第十章 时间序列分析[课堂课资]

1、第十章第十章 时间序列分析时间序列分析 内容提要内容提要 q 第一节第一节 时间序列的基本概念时间序列的基本概念 q 第二节第二节 时间序列的平稳性检验时间序列的平稳性检验 q 第三节第三节 协整分析协整分析 q 第四节第四节 误差修正模型误差修正模型 q 第五节第五节 格兰杰因果关系检验格兰杰因果关系检验 第一节第一节 时间序列的时间序列的 基本概念基本概念 一、时间序列一、时间序列 随机过程：随机过程：随时间由随机变量组成的一个有序随时间由随机变量组成的一个有序 序列称为随机过程。用序列称为随机过程。用XXt t,t,t T T 表示。简记为表示。简记为 XXt t 或或X Xt t。 时

2、间序列：时间序列：随机过程的一次观测结果称为时间随机过程的一次观测结果称为时间 序列。也用序列。也用XXt t,t,t T T 表示，并简记为表示，并简记为XXt t 或或X Xt t。 时间序列中的元素称为观测值。时间序列中的元素称为观测值。 二、时间序列的数字特征二、时间序列的数字特征 设设XXt t，t=1,2,t=1,2, 是一个时间序列，称：是一个时间序列，称： (t)=E(X(t)=E(Xt t) ) (t=1,2, (t=1,2,) ) 为时间序列为时间序列XXt t，t=1,2,t=1,2, 的的均值函数均值函数。 由于固定的由于固定的t t，y yt t是一个随机变量，所以是

3、一个随机变量，所以 E(XE(Xt t) ) 是一个确定的数。当是一个确定的数。当t t变化时，变化时，(t)(t)是是 t t的一个函数，的一个函数，它是时间序列它是时间序列XXt t，t=1,2,t=1,2, 的所有样本函数在时刻的所有样本函数在时刻t t的函数值的平均。的函数值的平均。 1 1、均值函数、均值函数 2 2、自协方差函数、自协方差函数 q设设XXt t，t=1,2,t=1,2, 是一个时间序列，称：是一个时间序列，称： r(t,s)=Cov(Xr(t,s)=Cov(Xt t,X,Xs s)=E(X)=E(Xt t-E(X-E(Xt t)(X)(Xs s-E(X-E(Xs s

4、) (t,s=1,2,) 为时间序列为时间序列Xt，t=1,2,的的自协方差函数自协方差函数。 q若若t=s，则称：，则称：r(t,t)=Cov(Xr(t,t)=Cov(Xt t,X,Xt t)=E(X)=E(Xt t- - E(XE(Xt t)2=Var(X Xt t) (t=1,2,)为时间序列为时间序列Xt， t=1,2,的的方差函数方差函数，记为，记为2 2t t 。它表示时间。它表示时间 序列序列Xt，t=1,2,在时刻在时刻t对于均值对于均值(t)(t)的偏的偏 离程度。离程度。 3 3、自相关函数、自相关函数 设设XXt t，t=1,2,t=1,2, 是一个时间序列，称：是一个时

5、间序列，称： ),(),( ),( ),( ssrttr str st 为时间序列为时间序列Xt，t=1,2,的的自相关函数自相关函数。它反映。它反映 了时间序列了时间序列Xt，t=1,2,在两个不同时刻取值的在两个不同时刻取值的 线性相关程度。线性相关程度。 三、平稳和非平稳时间序列三、平稳和非平稳时间序列 1 1、平稳时间序列、平稳时间序列 平稳性（平稳性（StationarityStationarity）：）：时间序列的时间序列的统计规律不统计规律不 会随着时间的推移而发生变化会随着时间的推移而发生变化，即统计特征不随，即统计特征不随 时间变化而变化。时间变化而变化。 假定某个时间序列是

6、由某一假定某个时间序列是由某一随机过程（随机过程（stochastic process）生成的，即假定时间序列生成的，即假定时间序列Xt（t=1, 2, ）的每）的每 一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列一个数值都是从一个概率分布中随机得到，如果满足下列 条件条件： （1）均值）均值 E(Xt) =是是与时间与时间t无关的常数无关的常数，t=1,2, （2）方差）方差 Var(Xt) = E(Xt -)2 =2是是与时间与时间t无关的常数无关的常数， t =1,2, （3）协方差）协方差Cov(Xt, Xt+k）= E (Xt -)(Xt+k -) rk是是 只与时期间隔只与时期

7、间隔k有关，与时间有关，与时间t 无关的常数无关的常数， t=1,2,，k0。 则称该随机时间序列是则称该随机时间序列是平稳的（平稳的（stationary)，而该随，而该随 机过程是机过程是平稳随机过程（平稳随机过程（stationary stochastic process）。 易知它的自相关函数易知它的自相关函数(t,t+k)(t,t+k)也仅与时也仅与时 间间隔间间隔k k有关。则有：有关。则有： 0 )( r r k k t X t X t (a) 平稳时间序列与非平稳时间序列图平稳时间序列与非平稳时间序列图 (b) 用用u ut t表示白噪声过程，满足表示白噪声过程，满足: : q

8、（1）E(ut) = 0 , 对所有对所有t成立；成立； q（2）Var(ut) = 2，对所有，对所有t成立；成立； q（3）Cov (ut, ut+k) = 0，对所有，对所有t和和k0成立。成立。 白噪声可用符号表示为：白噪声可用符号表示为： ut IID(0, 2) 注：注：这里这里IIDIID为为Independently Identically DistributedIndependently Identically Distributed （独立同分布（独立同分布) )的缩写。的缩写。 特别地，具有零均值和同方差的不相关的特别地，具有零均值和同方差的不相关的 随机过程成为随机过程

9、成为白噪声白噪声（White noiseWhite noise）过程或白过程或白 噪声序列，白噪声过程是平稳的噪声序列，白噪声过程是平稳的。 二、非平稳时间序列二、非平稳时间序列 q非平稳性（非平稳性（non-Stationaritynon-Stationarity）：）：时间序列的时间序列的 统计规律统计规律随着时间的位移而发生变化随着时间的位移而发生变化，即统，即统 计特征随时间而变化。计特征随时间而变化。 q 只要平稳性的只要平稳性的三个条件不全满足三个条件不全满足，则该，则该 时间序列是非平稳的。事实上，大多数经济时间序列是非平稳的。事实上，大多数经济 时间序列是非平稳的。时间序列是非

10、平稳的。 几种常用的非平稳时间序列模型：几种常用的非平稳时间序列模型： 设设XXt t，t=1,2,t=1,2, 是一个时间序列。是一个时间序列。 1 1、随机游走（、随机游走（Random walkRandom walk）序列）序列 2 2、带漂移项的随机游走、带漂移项的随机游走(Random walk with (Random walk with drift)drift)序列序列 3 3、带趋势项的随机游走、带趋势项的随机游走 (Random walk with (Random walk with trend)trend)序列序列 X Xt t = X= Xt t 1 1+u +ut t

11、其中：其中：u ut t为白噪声。为白噪声。 X Xt t的均值为：的均值为： E(XE(Xt t)= E(X)= E(Xt-1 t-1+u +ut t)= E(X)= E(Xt t 1 1) + E(u ) + E(ut t) = E(X) = E(Xt t 1 1) ) 这表明这表明X Xt t的均值不随时间而变。的均值不随时间而变。 为求为求X Xt t的方差，对的方差，对X Xt t = X= Xt t 1 1+u +ut t进行一系列迭代：进行一系列迭代： X Xt t= X= Xt t 1 1+u +ut t=X=Xt t 2 2+u +ut-1 t-1+u +ut t = X =

12、 Xt t 3 3+u +ut-2 t-2+u +ut-1 t-1+u +ut t = = =X =X0 0+u+u1 1+u+u2 2+ +u+ut t =X =X0 0+u+ut t 1 1、随机游走序列、随机游走序列 随机游走是一个简单随机过程，由下式确定：随机游走是一个简单随机过程，由下式确定： 其中其中X0是是Xt的的初始值初始值，可假定为任何常数或取初值为，可假定为任何常数或取初值为0，则：，则： 2 11 0 )()()( t uVaruXVarXVar t t t t t tt 这表明这表明Xt的方差随时间而增大，平稳性的的方差随时间而增大，平稳性的第二个第二个条件不条件不 满

13、足，因此，随机漫步时间序列是满足，因此，随机漫步时间序列是非平稳非平稳时间序列。时间序列。 可是，若将可是，若将Xt = Xt 1+ut写成一阶差分形式： 写成一阶差分形式： Xt=ut 这个一阶差分新变量这个一阶差分新变量Xt是平稳的，因为它就等于白是平稳的，因为它就等于白 燥声燥声ut，而后者是，而后者是时间序列。时间序列。 2 2、带漂移项的随机游走序列、带漂移项的随机游走序列 Xt=+Xt 1+ut （ （1） 其中其中是一非是一非0常数，常数，ut为白噪声为白噪声。 之所以被称为之所以被称为“漂移项漂移项”，是因为（，是因为（1）式的一阶）式的一阶 差分为：差分为： Xt = XtX

14、t-1 =+ut 这表明时间序列这表明时间序列Xt向上或向下漂移，取决于向上或向下漂移，取决于的符号的符号 是正还是负。是正还是负。 易证明：易证明：E(Xt）= X0+t Var(Xt) = t2 显然，带漂移项的随机游走序列也是非平稳时间序显然，带漂移项的随机游走序列也是非平稳时间序 列列。 3 3、带趋势项的随机游走序列、带趋势项的随机游走序列 Xt=+ t+Xt 1+ut 容易证明，带趋势项的的随机游走序列也是容易证明，带趋势项的的随机游走序列也是非非 平稳平稳时间序列。时间序列。 如果使用非平稳序列进行回归，容易出现两个独立的序如果使用非平稳序列进行回归，容易出现两个独立的序 列表现

15、出强相关关系，统计检验显著的现象，称为列表现出强相关关系，统计检验显著的现象，称为伪回伪回 归归（spurious regressionspurious regression） 表现在表现在: :两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关两个本来没有任何因果关系的变量，却有很高的相关 性性（有较高的（有较高的R R2 2）例如：例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的变如果有两列时间序列数据表现出一致的变 化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义的关系，但进行回 归也可表现出较高的可决系数。归也可表现出较高的可决系数。 在本质上，

16、非平稳序列在本质上，非平稳序列不能满足回归模型基本假定不能满足回归模型基本假定，是出现，是出现伪伪 回归回归的根本原因。的根本原因。 如：用中国的劳动力时间序列数据与美国GDP时间序列作回归，会得 到较高的R2 ，但不能认为两者有直接的关联关系，而只不过它们有 共同的趋势罢了，这种回归结果我们认为是虚假的。 在现实经济生活中在现实经济生活中：情况往往是：情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的实际的时间序列数据是非平稳的， 而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现为一致的上升或 下降。这样，下降。这样，仍然通过经典的因果关系模型进行分

17、析，一般不会得仍然通过经典的因果关系模型进行分析，一般不会得 到有意义的结果。到有意义的结果。 三、伪回归三、伪回归 判断伪回归的经验法则：判断伪回归的经验法则： Granger & NewboldGranger & Newbold（19741974）提出当用时间序列）提出当用时间序列 数据进行回归时，如果数据进行回归时，如果R R2 2在数值上大于在数值上大于DWDW统计量统计量， 就就有理由怀疑有理由怀疑伪回归伪回归存在存在。 一般认为，如果序列非平稳，不能使用回归模一般认为，如果序列非平稳，不能使用回归模 型，型，这应该视作一个基本规则。这应该视作一个基本规则。 所以，在用时序数据进行回

18、归时，首先要判断所以，在用时序数据进行回归时，首先要判断 序列是否平稳，序列是否平稳，要进行平稳性检验要进行平稳性检验。 第二节第二节 时间序列的时间序列的 平稳性检验平稳性检验 一个一个平稳的时间序列平稳的时间序列在图形上往往表现出一种在图形上往往表现出一种 围绕其均值不断波动围绕其均值不断波动的过程；的过程； 而而非平稳序列非平稳序列则往往表现出在则往往表现出在不同的时间段具不同的时间段具 有不同的均值有不同的均值（如持续上升或持续下降）。（如持续上升或持续下降）。 一、利用散点图进行平稳性检验一、利用散点图进行平稳性检验 二、利用样本自相关函数进行平稳性判断二、利用样本自相关函数进行平稳

19、性判断 一个时间序列的样本自相关函数定义为：一个时间序列的样本自相关函数定义为： , 3 , 2 , 1k T t t kT t ktt k XX XXXX 1 2 1 )( )( 随着随着k k的增加，样本自相关函数下降且趋于零。的增加，样本自相关函数下降且趋于零。 但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快但从下降速度来看，平稳序列要比非平稳序列快 得多。得多。 1 0 k 0 k (a) 平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图平稳时间序列与非平稳时间序列样本相关图 (b) 1 t e t e 我们已知道，随机游走序列：我们已知道，随机游走序列：Xt=Xt-1+ut是是非平稳非平稳的，的，

20、 其中其中ut是白噪声是白噪声。而该序列可看成是随机模型：。而该序列可看成是随机模型： Xt= Xt-1+ut （1） 中参数中参数 =1时的情形。时的情形。 （1）式）式称为称为一阶自回归过程一阶自回归过程（AR（1），可以），可以 证明该过程在证明该过程在| |1时是平稳时是平稳的，其他情况下，则为非的，其他情况下，则为非 平稳过程。平稳过程。不难验证：不难验证：| |1时，该随机过程生成的时时，该随机过程生成的时 间序列是发散的，表现为持续上升（间序列是发散的，表现为持续上升（ 1)或持续下降或持续下降 （ ， 则接受原假设则接受原假设H0，即，即X Xt t非平稳非平稳。 若若t t

21、，则拒绝原假设，则拒绝原假设H H0 0，X Xt t为为平稳平稳序列。序列。 检验步骤：检验步骤： Dickey Dickey和和FullerFuller注意到注意到临界值依赖于回归方程临界值依赖于回归方程 的类型的类型。因此他们同时还编制了与另外两种类型方程。因此他们同时还编制了与另外两种类型方程 中相对应的中相对应的统计表，这两类方程是：统计表，这两类方程是： X Xt t=+X=+Xt-1 t-1+ +ut （ （4 4） 和和 X Xt t=+t+X=+t+Xt-1 t-1+ +ut （ （5 5） 二者的二者的临界值分别记为临界值分别记为 和 和T T。这些临界值。这些临界值 亦列

22、在亦列在附表附表5中。尽管三种方程的中。尽管三种方程的临界值有所不同，临界值有所不同， 但有关时间序列平稳性的检验依赖的是但有关时间序列平稳性的检验依赖的是X Xt-1 t-1的系数 的系数， 而而与与、无关无关。 进一步的问题：进一步的问题：在上述使用：在上述使用： X Xt t= = X Xt-1 t-1+u +ut t 对时间序列进行平稳性检验中，实际上对时间序列进行平稳性检验中，实际上假定了时间序列假定了时间序列 是由是由具有白噪声随机误差项具有白噪声随机误差项的的一阶自回归过程一阶自回归过程AR(1)生成的生成的。 但在实际检验中但在实际检验中，时间序列可能由更高阶的自回归过程时间序

23、列可能由更高阶的自回归过程 生成的，或者随机误差项并非是白噪声生成的，或者随机误差项并非是白噪声，这样用，这样用OLS法进行法进行 估计均会表现出随机误差项出现自相关估计均会表现出随机误差项出现自相关，导致，导致DF检验无效。检验无效。 另外另外，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋，如果时间序列包含有明显的随时间变化的某种趋 势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的势（如上升或下降），则也容易导致上述检验中的自相关随自相关随 机误差项问题机误差项问题。 为了保证为了保证DF检验中随机误差项的白噪声特性，检验中随机误差项的白噪声特性，Dicky和和 Fuller对对DF检验进行了扩充

24、，形成了检验进行了扩充，形成了ADF（Augment Dickey- Fuller ）检验）检验。 3 3、ADFADF检验检验 ADFADF检验是通过下面三个模型完成的：检验是通过下面三个模型完成的： t p j jtjtt uXXX 1 1 t p j jtjtt uXXX 1 1 t p j jtjtt uXXtX 1 1 q其中：其中：p=1p=1，2 2，3 3或者由实验来确定。或者由实验来确定。P P一般由一般由AICAIC准则准则 来确定。来确定。检验原理检验原理与与DFDF检验相同，只是对模型检验相同，只是对模型1 1、2 2、3 3进进 行检验时，有各自相应的临界值。行检验时

25、，有各自相应的临界值。 q实际检验时从实际检验时从模型模型3 3开始，然后开始，然后模型模型2 2、模型、模型1 1。 q何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳何时检验拒绝零假设，即原序列不存在单位根，为平稳 序列，何时检验停止。否则，就要继续检验，直到检验完序列，何时检验停止。否则，就要继续检验，直到检验完 模型模型1 1为止。为止。 双击序列名，打开序列窗口，选择双击序列名，打开序列窗口，选择View/unit Root Test， 得到下图得到下图： 但是，在进行但是，在进行ADF检验时，必须注意以下两个实际检验时，必须注意以下两个实际 问题：问题： 通常采用通常采用 AIC准

26、则准则来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际来确定给定时间序列模型的滞后阶数。在实际 应用中，还需要兼顾其他的因素，如应用中，还需要兼顾其他的因素，如系统的稳定性、模系统的稳定性、模 型的拟合优度等。型的拟合优度等。 选择哪种形选择哪种形 式很重要，因为检验显著性水平的式很重要，因为检验显著性水平的 t 统计量在原假设下统计量在原假设下 的渐近分布依赖于关于这些项的定义。的渐近分布依赖于关于这些项的定义。 在图在图5.9中，我们可以观察到中，我们可以观察到1978年年2006年我国年我国GDP （现价，生产法）具有明显的上升趋势。在（现价，生产法）具有明显的上升趋势。在ADF检验时选择含检验

27、时选择含 有常数项和时间趋势项，由有常数项和时间趋势项，由SIC准则确定滞后阶数（准则确定滞后阶数（p=4）。）。 GDP序列的序列的ADF检验如下检验如下 ： 检验结果显示，检验结果显示，GDP序列序列以较大的以较大的P值，即值，即100%的概率接的概率接 受原假设，即存在单位根的结论。受原假设，即存在单位根的结论。 File:5_8_9 将将GDP序列做序列做1阶差分，然后对阶差分，然后对GDP进行进行ADF检验检验 （选择含有常数项和时间趋势项，由（选择含有常数项和时间趋势项，由SIC准则确定滞后阶准则确定滞后阶 数（数（p=6）如下）如下 ： 检验结果显示，检验结果显示，GDP序列仍序

28、列仍接受存在单位根的结论。接受存在单位根的结论。 其他检验方法的结果也接受原假设，其他检验方法的结果也接受原假设，GDP序列存在序列存在单位单位 根，是非平稳的。根，是非平稳的。 再对再对GDP序列做差分，则序列做差分，则2GDP的的ADF检验（选择检验（选择 不含常数项和趋势项不含常数项和趋势项, 由由SIC准则确定滞后阶数（准则确定滞后阶数（p=6）如）如 下：下： 检验结果显示，二阶差分检验结果显示，二阶差分序列序列2GDP在在1%的显著性的显著性 水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确水平下拒绝原假设，接受不存在单位根的结论，因此可以确 定定GDP序列是序列是2阶单整序列

29、，即阶单整序列，即GDP I (2)。 第三节第三节 协整分析协整分析 一、单整（一、单整（integrationintegration） q如果一个序列进行一次差分后，可以成为平稳序列，则如果一个序列进行一次差分后，可以成为平稳序列，则 称该序列为一阶单整，记为称该序列为一阶单整，记为I(1)I(1)； q如果一个序列进行如果一个序列进行d d次差分后，可以成为平稳序列，则次差分后，可以成为平稳序列，则 称该序列为称该序列为d d阶单整，记为阶单整，记为I(d)I(d)； q平稳序列记为平稳序列记为I(0)I(0)； 一般认为：一般认为： 以不变价表示的流量数据，通常为以不变价表示的流量数据

30、，通常为1阶单整；阶单整； 以不变价表示的存量数据，通常为以不变价表示的存量数据，通常为2阶单整；阶单整； 以现价表示的流量数据，通常为以现价表示的流量数据，通常为2阶单整；阶单整； 利率等形式数据通常为利率等形式数据通常为0阶单整；阶单整； 二、协二、协整整 1 1、长期均衡、长期均衡 经济理论指出经济理论指出，某些经济变量间确实存在着，某些经济变量间确实存在着 长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不长期均衡关系，这种均衡关系意味着经济系统不 存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受存在破坏均衡的内在机制，如果变量在某时期受 到干扰后偏离其长期均衡点，则均衡机制将会在到干扰后偏离其长期

31、均衡点，则均衡机制将会在 下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。下一期进行调整以使其重新回到均衡状态。 ttt XY 10 式中式中: : t t是随机扰动项是随机扰动项。 均衡关系意味着均衡关系意味着: :给定给定X的一个值，的一个值，Y相应的相应的 均衡值也随之确定为均衡值也随之确定为0 0+ + 1 1X。 假设假设X与与Y间的长期间的长期“均衡关系均衡关系”由下式描述：由下式描述： 可见，如果可见，如果Yt= = 0 0+ + 1 1Xt+ + t t正确地提示了正确地提示了X与与Y 间的长期稳定的间的长期稳定的“均衡关系均衡关系”，则意味着，则意味着Y对其对其 均衡点的偏离从本质上说

32、是均衡点的偏离从本质上说是“临时性临时性”的。的。 因此，一个重要的因此，一个重要的假设假设就是就是: :随机扰动项随机扰动项 t t必必 须是平稳序列。须是平稳序列。 显然，如果显然，如果 t t有随机性趋势（上升或下降），有随机性趋势（上升或下降）， 则会导致则会导致Y对其均衡点的任何偏离都会被长期累对其均衡点的任何偏离都会被长期累 积下来而不能被消除。积下来而不能被消除。 ARMA模型中要求经济时间序列是平稳的，但是由于模型中要求经济时间序列是平稳的，但是由于 实际应用中大多数时间序列是非平稳的，通常采用差分方实际应用中大多数时间序列是非平稳的，通常采用差分方 法消除序列中含有的非平稳趋

33、势，使得序列平稳化后建立法消除序列中含有的非平稳趋势，使得序列平稳化后建立 模型，这就是模型，这就是ARIMA模型。模型。但是变换后的序列限制了所讨但是变换后的序列限制了所讨 论经济问题的范围，并且有时变换后的序列由于不具有直论经济问题的范围，并且有时变换后的序列由于不具有直 接的经济意义，使得化为平稳序列后所建立的时间序列模接的经济意义，使得化为平稳序列后所建立的时间序列模 型不便于解释。型不便于解释。 1987年年Engle和和Granger提出的协整理论及其方法，为提出的协整理论及其方法，为 非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经济变量非平稳序列的建模提供了另一种途径。虽然一些经济

34、变量 的本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合却有可能是的本身是非平稳序列，但是，它们的线性组合却有可能是 平稳序列。平稳序列。 2 2、协整的概念、协整的概念 定义：定义：如果两时间序列如果两时间序列Y Yt tI(d)I(d)，X Xt tI(d)I(d)，并，并 且这两个时间序列的线性组合且这两个时间序列的线性组合a a1 1Y Yt t+a+a2 2X Xt t 是是(d-b)(d-b)阶阶 单整的，即单整的，即a a1 1Y Yt t+a+a2 2X Xt tI(d-bI(d-b）（）（db0db0），则），则Y Yt t 和和X Xt t被称为是（被称为是（d, bd, b）阶协整

35、的。）阶协整的。 记为记为Y Yt t, X, Xt tCI(d , bCI(d , b）这里这里CICI是协整的符号。是协整的符号。 构成两变量线性组合的系数向量（构成两变量线性组合的系数向量（a a1 1，a a2 2）称为）称为 “协整向量协整向量”。 由此可见由此可见: :非稳定的时间序列，它们的线性组合非稳定的时间序列，它们的线性组合 也可能成为平稳的。如果两个变量都是单整变也可能成为平稳的。如果两个变量都是单整变 量，只有当它们的量，只有当它们的单整阶数相同时，才可能协单整阶数相同时，才可能协 整；整；如果它们的单整阶数不相同，就不可能协如果它们的单整阶数不相同，就不可能协 整。整

36、。 协整的原因协整的原因是这两个时间序列具有某种共同的是这两个时间序列具有某种共同的 趋势，通过某种线性组合可以将这种共同趋势趋势，通过某种线性组合可以将这种共同趋势 相互抵消。相互抵消。 协整的效果协整的效果是变非平稳为平稳是变非平稳为平稳。 (1) 作为对非平稳变量之间关系的描述，协整向量是作为对非平稳变量之间关系的描述，协整向量是 不惟一的（不惟一的（可有多个可有多个）；）； (2) 协整变量必须具有相同的单整阶数；协整变量必须具有相同的单整阶数； (3) 最多可能存在最多可能存在 k-1个线性无关的协整向量个线性无关的协整向量 ( Y 的维的维 数是数是 k )； (4) 协整变量之间

37、具有共同的趋势成分，在数量上成协整变量之间具有共同的趋势成分，在数量上成 比例比例 。 例：例： Yt = 0+1Xt （1） 其中，其中，YtI(1），），XtI(1）。 当当Yt01Xt = 0时，该关系处于长期均衡状态。时，该关系处于长期均衡状态。 对长期均衡的偏离，称为对长期均衡的偏离，称为“均衡误差均衡误差”，记为，记为 t t ： t t = Yt01Xt 若长期均衡存在，则均衡误差应当围绕均衡值波动。也就若长期均衡存在，则均衡误差应当围绕均衡值波动。也就 是说，均衡误差是说，均衡误差 t t应当是一个应当是一个平稳平稳时间序列，即应有时间序列，即应有 t tI I （0 0）。按

38、照协整的定义，由于）。按照协整的定义，由于Y Yt tI(1I(1），），X Xt tI(1I(1），且线），且线 性组合性组合 t t=Y=Yt t0 01 1X Xt tI(0I(0），我们可以说），我们可以说Y Yt t和和X Xt t是（是（1 1，1 1） 阶协整的，即阶协整的，即Y Yt t，X Xt tCI(1, 1CI(1, 1），协整向量是（），协整向量是（1,1,0 0, , 1 1） 。 综合以上结果，我们可以说，两时间序列之综合以上结果，我们可以说，两时间序列之 间的协整是表示它们之间存在长期均衡关系的另间的协整是表示它们之间存在长期均衡关系的另 一种方式。因此，若一种

39、方式。因此，若Y Yt t和和X Xt t是协整的是协整的, , 并且均衡误并且均衡误 差是平稳的，我们就可以确信，方程将不会产生差是平稳的，我们就可以确信，方程将不会产生 伪回归结果。伪回归结果。 协整检验从检验的对象上可以分为两种：一协整检验从检验的对象上可以分为两种：一 种是基于回归系数的协整检验，如种是基于回归系数的协整检验，如JohansenJohansen 协整检验；另一种是基于回归残差的协整检协整检验；另一种是基于回归残差的协整检 验。验。 本节将主要介绍本节将主要介绍EngleEngle和和GrangerGranger（19871987） 提出的协整检验方法。提出的协整检验方法

40、。 从协整从协整 理论的思想来看，自变量和因变量之间存在理论的思想来看，自变量和因变量之间存在 协整关系。协整关系。 3、协整的检验、协整的检验 为了检验两变量为了检验两变量Y Yt t,X,Xt t是否为协整，是否为协整，EngleEngle和和GrangerGranger于于 19871987年提出两步检验法，也称为年提出两步检验法，也称为EGEG检验。检验。 步骤步骤1 1： 首先用单位根方法求出两变量的单整的阶，然后分首先用单位根方法求出两变量的单整的阶，然后分 情况处理情况处理, 共有三种情况：共有三种情况： （1）若两变量的单整的阶相同，进入下一步；）若两变量的单整的阶相同，进入下

41、一步； （2）若两变量的单整的阶不同，则两变量不是协整的；）若两变量的单整的阶不同，则两变量不是协整的； （3）若两变量是平稳的，则整个检验过程停止，因为）若两变量是平稳的，则整个检验过程停止，因为 你可以采用标准回归技术处理。你可以采用标准回归技术处理。 步骤步骤2 2： 若两变量是同阶单整的，如若两变量是同阶单整的，如I(1)，则用，则用OLS法估法估 计长期均衡方程（称为协整回归）：计长期均衡方程（称为协整回归）： Yt=0+1Xt+ t t 并保存残差并保存残差et，作为均衡误差，作为均衡误差 t t的估计值。的估计值。 应注意的是，虽然估计出的协整向量（应注意的是，虽然估计出的协整向

42、量（1， ， ）是真实协整向量（）是真实协整向量（1，0，1）的）的 一致估计值，一致估计值，这些系数的标准误差估计值则不是一这些系数的标准误差估计值则不是一 致估计值。致估计值。由于这一原因，标准误差估计值通常不由于这一原因，标准误差估计值通常不 在协整回归的结果中提供。在协整回归的结果中提供。 0 1 对于两个协整变量来说，均衡误差必须是平对于两个协整变量来说，均衡误差必须是平 稳的。为检验其平稳性，对上一步保存的均衡误差稳的。为检验其平稳性，对上一步保存的均衡误差 估计值（即协整回归的残差估计值（即协整回归的残差e et t）应用单位根方法。）应用单位根方法。 具体作法是将具体作法是将D

43、ickeyDickeyFullerFuller检验法用于时间序列检验法用于时间序列 e et t，也就是用，也就是用OLSOLS法估计形如下式的方程：法估计形如下式的方程： p j tjtjtt veee 2 1 1 （3） 步骤步骤3 3： 若若et是平稳的，则是平稳的，则Yt与与Xt是协整的是协整的。这是因为。这是因为 若若Yt与与Xt不是协整的，则它们的任一线性组合不是协整的，则它们的任一线性组合 都是非平稳的，因此，残差都是非平稳的，因此，残差et将是非平稳的。将是非平稳的。 换言之，对残差序列换言之，对残差序列et是否具有平稳性的检验，是否具有平稳性的检验， 也就是对也就是对Yt与与

44、Xt是否存在协整的检验。是否存在协整的检验。 注意：注意：DickeyDickeyFullerFuller统计量不适于此检统计量不适于此检 验，附表验，附表6 6提供了用于协整检验的临界值表。提供了用于协整检验的临界值表。 为了描述财政支出和财政收入之间是否存在协整关为了描述财政支出和财政收入之间是否存在协整关 系，本例选择系，本例选择1990年年1月月2007年年12月的月度数据进行月的月度数据进行 实证分析，其中用实证分析，其中用f_ext表示财政支出，表示财政支出，f_int表示财政表示财政 收入。首先利用收入。首先利用X-12季节调整方法对这季节调整方法对这2个指标进行季个指标进行季

45、节调整，去掉季节因素，然后取对数，发现取对数后节调整，去掉季节因素，然后取对数，发现取对数后 呈线性变化。单位根检验发现序列呈线性变化。单位根检验发现序列ln(f_ext)和和ln(f_int) 是非平稳的，一阶差分以后是平稳，即是非平稳的，一阶差分以后是平稳，即 ln(f_ext)和和 ln(f_int)均是均是I(1)序列。序列。 File:5_10 左图是去掉季节因素的财政收入和财政支出的对数图形左图是去掉季节因素的财政收入和财政支出的对数图形 右图是去掉季节因素和不规则因素的财政收入和财政支出的对数图形右图是去掉季节因素和不规则因素的财政收入和财政支出的对数图形 第一步，建立如下回归方

46、程：第一步，建立如下回归方程： 估计后得到估计后得到 t = (760.92) R2 = =0.976 D.W. =1.37 ttt uinfexf)_ln()_ln( ttt uinfexf)_ln(01. 1)_ln( 第二步，对上式的残差进行单位根检验，由回归方第二步，对上式的残差进行单位根检验，由回归方 程估计结果可得程估计结果可得 对对t进行单位根检验，选择无截距项、也无趋势项进行单位根检验，选择无截距项、也无趋势项 的检验模型，由的检验模型，由SIC信息准则确定滞后阶数为信息准则确定滞后阶数为2，其结果，其结果 如下：如下： )_ln(01. 1)_ln( ttt infexfu

47、Eview 7.0可直接进行可直接进行EG两步法协整检验。两步法协整检验。 第四节第四节 误差修正模型误差修正模型 基本思路：基本思路：若变量是协整的，则表明变量间存若变量是协整的，则表明变量间存 在长期的稳定关系，而这种长期的稳定关系是在长期的稳定关系，而这种长期的稳定关系是 在在短期动态过程的不断调整下得以维持短期动态过程的不断调整下得以维持。 这种短期动态的调整过程就是这种短期动态的调整过程就是误差校正机制误差校正机制。 它防止了变量间长期关系的偏差在规模上或数它防止了变量间长期关系的偏差在规模上或数 量上的扩大。量上的扩大。 Engle-GrangerEngle-Granger建议采用下述两步法加估计方程：建