2018-2019学年福建省宁德市部分一级达标中学高二(下)期中数学试卷(文科)

1、2018-2019 学年福建省宁德市部分一级达标中学高二（下）期中数学试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12 小题，共 60.0 分）1.在极坐标系中，点与的位置关系是（）A. 关于极轴所在直线对称B. 关于极点对称C. 重合D. 关于直线对称i2.欧拉公式e =cos +isin （ e 为自然对数的底数，i 为虚数单位）是瑞士著名数学家i欧拉发明的， e +1=0 是英国科学期刊物理世界评选出的十大最伟大的公式之一根据欧拉公式可知，复数的虚部为（）A.B.C.D.3. 用反证法证明命题“设 a， b， c 为实数，满足 a+b+c=3，则 a， b， c 至少有一个数

2、不小于 1”时，要做的假设是（）A. a， b， c 都小于 2B. a， b， c 都小于 1C. a， b， c 至少有一个小于 2D. a， b， c 至少有一个小于 14.函数 f （ x） =（ 2ex） 2+sinx 的导数是（）A. f（ x） =4ex+cosxB. f（ x） =4ex-cosxC. f（ x） =8e2x+cosxD. f（ x） =8e2x-cosx5.已知， ，依此规律，若，则 a+2b 的值分别是（）A. 79B. 81C. 100D. 986.曲线2 f2（）在点（ ，（ ）处的切线与坐标轴围成的三角面积为A. 6B.C. 3D. 127.函数fx=

3、3+ xlnx的单调递减区间是（）（ ）A. （ ， e）B. （0， ）C. （-， ）D. （ ，+）8. 2018 年 4 月，中国诗词大会第三季总决赛如期举行，依据规则，本场比赛共有甲、乙、丙、丁、戊五位选手有机会问鼎冠军，某家庭中三名诗词爱好者依据选手在之前比赛中的表现，结合自己的判断，对本场比赛的冠军进行了如下猜测：爸爸：冠军是甲或丙；妈妈：冠军一定不是乙和丙；孩子：冠军是丁或戊比赛结束后发现：三人中只有一个人的猜测是对的，那么冠军是（）A.甲B.丁或戊C.乙D.丙9.函数 y=的大致图象是（）第1页，共 14页A.B.C.D.10.用长为 30cm 的钢条围成一个长方体形状的框架

4、（即12 条棱长总和为30cm），要求长方体的长与宽之比为3： 2，则该长方体最大体积是（）A. 24B.15C. 12D. 611.若 x1 x2 1，则（）A.B.C. x2lnx1 x1lnx2D. x2lnx1 x1lnx212.对 ? x0，不等式 lnx恒成立，则实数a 的取值范围为（）A. （）B. （C. （ -， 2-e）D. （ -， 2-e二、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分）13.z= m-1 +m+2ix+y+1=0上，则实数m的值是_若复数 （）（） 对应的点在直线14.在极坐标系中，已知两点，AB两点间的距离为_，则，15.ABC的边长为a，PABC内的任

5、意一点，且P到三边AB、BC、CA的设等边 是 距离分别为d1、d2、d3，则有 d1+d2+d3 为定值；由以上平面图形的特性类比空间图形：设正四面体ABCD 的棱长为3，P 是正四面体 ABCD 内的任意一点，且P 到四个面 ABC 、 ABD、 ACD、 BCD 的距离分别为 d1、 d2、 d3、 d4，则有 d1+d2+d3+d4为定值 _16.已知函数，其中e是自然对数的底数若fa +f a2（ ） （-2） 0，则实数 a 的取值范围是 _三、解答题（本大题共6 小题，共 70.0 分）17.在极坐标系下，已知圆C： =cos +sin l：x-y+2=0，和直线（ ）求圆 C

6、的直角坐标方程和直线l 的极坐标方程；（ ）求圆 C 上的点到直线l 的最短距离第2页，共 14页22） i 是纯虚数，求m 的值；18. （ ）已知 mR，复数 z=（ m -4m-5） +（ m -2m-15（ ）已知复数 z 满足方程 z+（ z-2） i=0，求 及|的值319.设函数 f（ x） =x -6x+5， xR（ ）求 f（ x）的单调区间和极值；（ ）若关于x 的方程 f（ x） =a 有 3 个不同实根，求实数a 的取值范围20.已知函数，（ ）分别求f（0） +f（ 1）， f（ -1） +f（ 2）， f（ -2） +f（ 3）的值；（ ）由上题归纳出一个一般性结论

7、，并给出证明21. 已知函数 f（ x） =lnx， g（ x） =a（ x2-x）（ a0， aR）， h（ x） =f（ x） -g（ x）（ ）若 a=1，求函数 h（ x）的极值；（ ）若函数y=h（ x）在 1， +）上单调递减，求实数a 的取值范围22. 设函数 f（ x） =ex-ax-2（ ）求 f（ x）的单调区间；（ ）若 a=1，k 为整数，且当 x 0 时，（ x-k）f（ x）+x+1 0，求 k 的最大值第3页，共 14页第4页，共 14页答案和解析1.【答案】 A【解析】解：在极坐标系中，点与如图，则点与的位置关系是关于极 轴所在直线对称故选：A在极坐标系中画出两

8、点得答案本题考查极坐标系中点的极坐 标，是基础题2.【答案】 B【解析】i 解：根据欧拉公式 e =cos +isin，可得，=，的虚部为：故选：B利用欧拉公式直接求解即可本题考查了欧拉公式和三角函数求值，属基础题3.【答案】 B【解析】解：a，b，c 至少有一个数不小于1 的对立面就是 a，b，c 三个都小于 1故选：B根据 “至少有一个 ”的对立面为“一个也没有 “可得本题考查了反证法，属基础题4.【答案】 C【解析】第5页，共 14页222解：根据题意，f （）x=（2ex）+sinx=4e x +sinx，导f （x222其数）=（4ex）+（sinx）=8ex+cosx，故选：C根据

9、题导计算公式计算即可得答案意，由 数的本题考查导数的计键导数的计算公式，属于基础题算，关 是掌握【答案】 D5.【解析】解：由， ，依此规律=n，n2，则，可得 b=9，a=92-1=80，故 a+2b=80+18=98，故选：D仔细观察已知等式的数字可 发现：=n，n2，根据此规律解题即可本题是一道找 规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题6.【答案】 A【解析】解：f（x）=-x 2+1 的导数为 f （2）=-3，f（2）=0可得在点点（2，0）处的切线斜率为：-3，即有切线的方程为 y=-3（x-2）分别令 x=0，y=6 可得 y，x 轴上

10、的截距 为 6，2即有围成的三角形的面 积为： 62=6故选：A求出函数的 导数，可得切线的斜率，可得切线的方程，求得 x，y 轴的截距，运用三角形的面 积公式，计算即可得到所求 值第6页，共 14页本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意 义，以及直线方程的运用，正确求导是解题的关键，属于基础题7.【答案】 B【解析】解：f （x）=lnx+1 ，令 f （x）0，解得：0 x ，故选：B先求出函数的 导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的 递减区间本题考查了函数的 单调性问题，考查导数的应用，是一道基础题8.【答案】 D【解析】解：假设爸爸的猜 测是对的，则冠军是丙；假设妈妈

11、的猜测是对的，不合题意；假设孩子的猜 测是对的，则妈妈的猜测也对，不合题意故选：D分别假设三个人的猜 测是对的，另外两个的猜测是错的，分析可得本题考查了简单的合情推理，属中档 题9.【答案】 C【解析】解：函数y=的导数为，令 y=0，得x=，时，y0，时，y0，时，y0函数在（-），（递递） 减，在（） 增且 x=0 时，y=0，故选：C第7页，共 14页利用导数求出单调区间，及 x=0 时，y=0，即可求解本题考查函数图象问题，函数的导数的应用，考查计算能力属于中档题，10.【答案】 B【解析】解：设该长方体的宽是 x 米，由题意知，其长是米，高是=米，（0x3）则该长方体的体 积 V （

12、x）=x?x?（）=-x3+x2，V（x）=-+，由 V（x）=0，得到x=2，且当 0x2 时，V（x ）0；当 2x3 时，V（x）0，即体积函数 V （x）在x=2 处取得极大 值 V （2）=15，也是函数 V （x）在定义域上的最大 值 所以该长方体体积最大值是 15故选：B根据题意知，长方体的所有棱 长和是 30m，故可设出宽，用宽表示出长和高，将体积表示成宽的函数，用导数来求其最大 值即可本小题主要考查长方体的体 积及用导数求函数最 值等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及推理 论证能力和运算求解能力，是中档 题11.【答案】 A【解析】解： 令 f（x）=则 0，（x1），

13、 f（x ）=f（x ）在（1，+）上单调递 增，当 x1x2 1 时，即，故A 正确 令 g（x）=则g（x）=，（x1），令 g（x）=0，则 x=e，当 1xe 时，g（x ）0；当xe 时，g（x）0第8页，共 14页g（x ）在（1，e）上单调递 增，在（e，+）上单调递 减，易知 C，D 不正确，故选：A构造函数 f（x）=（x 1）和g（x）=（x 1）然后根据f （x）和g（x）的单调性即可比较大小本题考查了利用函数的 单调性比较大小，关键是构造函数，属基础题12.【答案】 B【解析】解：由lnx 2（x0）恒成立可得 axlnx+ex-2x （x 0）恒成立，令 f（x）=x

14、lnx+ex 2-2x（x0），则 f （x ）=lnx+2ex-1，显然 f （x）在（0，+）上单调递增，又 f （ ）=-1+2-1=0，当 0 x时，f （x）0，当x时，f （x）0，当 x=时，f值f（ ）=-（x）取得最小a- 故选：B类2导侧单调分参数得出axlnx+ex-2x数判断右函数的性，求出其最小，利用值即可得出 a 的范围本题考查了导数与函数 单调性的关系，函数恒成立与函数最 值的计算，属于中档题13.【答案】 -1【解析】解：复数 z=（m-1）+（m+2）i对应的点在直 线 x+y+1=0 上，（m-1）+（m+2）+1=0，解得 m=-1故答案为：-1直接把 z

15、 的坐标代入直 线 x+y+1=0 求解实数 m 的值 第9页，共 14页本题考查复数代数形式的乘除运算，考 查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题14.【答案】 5【解析】解：由两点，得 A ，B 两点的直角坐 标分别为 A （ ，），B（，-2），由两点间的距离公式得：|AB|=故答案为：5化 A ，B 的极坐标为直角坐标，再由两点间的距离公式求解本题考查点的极坐 标化直角坐 标，考查两点间距离公式的 应用，是基础题15.【答案】【解析】设为则BO= =解： 底面三角形 BCD 的中心O，锥=，故棱 的高 AO=正四面体的体 积 V=又V=VP-ABC +VP-ABD +VP-ACD+V

16、 P-BCD =），（d1+d2+d3+d4d1+d2+d3+d4=故答案为：根据棱锥的体积不变即可求出答案本题考查了棱锥的体积计算，棱锥的结构特征，属于中档题16.【答案】 （ -2， 1）【解析】解：函数，则 f（-x）=-f（x），函数 f（x）在R 上为奇函数f （x）=9x2x20-2+e +9x-2+2 第10 页，共 14页函数 f（x）在R 上单调递增f（a）+f （a2-2）0，f（a2-2）-f （a）=f（-a），a2-2 -a，交点 -2a1则实数 a的取值范围是（-2，1）故答案为：（-2，1）函数，先判断其奇偶性，利用导数研究函数的 单调性即可解出本题考查了利用导数

17、研究函数的 单调性，方程与不等式的解法、函数的奇偶性，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题17.【答案】 解：（ ）圆 C： =cos +sin， 2即 = cos +，sin 圆 C 的直角坐标方程为：即 x2+y2-x-y=0；直线 l： x-y+2=0 ，则直线 l 的极坐标方程为x2+y2=x+y， cos-sin +2=0（ ）由圆 C 的直角坐标方程为x2+y2-x-y=0 可知圆心 C 坐标为，圆心 C 到直线的距离为，因此圆 C 上的点到直线l 的最短距离为 【解析】（）直接利用转换关系求出 结果（）利用点到直线的距离的公式的 应用求出结果本题考查的知识要点：参数方程极坐标方

18、程和直角坐 标方程之间的转换，点到直线的距离公式的 应用，主要考察学生的运算能力和 转换 能力，属于基础题型18.【答案】 解：（ ） z 为纯虚数，第11 页，共 14页m=-1；（），【解析】（）根据z 为纯虚数，得 z 的实部为零，虚部不为零，建立方程即可；（）根据方程求出z，然后求出 z 的共轭复数和即可本题考查了复数的模和复数的运算，属基 础题19.【答案】 解：（ ）当，f（x）的单调递增区间是，单调递减区间是当；当（ ）由（ ）的分析可知y=f（x）图象的大致形状及走向，当的图象有 3 个不同交点，即方程 f（ x）=有三解【解析】（）首先求出函数的导数，然后根据导数与单调区间的

19、关系确定函数的 单调区间，（）由（）的分析可y=f知（x）图象的大致形状及走向，可知函数 图象的变化情况，可知方程 f （x）=a有 3 个不同实根，求得实数 a 的值考查利用导数研究函数的 单调性和图象，体现了数形结合的思想方法本题是一道含参数的函数、 导数与方程的 综合题，需要对参数进行分类讨论属中档题20.【答案】 解：（ ）；同理；（ ）由此猜想：当x1+x2=1 时，证明：设x1+x2=1，则第12 页，共 14页，故猜想成立【解析】（）利用条件，求f（0）+f（1），f（-1）+f（2），f（-2）+f（3），（）归纳猜想一般性 结论，利用指数的性质给出证明本题考查归纳推理，考查学

20、生分析解决 问题的能力，正确归纳猜想是关 键21.【答案】 解：（ ）根据题意可知y=h（ x）的定义域为（0， +），故当 x（ 0， 1）时， h（x） 0，故 h（ x）单调递增；当 x（ 1，+）时， h（ x） 0，故 h（ x）单调递减，所以当 x=1 时， h（ x）取得极大值 h（ 1）=0，无极小值（ ）由 h（ x） =lnx-a（ x2-x）得，若函数 y=h（ x）在 1，+）上单调递减，此问题可转化为对 x1恒成立；，只需，当 x1时， 2x2-x1，则，故 a1，即 a 的取值范围为 1，+）【解析】（）根据题意可知 y=h（x）的定义域为（0，+），可得其单调性与

21、极值h（x）=lnx-a（x2-x）得，若函数 y=h（x）在1（）由，+）上单调递减，此问题可转化为对 x1恒成立；，只需，即可得出范围本题考查了利用导数研究函数的 单调性极值与最值，方程与不等式的解法、分类讨论方法、等价转化方法，考查了推理能力与 计算能力，属于难题22.【答案】 解：（ I）函数 f（ x） =ex-ax-2 的定义域是R， f（ x） =ex-a，若 a0，则 f（ x） =ex-a0，所以函数f（ x） =ex-ax-2 在（ -， +）上单调递增x若 a 0，则当 x（ -， lna）时， f（ x） =e -a 0；第13 页，共 14页x当 x（ lna，+）时， f（ x） =e -a 0；所以， f（ x）在（ -， ln a）单调递减，在（l