名师辅导立体几何第1课平面的概念与性质

1、名师辅导立体几何第1课 平面的概念与性质（含答案解析）考试目标主词填空1. 平而（1）平面是理想的、绝对的平且无限延展的.（2）平而是由它内部的所有点组成的点集,其中每个点都是它的元素.2. 平而的基本性质（1）公理1:如果一条直线上的两点在一个平而内，那么这条直线上所有的点都在这 个平而内.（2）公理2：如果两个平而有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点 的集合是一条过这个公共点的直线.（3）公理3：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平而.推论经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面.推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面.推论3经过两条平行直线，有且只有一个平而.

2、题型示例点津归纳【例1】在空间内，可以确左一个平而的条件是（）A. 两两相交的三条直线B. 三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C. 三个点D. 三条直线，它们两两相交，但不交于同一点E. 两条直线（【解前点津】A中的两两相交的三条直线，它们可能相交于同一点，也可能不交于同 一点：若交于同一点，则三直线不一定在同一个平面内.应排除A.B中的另外两条直线可能共面，也可能不共而，当另外两条直线不共而时，三条直线是 不能确建一个平而的.应排除B.对于C来说，三个点的位宜可能不在同一直线上，也可能在同一直线上，只有前者才能 确定一个平面，后者是不能的.应排除C.条件E中的两条直线可能共而，也可能

3、不共面.应排除E.只有条件D中的三条直线，它们两两相交且不交于同一点，可确定一个平面.【规范解答】D. 【解后归纳】 平而的基本性质（三个公理及公理3的三个推论）是研究空间图形性 质的理论基础，必须认真理解，熟练地掌握本题主要利用公理3及其推论来解答的.【例2】 把下列用文字语言叙述的语句，用集合符号表示，并画直观图表示.点A在平面a内，点8不在平而a内，点久B都在直线/上：（2）平面a与平面B相交于直线I,直线a在平而内且平行于直线/.【解前点津】 注重数学语言（文字语言、符号语言、图形语言）间的相互转化训练，有 利于提髙分析问题、解决问题的能力正确使用U、G、0、C等符号表示空间基本元 素

4、之间的位置关系是解决本题的关键.例2题解图【例3】 如图，已知：/不属于a A B. CG/x丄a ,BBi丄jCCi丄a 求证:AA. BB“ CC）共面.【解前点津】 证明n条直线共面，首先，选择适当的条件，确泄一个平而，然后分 别证明直线都在此平面内.【规范解答】证法一 从o ,CCa ,:.AAx/ZCCi./.A4i与CG确定平面0,且B丄a .TACu 即 lu 4而 BGL/.ee 3,又知 BBi Q,：.BBic: BAAi、BB、CCi共而.证法二反证法由证法1得B丄a于AG，假设BB不属于B淮B内作丄4G（如图）.:.BBf丄J已知BBJ与过一点引面的垂线，有且只有一条矛

5、盾.8弘不属于B是不可能的，:.BBtd 3,/ ABBi CG兵而.【解后归纳】证明共而的一般方法有直接法和间接法两种.【例4】设平行四边形ABCD的各边和对角线所在的直线与平而。依次相交于AifBitClfDlfEifFi A点，求证六点在同一条直线上. 【规范解答】设平行四边形ABCD所在平而为a,VtAG4又41 GAB,又血丘uA】在平而a与平面B的交线上，设交线为/，则A,同理可证都在直线1上，如B1G6启应六点在同一条直线上.【解后归纳】证明点共线通常证明这些点都在两平面的交线上，或先由某两点作一条直线再证明其他点也在这条直线上，选此题的 意图，就是使学生掌握证点共线的一般方法.

6、对应训练分阶提升一、基础夯实1. a、B是两个不重合的平面，在a上取4个点，在B上取3个点,则由这些点最多可以确定平而的个数为（）I.32C2. 下列说法正确的是（）A. 如果两个平而a、B有一条公共直线a,就说平面B相交，并记作 A 0 =oB. 两平而a、B有一公共点就说a、B相交于过人的任意一条宜线C. 两平而a、B有一个公共点，就说a、B相交于人点，并记作 np=D. 两平而ABC与DBC交于线段BC3. 下列命题正确的是（）A. 点和一条直线确左一个平面B. 两条直线确定一个平面C. 相交于同一点的三条直线一立在同一平面内ID. 两两相交的三条直线不一定在同一个平而内4. 设 】、0

7、是不重合的两个平面， np=o,下而四个命题：如果点PGa ,且胆 P ,那么PWa：如果点（】，点BE 0 ,那么ABa :如果点人丘a ,那么点BG B : 如果线段ABa ,且朋冬B,那么ABa.其中正确命题的个数是 （）.1C5. 空间四点人、3、C、D共而但不共线，那么这四点中 （）A.必有三点共线B.必有三点不共线C.至少有三点共线D.不可能有三点共线6. 个水平放宜的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45，腰和上底长为1的等腰梯形，则这个平而图形的而积是（）A.上ZB.沁IC.1 + V2 D.2 + V22 27. 已知AABC的平而直观图 8 C 是边长为a的正三角形，那么原

8、三角形ABC的 而积为（）JA週“2B SC. U2428. 两条相交直线/、m都在平面“内且都不在平而B内.命题甲：/和m中至少有一条与 B相交，命题乙：平面a与B相交，则甲是乙的什么条件 （）A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.不充分不必要二、思维激活9. 如果一条直线上有一个点不在平面上，则这条直线与这个平而的公共点最多有 个.10. 不重合的三个平而把空间分成n个部分，则n的可能值为.X四条线段首尾相连，它们最多确定平而的个数是.12. 与空间不共而四点距离相等的平而为个.13. 四边形ABCD中，AB = BC=CD=DA = BD= 1 ,则成为空间四而体时，AC的取值范用三.

9、 能力提高14 如图,已知 ki2bm=Aai2=B,icb=c.求证：八 H、h12第14题图15.四个点不共而，证明它们中任何三点都不在同一条直线上.它的逆命题正确吗 已知：久B、C、D是不共而四点.求证：它们中任何三点都不共线.16已知&8C的三个顶点都不在平面,它的三边AB、AC、BC的延长线交平面于 P、R、Q三点.求证：P、R、Q三点共线.17已知空间四边形ABCD. E、H分别是边&3、&D的中点，F、G分别是边BC、CD上的 点且毎洛岭求证:直线事时”交于-点.18已知直线b其中b,c为异而直线，试就a与b,c的不同位置关系，讨论可以确泄平而 的情况.第1课 平面的概念与性质习

10、题解答C：C；+C；C；+2=32.排除法.有三个交点或只有一个交点.错在条件不充分.分有三点共线和只有两点共线两类.I根据平面图形斜二测直观图的画法，所求平而图形为四边形，由横不变”知，四边形为 梯形，且上底边长为1.容易求得下底边长为1+V2 ,由直观图的底角为45。知这个梯形为 直角梯形.再由竖取半”知，直腰长为2,.S+ C 2=2+V2.2按斜二测画法还原.充分性根据公理2进行判断，必要性用反证法得到证明.公共点最多1个，否则直线在平而内，得知直线上所有的点在平而内.67,8 个可确泄C：-2=4个.个 这四点构成一个四而体，当平而平行于四个面中某一个而时有四个；当平面平行于三对 异

11、面直线时有三个.13. (0, JI) AC0, ABCD 为菱形时 AC= V3 14. 由人/2，知人与L确定一个平而a,同理4、b确宦一个平而B，由,知& G a ,同理BG a ,又久BGL故/(】，同理W B由上知/n/2= 且/、因两相交直线/、丿2确左一个平而，故a与B重合, 所以h、b、b、/共而.15 证明：假设其中有三点共线，如久B. C在同一直线a上，点Di a.点D和Q可确宦一平而a，&、B、C、DG a 与久B、C、D不共而矛盾.逆命题是：如果四点中任何三点都不共线，那么这四点不共面逆命题不正确.ABRa第16题图解16如图，9：APCAR=A,：.AP 与 AR 确

12、怎平面 APR 又 P、RW a ,:.a Cl 平而 APR=PR又3丘平面APR, CW平而APR,:.BC平而APR.即QW平面APR.(又 QG a , AQe a A 平面 APR=PR.P、Q. R三点共线.点评：欲证三点共线，可以证明某点在经过其余两点的直线上即可.17. VE, H分别是A3、&D的中点，:,EH/BD, EH=-BD,2IF、G分别是边BC、CD上的点，K =-， CB CD 3:.EH/FG, EHHFG,；.四边形FFGH为梯形，则EF与GH必相交，设交点为P.VEAS平面 ABC, /.PG 平面 ABC.又PW平而DAC,平而BACC平面DAC=AC.故 PGAC,即 EF、GH、AC 交于一点 P.18若a与b,c都相交,a与b,a与c都能确定平而，故可确立两个平而.(2)若a与b,c之一相交，不妨设a与b相交.a/cfa与b,a与c