2018-2019学年贵州省遵义市航天高中高二(上)期中数学试卷(文科)

1、2018-2019 学年贵州省遵义市航天高中高二（上）期中数学试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共60.0 分）1.Pabc）到坐标平面xOy的距离是（）点（， ，A.B. |a|C. |b|D. |c|2.过两点A4yB 2-3）的直线的倾斜角为45 y=（）（，），（，则A. -B.C. -1D. 13.直线 3x+4 y=b 与圆 x2+y2-2x-2y+1=0 相切，则 b=（）A. -2或 12B. 2或-12C. -2 或-12D.2或 124. 已知 m，n 为两条不同的直线， ，为两个不同的平面， 则下列命题中正确的是 （A. m? ， n?

2、， m， n? B. ， m? ，n? mnC. m， mn? nD. mn， n? m5. 等差数列 an 中，a1+a4+a7=39 ，a3+a6+a9=27 ，则数列 an 前 9 项的和 S9 等于（A. 99B. 66C. 144D. 2976. 直线（ a+2 ）x+（1-a）y-3=0 与（ a-1）x+（ 2a+3）y+2=0 互相垂直， 则 a 的值为（A. -1B. 1C. 1D.7. 如图，一只蚂蚁在边长分别为34，5的三角形区域内随机，爬行，则其恰在离三个顶点距离都大于1 的地方的概率为（）A.B. 1-C. 1-D. 1-8.一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体

3、的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）第1页，共 19页A.9B.10C.11D.9.已知）是椭圆 C：上的一点，F 1，F 2 是 C 的两个焦点，若，则的取值范围是（）A.B.C.D.10.如图，在正四面体ABCD 中， E为 AB的中点， F为 CD 的中点，则异面直线EF 与 AC 所成的角为（）A.90B.60C. 45D.3011.222上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0 的距离等于1，则半若圆（ x-3） +（ y+5 ） =r径 r 的取值范围是（B.）C. （D.（，A.（，）4，64， ）546225412.已知 P，Q 分别是直线 l：x-y-2=0 和圆 C：x

4、+y =1 上的动点，圆 C 与 x 轴正半轴交于点 A（ 1，0），则 |PA|+|PQ|的最小值为（）A.B. 2C.D.-1二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.若 x，y 满足约束条件，则 z=3x-4y 的最小值为 _14.若曲线与直线始终有两个交点，则的取值范围是 _15.三棱锥 P-ABC 中， PA=AB=BC=2，PB=AC=2 ，PC=2，则三棱锥 P-ABC 的外接球的表面积为 _16. 如图，矩形 ABCD 中， AB=2 AD=4， E 为边 AB 的中点，将 ADE 沿直线 DE 翻转成A1DE，构成四棱锥 A1-BCDE ，若 M 为线段 A1C 的

5、中点，在翻转过程中有如下四个命题： MB平面 A1DE；存在某个位置，使 DE A1C；存在某个位置，使 A1DCE ；点 A1 在半径为 的圆周上运动，其中正确的命题是_第2页，共 19页三、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分）2217.已知圆 x +y =9 内有一点P（ -1， 2）， AB 为过点 P 的弦且倾斜角为（ 1）若 =135，求弦 AB 的长；（ 2）当弦 AB 被点 P 平分时，求出直线AB 的方程18. 在等差数列 an 中， a1 =3，其前 n 项和为 Sn，等比数列 bn 的各项均为正数， b1=1，公比为 q，且 b2+S2=12，（ 1）求 an 与 b

6、n；（ 2）设数列 cn 满足，求 cn 的前 n 项和 Tn19. 已知正方体 ABCD -A1B1C1D 1 的棱长为 a，M、N 分别为 A1B 和 AC 上的点， A1M=AN= a，如图（ 1）求证： MN 面 BB1C1C；（ 2）求 MN 的长第3页，共 19页20. 在 ABC 中， D 为 BC 上一点， AD =CD ， BA=7 ，BC=8（ 1）若 B=60，求 ABC 外接圆的半径 R；（ 2）设 CAB =ACB=，若，求 ABC 面积21. ABCD 为直角梯形， DAB =ABC=90 ，AB=BC=a，AD =2a，PA平面 ABCD ，PA=a，（ 1）求证

7、： CD 平面 PAC；（ 2）求点 C 到平面 PBD 的距离2 222. 已知点 P（2， 2），圆 C： x + y -8y=0，过点 P 的动直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点，线段 AB 的中点为 M， O 为坐标原点（ 1）求 M 的轨迹方程；（ 2）当 |OP|=|OM|时，求 l 的方程及 POM 的面积第4页，共 19页第5页，共 19页答案和解析1.【答案】 D【解析】解：点P 在 XOY 平面的投影点的坐 标是 P（a，b，0），22222所以 |PP|（）（）（）=c，= a-a + b-b+ c-0点 P（a，b，c）到坐标平面 xOy 的距离是 |c|，故选：

8、D先求出点 P 在 XOY 平面的投影点的坐 标，然后利用空间任意两点的距离公式进行求解即可本题主要考查了空间一点点到平面的距离，同 时考查了计算能力，属于基础题2.【答案】 C【解析】经过线为k=解：两点 A （4，y），B（2，-3）的直 的斜率又直线的倾斜角为 45， =tan45 =1，即 y=-1故选：C由两点坐 标求出直 线的斜率，再由斜率等于 倾斜角的正切 值列式求得y 的值 本题考查直线的倾斜角，考查了直线倾斜角与斜率的关系，是基 础题3.【答案】 D【解析】圆x2 2，化为标准方程为（22，解：由+y -2x-2y+1=0） （）x-1+ y-1=1圆标为为 心坐（1，1），

9、半径 1，直线 3x+4y=b 与圆 x 2+y2-2x-2y+1=0 相切，圆心（1，1）到直线 3x+4y-b=0 的距离等于 圆的半径，即，解得：b=2 或 b=12故选：D第6页，共 19页化圆的一般式方程 为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b 值 本题考查圆的切线方程，考查了点到直 线的距离公式的 应用，是基础题4.【答案】 D【解析】解：在长方体 ABCD-A 1B1C1D1 中，A 、若平面 AC 是平面 ，平面 BC1 是平面 ，直线 AD 是直线 m，点E，F 分别是 AB ，CD 的中点，则 EFAD ，EF 是直线 n，显然满足 ，m?

10、，n? ，但是 m 与 n 异面；B、若平面 AC 是平面 ，平面 A 1C1 是平面 ，直线 AD 是直线 m，A 1B1 是直线 n，显然满足 m? ，n? ，m，n，但是 与 相交；C、若平面 AC 是平面 ，直线 AD 是直线 n，AA 1 是直线 m，显然满足 m，mn，但是 n；故选：D根据 m，n 为两条不同的直 线，为两个不同的平面，可得 该直线与直线可以平行，相交或异面，平面与平面平行或相交，把平面和直线放在长方体中，逐个排除易 寻到答案此题是个基础题考查直线与平面的位置关系，属于探究性的 题目，要求学生对基础知识掌握必须扎实并能灵活 应用，解决此题问题，可以把图形放入长方体

11、中分析，体现了数形结合的思想和分 类讨论的思想5.【答案】 A【解析】解：由等差数列的性质可得 a1+a7=2a4，a3+a9=2a6，又 a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，第7页，共 19页a1+a4+a7=3a4=39，a3+a6+a9=3a6=27，a4=13，a6=9，a4+a6=22，数列 an 前 9 项的和 S9=99故选：A由等差数列的性 质可得 a4=13，a6=9，可得 a4+a6=22，再由等差数列的求和公式和性质可得 S9=，代值计算可得本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题6.【答案】 C【解析】解：由题意，直线（a+2）x+（1-a）y-3=0 与

12、（a-1）x+（2a+3）y+2=0 互相垂直（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0（a-1）（a+2-2a-3）=0（a-1）（a+1）=0a=1，或a=-1故选：C根据两条直 线垂直的充要条件可得：（a+2）（a-1）+（1-a）（2a+3）=0，从而可求 a的值本题以直线为载体，考查两条直线的垂直关系，解题的关键是利用两条直 线垂直的充要条件7.【答案】 D【解析】【分析】本题考查几何概型概率公式、 对立事件概率公式、三角形的面 积公式、扇形的面积公式求出三角形的面 积；再求出据三角形的三顶点距离小于等于1 的区域 为三个扇形，三个扇形的和是半 圆 ，求出半圆 的面积 ；利用对

13、理事件的概率公式及几何概型概率公式求出恰在离三个顶点距离都大于 1 的地方的概率【解答】解：三角形 ABC 的面积为第8页，共 19页离三个顶点距离都不大于1 的地方的面 积为所以其恰在离三个 顶点距离都大于 1 的地方的概率 为P=1-故选 D8.【答案】 C【解析】【分析】本题考查了空间几何体的性 质，求解体积，关键是求解底面 积，高，运用体积公式，属于基础题根据得出 该几何体是在底面 为边长是 2 的正方形、高是 3 的直四棱柱的基 础上，截去一个底面积为21=1、高为 3 的三棱锥形成的，运用直棱柱减去三棱锥即可得出答案【解答】解：由三视图可知该几何体是在底面 为边长是 2 的正方形、

14、高是 3 的直四棱柱的基础上，截去一个底面积为为3 的三棱锥形成的，V 三棱锥=1，21=1、高所以 V=43-1=11故选：C9.【答案】 A【解析】【分析】本题考查了椭圆的方程、性质，向量的数量积的运算，属于中档题设以 O 为原点、半焦距 c=为半径的圆 x2+y2=3 与椭圆交于 A ，B 两点；由，x=可得的取值范围是（）【解答】解：如图，第9页，共 19页设以 O 为原点、半焦距 c=为半径的圆 x2+y2=3 与椭圆交于 A ，B 两点；由得，x=要使则点 P在 A、B之间， 的取值范围是（）故选：A10.【答案】 C【解析】【分析】本题主要考查了正四面体中 线线位置关系，以及异面

15、直 线所成角的求法，综合考查了学生的 识图能力，作图能力，以及空间想象力根据正四面体的性 质，每条棱都相等，相对的棱互相垂直，可借助中位 线，平移直线 AC，得到异面直线 EF 与 AC 所成的角，再放入直角三角形中，即可求得【解答】解：取BC 的中点 G，连接 EG，FG，E，G 分别为 AB ，BC 的中点，EGAC ，FGBD ，EG=，FG=FEG 为异面直线 EF 与 AC 所成的角第10 页，共 19页四面体 ABCD 为正四面体，AC=BD ，EG=FG过点 A 作 AO 平面 BCD ，垂足为 O，则 O 为 BCD 的重心，AO BDCOBD ，AO CO=OBD 平面 AO

16、CAC? 平面 AOCBD ACEGAC，FGBDEGFG在 RtEGF 中，EGF=90，且EG=FGFEG=45故选：C11.【答案】 A【解析】【分析】本题考查圆直线与圆的位置关系，点到直 线的距离公式，考 查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，属于中档 题求出圆线4x-3y=2 的距离等于 5，由|5-r| 1，能求出半径 r 的心 P（3，-5）到直取值范围【解答】圆线4x-3y=2 的距离等于=5，解：心 P（3，-5）到直由 |5-r|1，解得 4 r6，半径 r 的取值范围是（4，6）故选：A12.【答案】 C【解析】解：如图，圆 C：x 2+y2=

17、1 的圆心 O（0，0），半径r=1，设 A （1，0）关于l ：x-y-2=0 的对称点为 B（a，b），则，解得：，即 B（2，-1），第11 页，共 19页连接 BO，交直线 l ：x-y-2=0 与 P，则 |PA|+|PQ|的最小值为 |BO|-r=故选：C由题意画出图形，求出 A 关于直线 l 的对称点 B 的坐标，再求出 B 到圆心的距离，则答案可求本题考查直线与圆的位置关系，考查了数形结合的解题思想方法和数学 转化思想方法，是中档题13.【答案】 -1【解析】解：由z=3x-4y，得 y= x- ，作出不等式对应的可行域（阴影部分），平移直线 y=x-，由平移可知当直线 y=x

18、-，经过点 B（1，1）时，直线 y=x-的截距最大，此时z 取得最小 值，将 B 的坐标代入 z=3x-4y=3-4=-1，即目标函数 z=3x-4y 的最小 值为 -1故答案为：-1作出不等式 组对应的平面区域，利用目 标函数的几何意 义，求目标函数z=3x-4y 的最小值本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意 义，结合数形结合的数学思想是解决此 类问题的基本方法14.【答案】 1，）【解析】【分析】本题考查直线与圆的位置关系的 应用，考查数形结合的解题思想方法，属于基础题由曲线 y=，得到此曲线的图象为一个半圆，由圆心到直线距离等于半第12 页，共 19页径求得直 线与半圆相切

19、时的 b 值，数形结合得答案【解答】解：由y=，得x2+y2=1（y0），表示半圆，图象如图所示，当直线与半圆相切时 圆线y=x+b 的距离 d=， 心（0，0）到直解得 b=，b=-（舍去），由图可知，当曲线y=与直线 y=x+b 有两个交点 时，b 的取值范围是：1，）故答案为1，）15.【答案】 12【解析】【分析】可得 PAC 是直角三角形 PBC 是直角三角形可得三棱 锥 P-ABC 的外接球的球心、半径，即可求出三棱 锥 P-ABC 的外接球的表面 积本题考查了三棱锥 P-ABC 的外接球的表面 积，考查学生的计算能力，确定三棱锥 P-ABC 的外接球的球心、半径是关 键属于中档题

20、 【解答】解：AP=2，AC=2，PC=2，AP2+AC2=PC2.PAC 是以为直角的直角三角形 .PB=2 ，BC=2，PC=2，,PBC 是以为直角的直角三角形取 PC 中点 O，则有 OP=OC=OA=OB=，O 为三棱锥 P-ABC 的外接球的球心，半径 为 三棱 锥 P-ABC 的外接球的表面积为2=124R故答案为：12.第13 页，共 19页16.【答案】 【解析】解：取CD 中点 F，连接 MF，BF，则 MF DA ，BFDE，1平面 MBF 平面 A 1DE，MB 平面 A 1DE，故 正确；若存在某个位置，使 DEA 1C，由 CE=DE=2 ，CD=4，可得 CEDE

21、，则 DE平面 A 1CE，即DEA 1C，显然不正确，故 不正确由 CEDE，可得平面 A 1DE平面 ABCD 时，A 1DCE，故 正确DE 的中点 O 是定点，OA 1=，A 1是在以 O为圆心，为半径的圆上，故正确，故答案为：取 CD 中点 F，连接 MF ，BF，运用面面平行的性 质 定理，可判断 ；若存在某个位置，使 DEA 1C，运用线面垂直的判断和性 质，即可判断 ；运用面面垂直的性质DE 的中点 O 是定点，OA1= ，即定理，即可判断 ；可判断 第14 页，共 19页本题以命题的真假判断与 应用为载体，考查了线面、面面平行与垂直的判定和性质定理，难度中档17.【答案】 解

22、：（ 1）设 A（ x1， y1）， B（ x2， y2），AB 为过点 P 的弦且倾斜角为 =135，依题意：直线AB 的斜率为 -1，直线 AB 的方程为x+y-1=0 ，圆心 (0,0)到直线 AB 的距离，则弦 AB 的长为.（ 2）设直线 AB 的斜率为 k则直线 AB 的方程为 y-2= k（ x+1）； P 为 AB 的中点， OPAB，由斜率公式，得直线OP 斜率为，则 -2k=-1 ，解得，直线 AB 的方程为： x-2y+5=0 【解析】（1）设 A （x1，y1），B（x2，y2），由直线 AB 的斜率为-1，得到直线 AB 的方程为x+y-1=0 ，求出圆心到直 线的距

23、离，运用弦长公式，能求出 AB 的长 （2）设直线 AB 的斜率为 k，则直线 AB 的方程为 y-2=k （x+1），由P 为 AB 的中点，得 OPAB ，由斜率公式，求出直线 OP 斜率为-2，从而-2k=-1，由此求出，由此能求出直 线 AB 的方程本题考查弦长的求法，考查直线方程的求法，考查圆、直线方程、点到直线距离公式、弦长公式等基 础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档 题18.【答案】 解：（ 1）设 an 的公差为 d，由 b2+S2=12 ，得，解得 q=3 或 q=-4 （舍）， d=3故 an=3+3 （ n-1） =3n，；

24、（2），第15 页，共 19页故=【解析】（1）由已知列关于 q，d 的方程组，求解后代入等差数列与等比数列的通 项公式得答案；（2）写出等差数列的前 n 项和，再由裂项相消法求 c n 的前 n 项和 Tn本题考查数列递推式，考查了裂项相消法求数列的前n 项和，是中档题19.【答案】 证明： 正方体棱长为a，建立 D-xyz 坐标系，如图，因为 A1M=AN=a，M（ a， a， a）， N（ a， a， 0），所以=（ - a， 0， - a），又 =（ 0， a， 0）是平面B1BCC1 的法向量，且=0，MN 平面 B1BCC1（ 2） =（ - a， 0， - a），MN =a【解析

25、】1）由于CD平面 B1BCC1，所以是平面 B1BCC1的法向量，因此只需 证（明向量间直角坐标系，得到所需向量的坐标过数量积=0，建立空，通证明 MN 所在的向量与面BB 1C1C 的法向量垂直；第16 页，共 19页（2）由（1）得到的坐标过长度，通 求其模求 MN 的本题考查线面平行的判定以及 线段长度，在正方体为载体的几何 证明中，通常建立空 间直角坐标系，通过向量的运算 证明线面关系等20.【答案】 解：（ 1）由余弦定理AC2=BA2+BC2-2BA ?BC?cosB=57 ，解得；又，解得；ABC 外接圆的半径R 为； （ 5 分）（ 2）由 AD=CD，所以 DCA=DAC

26、，所以 =CAB-ACB=BAD ；由，得；设 BD=x，则 DC =8-x， DA=8- x，在ABD 中，由余弦定理得，解得 x=3 ；所以 BD=3 ，DA=5 ；由正弦定理，即，解得；所以，即 ABC 的面积为10 （ 10 分）【解析】（1）利用余弦定理求出 AC 的值，再由正弦定理求得三角形外接 圆的半径；（2）由题意，利用正弦、余弦定理求得 ABC 的正弦值，再计算ABC 的面积 本题考查了解三角形的应用问题查应用问题，是，也考 了正弦、余弦定理的基础题1AD中点为E，连接CE，21.【答案】 证明：（ ）取则 ABCE 为正方形，DE =a， CE=a，CD=AC=2，22，即 AC CD，又 AD =2a，ACD 中有 AC +CD =AD第17 页，共 19页PA平面 ABCD ，CD? 平面 ABCD ，PACD ，又 AC PA=A，CD 平面 PAC解：（ 2）设点