框架结构在水平荷载下的计算反弯点法和D值法

1、1 框架所承受 的水平荷载主要 是风荷载和水平 地震作用，它们 都可以转化成作 用在框架节点上 的集中力。 (一)水平荷载作用下框架结构的受力特点 一、反弯点法 2 一、反弯点法 (一)水平荷载作用下框架结构的受力特点 水平荷载作用下框架的弯矩图 1.各杆件的弯矩图 均为直线，一般情 况下每根杆件都有 一个弯矩为零的点， 称为反弯点； 2.所有杆件的最 大弯矩均在杆件两 端。 3 如果在反弯点处将柱 子切开，切断点处的内力 将只有剪力和轴力。 由此可见，反弯点法的关键是反弯点的位置 确定和柱子抗推刚度的确定。 如果知道反弯点的位置 和柱子的抗侧移刚度，即 可求得各柱的剪力，从而 求得框架各杆件

2、的内力， 反弯点法即由此而来。 4 .反弯点法的假定及适用范围 假定框架横梁抗弯刚度为无穷大。 如果框架横梁刚度为无穷大，在水平力的作用 下，框架节点将只有侧移而没有转角。实际上，框 架横梁刚度不会是无穷大，在水平力下，节点既有 侧移又有转角。但是，当梁、柱的线刚度之比大于 3时，柱子端部的转角就很小，此时忽略节点转角 的存在，对框架内力计算影响不大。 由此也可以看出，反弯点法是有一定的适用范 围的，即框架梁、柱的线刚度之比应不小于3。 5 水平荷载作用下框 架的变形情况： 当梁刚度无限 大时，水平荷载作 用下框架的变形情 况：节点转角为0， 各节点水平位移相 同。 6 假定底层柱子的反弯点位

3、于柱子高度的2/3 处，其余各层柱的反弯点位于柱中。 当柱子端部转角为零时，反弯点的位置应该 位于柱子高度的中间。而实际结构中，尽管梁、 柱的线刚度之比大于3，在水平力的作用下，节点 仍然存在转角，那么反弯点的位置就不在柱子中 间。尤其是底层柱子，由于柱子下端为嵌固，无 转角，当上端有转角时，反弯点必然向上移，故 底层柱子的反弯点取在2/3处。上部各层，当节点 转角接近时，柱子反弯点基本在柱子中间。 7 .反弯点高度的确定 反弯点高度y的定义为反弯点至柱下端的距离。 2 2 3 h y h 上部各层柱 底层柱 h层高 8 .柱子的抗侧移（抗推）刚度d 柱子的抗侧移刚度：物理意义表示柱端产生相

4、对单位位移时，在柱子内产生的剪力。 柱子端部无转角时，柱子的抗侧移刚度： 2 12 h i d c c i h 柱子的线刚度； 柱子的层高。 9 .同层各柱剪力的 确定 1 jk jkjm jk k d VV d jk V jk d 第j层第k柱所承受的层间剪力； 第j层第k柱子的抗侧刚度； 水平力在第j层产生的层间剪力； j V m 第j层的柱子数。 10 .同层各柱剪力的确定 1 jk jkjm jk k i VV i 一般，当同层各柱的高度相等时， 由 jk i柱子的线刚度 2 12 h i d c 有 11 1 11 1 11 3 2 3 t ckk b ckk h MV h MV .

5、柱端弯矩 求得各柱子所承受的剪力以后，由假定(2)便可 求得各柱的杆端弯矩。 对底层柱 上部各层柱，上 下柱端弯矩相等 2 jtb cjkcjkjk h MMV j h第j层柱高 cjk表示第j层第k号柱，t(top)、b(bottom)分别表示柱 的顶端和底端。 12 bc MM .梁端弯矩 梁端弯矩按节点平衡及线刚度比得到。 （）边节点 12bcc MMM 一般边节点： 顶部边节点： 13 .梁端弯矩 （）中节点：按线刚度比 进行分配。 14 .梁内剪力 15 .柱内轴向力 自上而下逐层 叠加节点左右的 梁端剪力。 16 1、计算柱子的抗侧刚度； 2、将层间剪力在柱子中进行分配，求得 各柱

6、剪力值； 3、按反弯点高度计算柱子端部弯矩； 4、利用节点平衡计算梁端弯矩，进而求 得梁端剪力； 5、计算柱子的轴力。 反弯点法的主要计算步骤： 17 例题：用反弯点 法计算右图所示 框架的弯矩，并 绘出弯矩图。图 中圆括号内的数 字为杆件的相对 线刚度。 18 解：作三个截面通过各柱的反弯点（一般层反反弯 点高度为1/2柱高，首层为2/3柱高），如图所示： 19 由于框架同层各柱高h相等，可直接用杆件线刚度 的相对值计算各柱的分配系数。 （1）柱的剪力 三层： 20 二层 21 首层 22 （2）柱端弯矩 三 层 23 （2）柱端弯矩 二 层 24 （2）柱端弯矩 首 层 其余计算从略。 2

7、5 （3）梁端弯矩 其余计算从略。 16 26 (4) 弯 矩 图 27 用反弯点法求下图框架的弯矩图。图中括号内的数用反弯点法求下图框架的弯矩图。图中括号内的数 值为该杆的线刚度比值值为该杆的线刚度比值。 2.7m8.1m 3.3m 3.3m 3.9m 37kN 74kN 80.7kN A B C D E F G H I J K M (0.6) (0.7) (0.7) (0.8) (0.9) (0.6) (0.8) (0.9) (0.9) (2.4)(1.2) (1.7)(1.0) (1.5)(0.8) 28 解：由于框架同层各柱解：由于框架同层各柱 h 相等，可直接用杆件线刚度的相对值计算

8、各柱的相等，可直接用杆件线刚度的相对值计算各柱的 分配系数分配系数。 （1）求各柱剪力分配系数）求各柱剪力分配系数： 顶层： 409. 0 9 . 06 . 07 . 0 9 . 0 273. 0 9 . 06 . 07 . 0 6 . 0 318. 0 9 . 06 . 07 . 0 7 . 0 MK HG DC 二层： 360. 0 9 . 09 . 07 . 0 9 . 0 280. 0 9 . 09 . 07 . 0 7 . 0 KJGF CB A B C D E F G H I J K M (0.7)(0.6)(0.9) (0.7)(0.9)(0.9) (0.6)(0.8)(0.8)

9、 29 364. 0 8 . 08 . 06 . 0 8 . 0 272. 0 8 . 08 . 06 . 0 6 . 0 JIFE BA 底层： （2）求各柱在反弯点处的剪力： kNV kNV kNV BABA CBCB DCDC 14.52)7 .807437( 08.31)7437( 77.1137 （3）求各柱柱端弯矩： mkNVMM mkNVMM mkNVMM BABAAB BCCBBC DCCDDC 56.135 3 9 . 32 2 28.51 2 3 . 3 42.19 2 3 . 3 A B C D E F G H I J K M 37kN 74kN 80.7kN 30 （4

10、）求梁端弯矩：梁端弯矩按梁线刚度分配 kNMM DCDH 42.19 D kNM DH 42.19 kNM DC 42.19 kNMMM GFGHGK 56.30 0 . 17 . 1 0 . 1 )( kNMMM GFGHGC 04.52 0 . 17 . 1 7 . 1 )( G KNMGF93.65 ? GC M kNM GH 67.16 ? GK M kNM GK 56.30 kNMGC04.52 A B C D E F G H I J K M (2.4)(1.2) (1.7)(1.0) (1.5)(0.8) 31 二、改进反弯点法值法 当框架的高度较大、层数较多时，柱 子的截面尺寸一

11、般较大，这时梁、柱的线 刚度之比往往要小于3，反弯点法不再适 用。进行框架内力计算，就必须对反弯点 法进行改进改进反弯点（D值）法。 改进内容 ： 抗侧刚度 反弯点位置 V D 32 二、改进反弯点法值法 （一）基本假定 假定同层各节点转角相同； 承认节点转角的存在，但是为了计算 的方便，假定同层各节点转角相同。 假定同层各节点的侧移相同。 这一假定，实际上是忽略了框架梁的 轴向变形。这与实际结构差别不大。 33 柱 D 值计算 计算假定 例 ：柱 AB 的 D 值计算 层间侧移相等 ， 剪切角为 梁、柱结点转角相等，设为 计算柱与相邻柱线刚度相同 与柱B端相交的梁的线刚度为 、 与柱A端相交

12、的梁的线刚度 为 、 c i 2 i 3 i 4 i 1 i c i 2 i 3 i 4 i 1 i c i c i B A V D j j h u （二）柱的抗侧刚度D值 34 35 A B C D i h i u 36 柱 AB 剪力与 相邻梁 、柱杆端的侧移及转角 相关 因此需求出转角和位移的关系 预备公式 ： 转角位移方程 A、B 端均为刚结的杆端 l i iiM baa 6 24 l i iiM abb 6 24 2 1266 l i l i l i V ba a b AB l 37 计算转角和位移的关系 节点 A 、B 处 0)(6)(2)(4: 4343 j j cccccc h

13、 u iiiiiiiiiiA l i iiM baa 6 24 0M 2 1266 l i l i l i V ba c b i i K 2 j j j j c h u Kh u iiii i 2 2 )( 2 1 2 2 4321 0)(6)(2)(4: 2121 j j cccccc h u iiiiiiiiiiB 38 2 12 j c jk h i D 22 12121266 l i l i V l i l i l i V ba ba c b j c jk i i K K K K K h iV D 2 , 2 , 2 12 2 则 n 框架梁的线刚度无穷大时 ， 同理可推导底层柱 D

14、值 2 12 , 1 j c h i D c b i i K K K , 2 5 . 0 2 12 2 , 2 2 l i K K V lK 可得代入上式将 a b AB l a b A B j h a b AB l 39 柱的抗侧刚度D值 式中 层高 柱的线刚度， ； 柱混凝土弹性模量； 柱截面惯性矩； 与梁柱刚度比有关有刚度修正系数 h c i hEIi cc / E c I （二）柱的抗侧刚度D值 2 12 h i D c 40 c i c i c i c i 2 i 4 i 4 i 3 i 2 i 1 i 1 i 2 i 2 i c i iiii K 2 4321 c i ii K 2

15、 42 c i ii K 21 c i i K 2 K K 2 K K 2 5 . 0 梁柱刚度比 41 特殊情况： 1.当同一楼层中有个别柱与一般柱的高度不相等时，这 些个别柱的抗推刚度按下列公式计算： （二）柱的抗侧刚度D值 2 1 1 1 12 h i D c 42 2 2 2 22 2 1 1 11 12 12 h i D h i D c c c c 2.带有夹层的柱，其抗推刚度按下式计算： 21 21 21 11 1 DD DD DD D （二）柱的抗侧刚度D值 43 计算各柱所分配的剪力： 44 上、下端约束对梁反弯点的影响 上下都是固端 上端为简支承 上端约束小 反弯点在柱中点

16、无反弯点或 下端约束大 反弯点在顶点 反弯点在上半柱 间 约束越大 ，反弯点偏离越多 2 h yh hyh hyh h 2 （三）确定柱反弯点高度比y 45 反弯点法 D 值法 考虑梁 、柱线刚度比 DF 1 2 12 h i D dF 1 2 12 h i d 2 1266 l i l i l i V ba 46 （三）确定柱反弯点高度比y 柱反弯点高度，取决于柱子两端转角的相对大小。 如果柱子两端转角相等，反弯点必然在柱子中间；如 果柱子两端转角不一样，反弯点必然向转角较大的一 端移动。 影响柱子反弯点高度的因素主要有以下几个方面： 结构总层数及该层所在的位置； 梁、柱线刚度比； 荷载形式

17、； 上、下层梁刚度比； 上、下层层高变化。 47 Y表示柱反弯点高度 h柱高度 3210 yyyyy 标准反弯点高度比，由附表2.1-2.2查取； 上、下层梁刚度不等时的修正值，由附表2.3查取； 上、下层层高不等时的修正值，由附表2.4查取。 0 y 1 y 2 y 3 y （三）确定柱反弯点高度比y 在改进反弯点法中，柱子反弯点位置用反弯 点高度比来表示: Y y h 48 .标准反弯高度比y 标准反弯点高度比是在各层等高、各跨相等、 各层梁和柱线刚度都不改变时框架在水平荷载作 用下的反弯点高度比。 按该框架总层数n，所在楼层数j以及梁柱线 刚度比K查附表2.1、附表2.2。 在查取y0时

18、，风荷载（均布水平荷载）作用下 和水平地震作用（三角形荷载）下应采用相应的 表格。 （三）确定柱反弯点高度比y 49 .上、下层梁刚度不等时的修正值 当某柱的上梁与下梁的刚度不等，柱上、下 结点转角不同时，反弯点位置会有变化，应将 标准反弯点高度比加以修正，往线刚度小的方 向修正。 用a1与值(梁柱线刚度比)查附表2.3。 1 y （三）确定柱反弯点高度比y 50 .上、下层层高不等时的修正值y2、y3 用a2、a3与值查附表2.4。 （三）确定柱反弯点高度比y h上、h下上层、下层层高 51 （三）确定柱反弯点高度系数y 当反弯点高度为0时，反 弯点在本层；当时，本层无反点， 反弯点在上层；

19、当0时，反弯点在下 层。 Yyh 4.反弯点高度 52 Vij第i层第j柱的剪力； h层高； y反弯点高度比； ij 第i层第j柱的弯矩。 （四）确定柱端弯矩 1 t ijij b ijij MV hy MV hy 上端弯矩 下端弯矩 53 二、改进反弯点法值法 （五）D值法进行计算步骤： 在水平力作用下求出各楼层剪力 ； 将楼层剪力 按该层各柱的D值比例分配到各柱 得到柱剪力 ； 求出柱的反弯点Y，由剪力 及反弯点高度Y计算 出柱上下端弯矩； 根据梁柱节点平衡条件，梁柱节点的上下柱端弯 矩之和应等于节点左右边梁端弯矩之和，从而求 得梁端弯矩值； i V i V ij V ij V 54 将框

20、架梁左右端弯矩之和除以梁的跨度， 则可得到梁端剪力； 从上到下逐层叠加梁柱节点左右边梁端 剪力值，可得到各层柱在水平力作用下 的轴力值。 （二） D值法进行计算步骤（续）： 55 例5-2：要求用值法分析图5-8所示框架结构的内力， 剖面图中给出了水平力及各杆件的线刚度的相对值。 56 解:(1)各杆件的值、各层所有柱之和，以及每根柱 分配到的剪力见表5-2。每层有5根中柱与10根边柱。 2 12 h KD cc 57 58 (2)各柱的反弯点位置 59 (2)各柱的反弯点位置 60 （）弯矩图： 61 作业：用D值法计算下图框架各杆件的弯矩，并绘出 弯矩图。圆括号内的数字为杆件的相对线刚度，各层 框架节点处的作用力为风荷载的简化力。 62 解：.计算各层柱的值及每根柱分配