 1 n n 48 常用等价无穷小：,0时时当当x ,sinxx ,)1ln(xx ,tanxx )0(1)1 ( xx ,1ex x , 2 1 cos1 2 xx ,arcsinxx ,arctanxx 49 判断级数判断级数 1 2 1 sin n n 的收敛性的收敛性. . 因因为为 1 2 1 / 2 1 sinlim nn n , , 而而 1 2 1 n n 收敛收敛, , 解 例1 所以原级数收敛. 50 例9 解 设设常常数数0 p, ,试试判判别别级级数数 1 1 ln n p p n n 的的敛敛散散性性。 1 1 ) 1 1ln(lim pp n nn

30、 原级数与原级数与 1 1 n p n 同敛散，同敛散， 0,)1ln( xxx 所以原级数当所以原级数当1 p时收敛，当时收敛，当10 p时发散。时发散。 51 例10 1 )cos1( n n 2 1 )cos1(lim nn n 2 2 1 )( 2 1 lim nn n , 2 2 收敛， 解 0, 2 1 cos1 2 xxx 1 2 1 n n 所以原级数收敛。 52 而而 1 3 1 n n 收敛收敛, , 例11 1 3 1 n n n ，1 3 1 3 1 lim nn n n nn n n3 1 3 1 lim n n n n 3 3 lim n nn 3 1 1 lim

31、n n n 3 lim x x x 3 lim 3ln3 1 lim x x .0 .1 所以原级数收敛。 53 讨讨论论 2 1 n n an 的的敛敛散散性性)0( a. . ( (1 1) ) 当当1 a时时, , 而而 2 1 n n a 收收敛敛, , (2) (2) 当当10 a时时, , 例12 解 ，1 11 lim nn n aan ,1 11 lim n an n n 所以原级数收敛。 所以原级数发散。 54 试证：试证：均收敛均收敛与与设正项级数设正项级数, 11 n n n n vu 证 11 均收敛，均收敛，与与 n n n n vu , ) 1 ( 2 1 2 n

32、u n u n n , )( 2 1 nnnn vuvu 。收收敛敛 1 n n n u 例13 ，收敛收敛 1 1 2 n n 由基本不等式 ，收敛收敛且已知且已知 1 n n u . 1 收敛收敛 n nnv u , )( 1 收敛收敛 n nn vu 也收敛。也收敛。收敛，收敛， 11 n n n nn n u vu 55 ( (三三) )比值判别法比值判别法 (达朗贝尔比值判别法达朗贝尔比值判别法) 设设 1n n u是是正正项项级级数数, , 若若 n n n u u 1 lim, ,则则 （1）当）当1 时，级数收敛；时，级数收敛； （2）当）当1 时，级数发散；时，级数发散； （

33、3）当当1 时时，此此法法不不能能确确定定级级数数收收敛敛性性. , 1 1 发发散散级级数数 n n , 1 1 2 收收敛敛级级数数 n n 1 证略 56 n n n u u 1 lim 因为因为 1 1 lim n n 0 例14 判别级数下列级数的敛散性 1 ! 1 )1( n n 1 2 )2( n n n n n n u u 1 lim 因为因为 n n n 1 lim 2 1 所以级数收敛。 解 解 ,1 2 1 ,1 所以级数收敛。 ! 1 ! )1( 1 lim n n n n n n n n 2 2 1 lim 1 57 n n n n n n n n n n n n u

34、 u! 3 )1( ! )1(3 limlim 1 1 1 因为因为 n n n n n )1( 3 lim e 3 1 ! 3 )3( n n n n n 解 n n n ) 1 1( 3 lim n n n n n n n n n n n n u u! 2 )1( ! )1(2 limlim 1 1 1 因为因为 n n n n n )1( 2 lim e 2 1 ! 2 )4( n n n n n 解 n n n ) 1 1( 2 lim ,1 所以级数发散. ,1 所以级数收敛. ? ! e 1 n n n n n n n n n n! 3 lim 0 ! 2 lim n n n n

35、n 58 解 练习： 1 1 ! )1( n n n n 12 ! )1( )1( ! )2( lim nn n n n n n n n n u u 1 lim e 1 所以级数收敛。 ,1 1 ) 1 1( 1 2 lim n n nn n ) 1 1() 1 1( nn n 59 实际上实际上, ,且和为且和为 2 1 S. . 1 )12)(12( 1 )5( n nn 解 )32)(12( )12)(12( limlim 1 nn nn a a n n n n 所以用比值法无法判断. 用比较法， ， 4 11 )12)(12( 1 lim 2 nnn n ,1 而级数而级数 1 2 1

36、 n n 收敛，收敛， 所以原级数收敛。 60 假假设设0 , ,讨讨论论 1 1 n p n n 的的收收敛敛性性. . （1）若若1 ,则则级级数数收收敛敛； （2）若若1 ,则则级级数数发发散散； （3）若若1 , 原原级级数数为为 1 1 1 n p n , , 所所以以1 p时时收收敛敛, , 1 p时时发发散散. . 例15 解 n p p n n n n n n nu u 1 1)1( limlim 1 1 1)1( 1 lim p p n n n ， ,1 1 1 1 lim pp n nn 61 ( (四四) )根值判别法根值判别法 (柯西根值判别法柯西根值判别法) 设设 1

37、n n u是正项级数是正项级数, , 如如果果 n n n ulim, ,则则 （1）当）当1 时，级数收敛；时，级数收敛； （2）当）当1 时，级数发散；时，级数发散； （3）当当1 时时，此此法法不不能能确确定定级级数数收收敛敛性性. 证略 62 例16 解 12 limlim n n u n n n n 2 1 1 ) 12 ( n n n n ，1 所以级数收敛. 例17 1 12 ) 13 ( n n n n 解n n n n n n n n u 12 ) 13 (limlim 9 1 ，1 所以级数收敛. 63 解 例18 )0( ) 1 ( 1 a n na n n 所所以以当当

38、10 a时时级级数数收收敛敛, , 当当1 a时时级级数数发发散散； 当当1 a时时， n n n n n n u) 1 (limlim 级数发散。 e) 1 1(lim n n n n n n u lim 1 lim n na n ,a ,0 e 1 n n n ) 1 1( 1 lim 64 第四节第四节 任意项级数，绝对收敛任意项级数，绝对收敛 定义：正、负项相间的级数称为交错级数。 n n n u 1 1 )1( 定理(莱布尼茨判别法) )0( n u其中其中 （1） 1 nn uu,即即 n u单单调调减减少少； （2）0lim n n u, 则则交交错错级级数数 1 1 )1( n

39、 n n u收收敛敛, , 且其和且其和 1 uS ，级数的级数的 称莱布尼茨 型级数 如果交错级数 满足条件 n n n u 1 1 ) 1( 余余项项 n R的的绝绝对对值值 1 | nn uR 4321 uuuu (一)交错级数 即即 2m S有有上上界界, , 故故 2m S收收敛敛, , 记记 SS m m 2 lim, , 显然有显然有 1 uS . . 而而 12212 mmm uSS, , 所所以以 SSn n lim, 且其和且其和 1 uS . . ,)()()( 21243212mmm uuuuuuS 证 所以所以 2m S单调单调不不减减； 另一方面， mmmm uuu

40、uuuuuS 21222543212 )()()( , 1 u 由条件(2)可知， ,lim 12 SS m m 即原级数收敛， 而余项而余项 n R仍是一个莱布尼茨型级数，所以有仍是一个莱布尼茨型级数，所以有 1 | nn uR 由条件(1)可知， , 212kk uu 66 注意：莱布尼兹判别法所给的条件只是交错级数收敛的 充分条件，而非必要条件。 n n n u 1 1 )1()0( n u 定理(莱布尼茨判别法) （1 1） 1 nn uu, ,即即 n u单调减少；单调减少； （2 2）0lim n n u, , 则则交交错错级级数数 1 1 )1( n n n u收收敛敛, , 且

41、其和且其和 1 uS ，级数的级数的 如果交错级数 满足条件 n n n u 1 1 ) 1( 余余项项 n R的的绝绝对对值值 1 | nn uR 4321 uuuu 67 n 1 单单调调减减少少, , 且且 0 1 lim n n , , 1 1 1 )1( n p n n 例19 解这是交错级数， 由莱布尼茨定理知，级数收敛。 一般地， 称为交错 p - 级数. 当当0 p时时， ,0 1 lim 1 p n p nn 单单调调减减少少且且 所以级数收敛。 1 1 1 )1( n n n 证明级数 收敛。 68 判判别别级级数数 2 1 )1( n n n n 的的收收敛敛性性。 解

42、, 1 )( x x xf设设 )2( x , 1 )(单单调调减减少少故故函函数数 x x xf 1 limlim n n u n n n 又又, 0 由莱布尼茨定理知级数收敛。 所所以以数数列列 1n n 单单调调减减少少, , 练习 2 )1(2 )1( )( xx x xf则则,0 69 ( (二二) )任意项级数的任意项级数的绝对收敛绝对收敛与与条件收敛条件收敛 正项和负项任意出现的级数称为任意项级数。 定义定义 若若 1 | n n u收敛收敛, ,则称则称 1n n u绝对收敛绝对收敛； 若若 1n n u绝绝对对收收敛敛, ,则则 1n n u本本身身也也收收敛敛. . 定理：

43、 绝对收敛必收敛。 70 若若 1n n u绝绝对对收收敛敛, ,则则 1n n u本本身身也也收收敛敛. . 证明 定理： , |2|0 nnn uuu 如如果果级级数数 1n n u绝绝对对收收敛敛，即即 1 | n n u收收敛敛， 则则 1 |2 n n u也也收收敛敛， 由由比比较较判判别别法法得得正正项项级级数数 1 )| ( n nn uu收收敛敛 , |)| ( nnnn uuuu 而而 由级数性质知，级数由级数性质知，级数 1n n u收敛收敛 71 例例如如, , 1 2 1 1 )1( n n n 绝绝对对收收敛敛, , 而而 1 1 1 )1( n n n 条件收敛条件

44、收敛. . 定定义义 若若 1 | n n u发发散散, , 但但 1n n u收收敛敛, ,则则称称 1n n u条条件件收收敛敛. . 说明： (1) 定理不可逆：级数收敛，未必绝对收敛； 如如 1 1 1 ) 1( n n n 收收敛敛, , 但但 1 1 n n 发散发散. . 72 (2) 若若 1 | n n u发发散散, 不不能能推推出出 1n n u发发散散. . 但但如如果果是是用用比比值值判判别别法法或或根根值值判判别别法法判判定定 1 | n n u发发散散, , 则立刻可以断定则立刻可以断定 1n n u发散，发散， 从从而而 n u也也不不趋趋向向于于零零. . 一一

45、般般项项 | n u不不趋趋向向于于零零, , 这是因为它们的依据是 说明： 但但 1 1 1 )1( n n n 收收敛敛。 1 1 n n 发发散散, , 73 因为因为 22 1sin nn n , , 而而 1 2 1 n n 收敛收敛, , 例20 判定下列级数是绝对收敛、条件收敛或发散. 1 2 sin )1( n n n 解 故原级数绝对收敛. 1 2 ) 1 1( 3 1 )1( )2( n n n n n 解n n n a |lim 3 e ，1 故级数绝对收敛. n n n ) 1 1( 3 1 lim 74 1 2 ) 1 1( 2 1 )1( )3( n n n n n

46、 解 n n n n n n a) 1 1( 2 1 lim|lim 2 e ，1 故级数发散. 解 所以原级数绝对收敛。 所所以以 110n n n 收收敛敛, , n n n n n 10 10 1 lim 1 1 3 10 ) 5 (cos )4( n n n n ,1 10 1 因因为为 nn n n n 1010 ) 5 (cos 3 , , ? 10 1 n n n 75 例21 若若1 , ,则原级数发散；则原级数发散； 若若1 , ,原原级级数数为为 1 )1( n p n n , , 因因此此当当1 p时时绝绝对对收收敛敛； 当当10 p时时条条件件收收敛敛. . 设设0,

47、0 p, ,讨讨论论 1 )( n p n n 的的收收敛敛性性. . 若若1 , ,则原级数绝对收敛；则原级数绝对收敛； 解 n n n a a 1 lim p p n n n n n )1( lim 1 , 76 ？条件收敛还是绝对收敛条件收敛还是绝对收敛 敛？如果收敛，是敛？如果收敛，是是否收是否收判断级数判断级数 1 ln )1( n n nn 例22 解 , 1 1 发发散散而而 n n , ln 1 ln )1( 11 发散发散 nn n nnnn 即原级数非绝对收敛; x x n n xn ln lim ln lim , 0 1 lim x x nnn n 1 ln 1 lim

48、n nnln 1 1 lim ,1 77 , ln )1( 1 级级数数是是交交错错 n n nn nn n ln 1 lim , )0(ln)( xxxxf令令, ) 1(0 1 1)( x x xf则则 n n n nln 1 1 lim ,0 ,), 1()(上单增上单增在在xf ,1 ln 1 时时单单减减当当故故数数列列 n nn 由莱布尼茨定理， 此交错级数收敛， 故原级数条件收敛 78 判断判断 1 )12()1( n n nn的敛散性；若收的敛散性；若收 敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。敛，指出是绝对收敛还是条件收敛。 例23 解 原原级级数数改改写写为为 1 12 )1( n

49、 n nn ， 1 12 1 n nn 与与 1 1 n n 同敛散，即发散，同敛散，即发散， 而原级数为莱布尼兹级数，故收敛，即条件收敛。 , 2 11 / 12 1 lim nnn n 79 讨讨论论级级数数) 1( 1 1 1 x x n n 的的收收敛敛范范围围. . 若若1| x, , 则则 01 1 1 lim n n x , , 若若1| x, , 则则 1 1 1 1 limlim n n n n n n x x u u 最最后后, ,若若1 x, ,则则 2 1 n u, ,发发散散. . 所所以以级级数数的的收收敛敛范范围围为为1| x. . 例24 解 | 1 x ，1

50、所以级数发散； 故级数绝对收敛； 80 小结：小结：判定数项级数敛散性的思路：判定数项级数敛散性的思路： 正项？ Y 比较判别法 比值判别法 N 绝对收敛？ Y END N 若用比值法， 发散 若用比较法，莱布尼 茨定理 ?0lim n n u N 发散 Y 81 第五节第五节 幂级数幂级数 (一)幂级数及其收敛半径和收敛域 1、幂级数的定义 其中其中 n a称为称为幂级数系数幂级数系数. n n n xxa)( 0 0 n n xxaxxaa)()( 0010 0 10 n n n n n xaxaxaa 级数 称为关于称为关于 0 xx 的的幂级数幂级数； 特别，取特别，取0 0 x， 称

51、为关于 x 的幂级数。 82 2 2、幂级数的收敛半径和收敛域、幂级数的收敛半径和收敛域 ,1 2 0 xxx n n 例如级数例如级数 ;,1|收收敛敛时时当当 x;,1|发发散散时时当当 x . )1 , 1( 收敛域为收敛域为 显显然然，任任何何幂幂级级数数 0n n nx a在在0 x处处收收敛敛； 下下面面证证明明，在在不不考考虑虑端端点点的的情情况况下下， 0n n nx a的的收收 敛敛域域关关于于原原点点对对称称。 83 (1) 如如果果级级数数 0n n n xa在在)0( 11 xxx处处收收敛敛, (2) 如果级数如果级数 0n n n xa在在)0( 22 xxx处发散

52、处发散, 则它在满足不等式则它在满足不等式| 2 xx 的一切的一切 x 处发散处发散. 证 , 0lim 1 n n n xa , )1( 0 1 收敛收敛 n n n xa O 定理 (阿贝尔Abel定理) 则则它它在在满满足足不不等等式式| 1 xx 的的一一切切 x 处处绝绝对对收收敛敛； 1 x 84 ), 2 , 1 , 0(| 1 nMxa n n 使使得得, 0 M | n n xa nn n x x xa| 1 1 n x x M| 1 |,| 1 xx ,| 0 1 收收敛敛等等比比级级数数 n n x x M , | 0 收收敛敛 n n n xa ;)( 0 收收敛敛绝

53、绝对对因因此此级级数数 n n n xa 由正项级数的比较判别法知, 证 ,0lim 1 n n n xa, )1( 0 1 收敛收敛 n n nx a | 1 1 n n n n x x xa 85 , )2( 2 时时级级数数发发散散设设当当xx 假假如如有有一一点点 0 x适适合合| 20 xx 使使级级数数收收敛敛, , 则则级级数数当当 2 xx 时时应应收收敛敛, 由(1)结论, x R R 几何说明： 收敛区域 发散区域发散区域 这与所设矛盾. O 86 幂级数幂级数 0n n n xa的收敛情况必为以下三种情形之一：的收敛情况必为以下三种情形之一： （1）仅在）仅在0 x处收敛

54、；处收敛； （3）0 R,在在Rx |处绝对收敛处绝对收敛,在在Rx |处发处发 散散,在在Rx |处可能收敛也可能发散处可能收敛也可能发散. 此时正数 R 称为幂级数的收敛半径. ;0 R 规定 , R收敛域收敛域 ),(. (1) 幂级数只在幂级数只在0 x处收敛处收敛: (2) 幂幂级级数数对对一一切切x都都收收敛敛: : 问题：如何求幂级数的收敛半径? （2）在整个数轴上收敛； 87 如果幂级数如果幂级数 0n n n xa的所有系数的所有系数 0 n a, 则则幂幂级级数数 0n n nx a的的收收敛敛半半径径为为 设设 |lim 1 n n n a a (或或 n n n a |

55、lim) 定理 , 0 0 , 0 , 1/ R . |lim 1 n n n a a R 直接地讲，就是 88 证 | | lim 1 1 n n n n n xa xa |lim 1 x a a n n n , | x (1) 如如果果0 当当 1 | x时时, , 0n n n xa发散；发散； 当当 1 | x时时, , 0n n n xa绝绝对对收收敛敛； 故故0 时时, , 1 R； |lim 1 n n n a a 对对级级数数 0 | n n n xa应应用用比比值值判判别别法法， 89 , 0 )2( 如如果果 .)( 0 收收敛敛绝绝对对级级数数 n n n xa; R收收

56、敛敛半半径径 , )3( 如如果果 . 0 R收收敛敛半半径径 证毕. 则对则对0 x, , 则对则对0 x, , 级数级数 0n n n xa发散，发散， ,10 , | | lim 1 1 n n n n n xa xa |lim 1 x a a n n n | | lim 1 1 n n n n n xa xa |lim 1 x a a n n n |lim 1 n n n a a 90 求下列幂级数的收敛半径和收敛域。 例1 1n n n x 1 x时时, , 级数为级数为 1 1 n n , , 1 x时时, , 级数为级数为 1 )1( n n n , , 所所以以收收敛敛域域为为

57、)1, 1 . . 解 |lim 1 n n n a a R 1 1 1 lim n n n 发散； 收敛。 ，1 1 lim n n n 91 求下列幂级数的收敛半径和收敛域。 例1一般， , 1 n p n n x ，1 )1( lim p p n n n 若若1 p, , 收敛域为收敛域为1, 1 ； 若若10 p, , 收敛域为收敛域为)1, 1 ； 若若0 p, , 收收敛敛域域为为)1, 1( . . |lim 1 n n n a a R 1 x时时, , 级数为级数为 1 1 n p n ； 1 x时时, , 级级数数为为 1 )1( n p n n , , 92 解 1 x,

58、, 1 1 )1( n n n n x 收敛半径 ,1 1 limlim 1 n n a a R n n n n 端点处： 1 1 )1( n n n 收敛； 1 x, , 1 1 n n 发散； 所所以以收收敛敛域域为为 1, 1( . . 例2 93 解 1 11 )1( n nn x 收敛半径 ,1lim 1 n n n a a R 端点处明显发散， 所所以以收收敛敛域域为为 ) 1, 1( . . 例3 94 即收敛域为即收敛域为),( . . 仅仅在在0 x处处收收敛敛. . 例4 解 0n n n n x 1 )1( 11 lim nn n nn R 例5 n n xn ! 0 解

59、 ， ! )1( ! lim n n R n ,0 1 1 lim n n )1() 1 1(lim n n n n 95 1 2 1 2 lim nn n nn ，2 ,2|1|收收敛敛即即 x ,)3, 1(收敛收敛 x .)1( 2 )1( 1 n n n n x n ,1时时当当 x, 1 n n级级数数为为 ,3时时当当 x,)1( 1 n n n级数为级数为 发散； 发散， 故收敛域为 (-1, 3) . 例6 解 |lim 1 n n n a a R 96 求幂级数求幂级数 1 2 1 3 )1( n nn n n x 的收敛域的收敛域。 , 3 27 2 9 3 64 2 xx

60、 x级数为级数为 缺少偶次幂的项 | )( )( |lim 1 xu xu n n n | 2221 3 / 1 3 lim n x n x nnnn n ,3 2 x 级数收敛； ,13 2 x当当, 3 1 |时时即即 x 例7 解 直接应用比值判别法， 级数发散； ,13 2 x当当, 3 1 |时时即即 x 97 , 3 1 时时当当 x, 1 )1( 1 1 n n n 级数为级数为 级数收敛， 所以原级数的收敛域为 . 3 1 , 3 1 1 2 1 3 )1( n nn n n x 级数收敛； ,13 2 x当当, 3 1 |时时即即 x 级数发散； ,13 2 x当当, 3 1