2026线性代数期末试题及答案

2026线性代数期末试题及答案一、单项选择题（每题4分，共20分）1.设A为3阶方阵，|A|A.−B.−C.4D.16答案：A解析：|−2.设矩阵A=1A.−B.−C.4D.1答案：A解析：|A|=3.设向量组α1A.0B.1C.2D.3答案：D解析：以α1,α2,4.设A为m×A.若r(A)B.若r(A)C.若r(A)D.若r(A)答案：A解析：当r(A)=n时，齐次方程组AX=5.设矩阵A与B相似，则下列说法错误的是A.|B.A与B有相同的特征向量C.A与B有相同的特征值D.r答案：B解析：相似矩阵具有相同的特征值、行列式和秩，但特征向量一般不保持，故选B。二、填空题（每题4分，共20分）1.设行列式D=12答案：2解析：上三角行列式等于主对角线元素乘积：1×2.设A=1235，则|答案：−解析：|A|=3.设向量α=(1答案：−解析：α⋅4.已知矩阵A=1001答案：1解析：A−5.设A为n阶正交矩阵，且|A|<答案：−解析：正交矩阵满足ATA=E，从而|A|2三、计算题（每题10分，共50分）1.计算行列式$$D=\begin{vmatrix}

2&1&1&1\\

1&2&1&1\\

1&1&2&1\\

1&1&1&2

\end{vmatrix}.$$答案：5解析：将第2、3、4列都加到第1列，得$$D=\begin{vmatrix}

5&1&1&1\\

5&2&1&1\\

5&1&2&1\\

5&1&1&2

\end{vmatrix}

=5\begin{vmatrix}

1&1&1&1\\

1&2&1&1\\

1&1&2&1\\

1&1&1&2

\end{vmatrix}.$$再将第1行的−1$$D=5\begin{vmatrix}

1&1&1&1\\

0&1&0&0\\

0&0&1&0\\

0&0&0&1

\end{vmatrix}=5\times1=5.$$2.设矩阵A=12$$A^{-1}=\begin{pmatrix}

-2&1&0\\

1&-2&1\\

-1&-3&2

\end{pmatrix}.$$解析：先求|A$$|A|=\begin{vmatrix}1&2&-1\\3&4&-2\\5&7&-3\end{vmatrix}

=1\cdot(4\cdot(-3)-(-2)\cdot7)-2\cdot(3\cdot(-3)-(-2)\cdot5)+(-1)\cdot(3\cdot7-4\cdot5)

=2-2-1=-1.$$再求伴随矩阵A*$$A_{11}=2,\quadA_{12}=-1,\quadA_{13}=1,\quad

A_{21}=-1,\quadA_{22}=2,\quadA_{23}=3,\quad

A_{31}=0,\quadA_{32}=-1,\quadA_{33}=-2.$$故$$A^*=\begin{pmatrix}

2&-1&0\\

-1&2&-1\\

1&3&-2

\end{pmatrix}.$$于是$$A^{-1}=\frac{1}{|A|}A^*=\frac{1}{-1}\begin{pmatrix}

2&-1&0\\

-1&2&-1\\

1&3&-2

\end{pmatrix}

=\begin{pmatrix}

-2&1&0\\

1&-2&1\\

-1&-3&2

\end{pmatrix}.$$3.求向量组α1答案：秩为2，极大线性无关组可取α1解析：以α1$$A=\begin{pmatrix}

1&0&1&1\\

0&1&1&2\\

1&0&1&1

\end{pmatrix}.$$由于第3行与第1行相同，故r($$\begin{vmatrix}

1&0\\

0&1

\end{vmatrix}=1\neq0,$$所以r(A)≥24.求非齐次线性方程组$$\begin{cases}

x_1+2x_2-x_3+2x_4=1\\

2x_1+4x_2+x_3+x_4=2\\

-x_1-2x_2-2x_3+x_4=-1

\end{cases}$$的通解。答案：$$X=\begin{pmatrix}

1\\0\\0\\0

\end{pmatrix}

+s\begin{pmatrix}

-2\\1\\0\\0

\end{pmatrix}

+t\begin{pmatrix}

-1\\0\\1\\1

\end{pmatrix},\quads,t\in\mathbb{R}.$$解析：对增广矩阵进行初等行变换：$$\left[\begin{array}{cccc|c}

1&2&-1&2&1\\

2&4&1&1&2\\

-1&-2&-2&1&-1

\end{array}\right]

\to

\left[\begin{array}{cccc|c}

1&2&0&1&1\\

0&0&1&-1&0\\

0&0&0&0&0

\end{array}\right].$$同解方程组为$$\begin{cases}

x_1+2x_2+x_4=1\\

x_3-x_4=0

\end{cases}

\Rightarrow

\begin{cases}

x_1=1-2x_2-x_4\\

x_3=x_4

\end{cases}$$取x2$$\begin{cases}

x_1=1-2s-t\\

x_2=s\\

x_3=t\\

x_4=t

\end{cases}

\quad(s,t\in\mathbb{R}).$$写成向量形式即为答案。5.求矩阵A=答案：特征值λ1=5，λ2=λ3=−解析：特征多项式$$|\lambdaE-A|=

\begin{vmatrix}

\lambda-1&-2&-2\\

-2&\lambda-1&-2\\

-2&-2&\lambda-1

\end{vmatrix}

=(\lambda-5)(\lambda+1)^2.$$解(λ四、证明题（每题10分，共10分）1.设向量组α1,α答案：证明如下。设k整理得(因为α1$$\begin{cases}

k